线性函数

故
f ( X ) = (a1, a2 ,", an )X
第十章 双线性函数
结论1 只要知道基向量的函数值，则V中任一向量的函数值
就可得到（任一向量的函数值由基向量的函数值唯一确定）。
证明：设 f 是数域F上线性空间ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上的线性函数。
α1,α2 ,",αn 是V的一个基，且
f (αi ) = ai , i = 1, 2,", n
2）若 β = k1α1 + k2α2 + " + knαn ,
则
f (β ) = k1 f (α1 ) + k2 f (α2 ) + " + kn f (αn ) 。
f (k1α1 + k2α2 ) = f (k1α1 ) + f (k2α2 ) = k1 f (α1 ) + k2 f (α2 )
证明：设 f ( X ) 是 F n 上的一个线性函数，对
∀X , Y ∈ F n , k ∈ F , f ( X + Y ) = f ( X ) + f (Y ), f (kX ) = kf ( X )
令
εi = (0,", 0,1, 0,", 0)′, i = 1, 2,", n
则 ε1,ε2 ,",ε n 是 F n 的一个基。
§10.1 线性函数
§10.1 线性函数
一、线性函数的概念 二、线性函数的表示 三、线性函数的运算
第十章 双线性函数
一、线性函数的概念
1、定义 设V是数域F上的一个线性空间， f 是V 到F的一个
映射，如果对 ∀α , β ∈V , k ∈ F , f 满足以下两条： ① f (α + β ) = f (α ) + f (β );
在如上定义的加法和数乘下可以验证： L(V , F ) 作成数域F 上的线性空间。
第十章 双线性函数
取定V的一个基 α1,α2 ,",αn , 作V上n个线性函数如下：
f1 ：
f1(α1 ) = 1, f1(α2 ) = 0, ", f1(αn ) = 0;
f2 ： "
f2(α1 ) = 0, f2(α2 ) = 1, ", f2(αn ) = 0;
对 ∀α ∈V , (kf )(α ) = k( f (α )) 。
结论2 kf 是线性函数。称之为线性函数 f 的数乘。
证明：对 ∀α , β ∈V , l ∈ F , (kf )(α + β ) = kf (α + β ) = kf (α ) + kf (β ) = (kf )α + (kf )β (kf )(lα ) = kf (lα ) = lkf (α ) = l(kf )(α )
第十章 双线性函数
例10.1.1 设 ai ∈ F ,
i
= 1, 2,", n,
∀X n
= ( x1, x2 ,", xn )′ ∈ F n ,
定义
∑ f ( X ) = (a1, a2 ,", an )X = ai xi
则 f 是F n 上线性函数。
i =1
解：对 ∀X , Y ∈ F n , k ∈ F , 令 α = (a1, a2 ,", an )′ f ( X + Y ) = α′( X + Y )= α′X + α′Y = f ( X ) + f (Y );
f (tβ ) = a1tk1 + a2tk2 + " + antkn = tf (β ) 故 f 是V的一个线性函数，且有 f (αi ) = ai , i = 1, 2,", n
第十章 双线性函数
假设g也是V上一个线性函数，且有
g(αi ) = ai , i = 1, 2,", n 则对 ∀β = k1α1 + k2α2 + " + knαn ,
第十章 双线性函数
定理10.1.1 设V是F上一个n维线性空间，α1,α2 ,",αn 是
V的一个基， a1, a2 ,", an 是F中任意n个数，存在V上唯一的线
性函数 f , 使 f (αi ) = ai , i = 1, 2,", n 。 证明：因为 α1,α2 ,",αn 是V的一个基，a1, a2 ,", an 是F中
g(β ) = k1g(α1 ) + k2 g(α2 ) + " + kn g(αn ) = k1a1 + k2a2 + " + knan = f (β )
故 f =g。
第十章 双线性函数
三、线性函数的运算
设V是数域F上一个n维线性空间，V上全体线性函数组成的
集合记为 L(V , F ), 显然 L(V , F ) 非空，例如零函数在其中。 在
= f (α ) + f (β ) + g(α ) + g(β )= ( f + g)(α ) + ( f + g)(β )
( f + g)(kα ) = f (kα ) + g(kα ) = kf (α ) + kg(α ) = k( f + g)(α )
第十章 双线性函数
定义2 ∀f ∈ L(V , F ), k ∈ F , 定义函数 kf 如下：
f (kX ) = α′(kX ) = k(α′X ) = kf ( X )
故 f 是 F n 上的一个线性函数。
特别，当 α = 0 时， f ( X ) = 0是零函数。
第十章 双线性函数
例10.1.2 设 A = (aij )n×n 是数域F上一个n阶矩阵，A的迹：
tr( A) = a11 + a22 + " + ann是线性空间 F n×n 上的一个线性函数。 n
L(V , F ) 上可以定义加法和数乘如下：
定义1 设 f , g ∈ L(V , F ), 定义函数 f + g 如下：
对 ∀α ∈V ,
( f + g)(α ) = f (α ) + g(α )。
结论1 f + g 是线性函数。称为线性函数 f 与 g 的和。
证明：对 ∀α , β ∈V , k ∈ F , ( f + g)(α + β ) = f (α + β ) + g(α + β )
""""
fn ：
fn (α1 ) = 0, fn (α2 ) = 0, ", fn (αn ) = 1 。
此即：
fi
(α
j
)
=
⎧1, ⎨⎩0,
j=i j≠i
,
i, j = 1, 2,", n
（10.2.1）
由定理10.1.1知 f1, f2 ,", fn 均为V的线性函数。
对 ∀α ∈V , α = k1α1 + k2α2 + " + knαn
设
f (εi ) = ai , ai ∈ F , i = 1, 2,", n
对 ∀X ∈ F n , 设 X = ( x1, x2 ,", xn )′,
则
X = x1ε1 + x2ε 2 + " + xnε n
于是 f ( X ) = x1 f (ε1 ) + x2 f (ε2 ) + " + xn f (εn ) = (a1, a2 ,", an )X
对
∀α ∈V , α = k1α1 + k2α2 + " + knαn
f (α ) = f (k1α1 + k2α2 + " + knαn )
= k1 f (α1 ) + k2 f (α2 ) + " + kn f (αn )
= k1a1 + k2a2 + " + knan
这说明V中任一向量的函数值由基向量的函数值唯一确定。
∑ 证明：显然 tr( A) = aii 是 F n×n 上n 阶矩阵到F的映射，
i =1
对 ∀A, B ∈ F n×n , k ∈ F , 设 A = (aij )n×n , B = (bij )n×n ,
n
n
n
∑ ∑ ∑ 则
tr( A + B) = (aii + bii ) = aii + bii = tr( A) + tr(B)
则
fi (α ) = ki , i = 1, 2,", n
即 fi (α ) 的值是 α 的第i个坐标的值， i = 1, 2,", n n
故
∑ α = fi (α )αi
第十章 双线性函数 i=1
任意n个数，对 ∀β ∈V , β = k1α1 + k2α2 + " + knαn 定义 f ： f (β ) = a1k1 + a2k2 + " + ankn ∈ F 且唯一确定，
这是V 到F的一个映射。 对 ∀β , γ ∈V , t ∈ F 设
β = k1α1 + k2α2 + " + knαn ,γ = l1α1 + l2α2 + " + lnαn f (β + γ ) = a1(k1 + l1 ) + a2(k2 + l2 ) + " + an (kn + ln ) = (a1k1 + a2k2 + " + ankn ) + (a1l1 + a2l2 + " + anln )= f (β ) + f (γ ),
② f (kα ) = kf (α )。
则称 f 是V上的一个线性函数。
2、线性函数的简单性质
1） f (0) = 0, f (−α ) = − f (α );
在定义中的条件② f (kα ) = kf (α ) 中分别令 k = 0, k = −1
即得：
f (0) = 0, f (−α ) = − f (α );
i =1
i =1
i =1
n
n
∑ ∑ tr(kA) = kaii = k aii = k ⋅ tr( A)
n
i =1
i =1
∑ 故 tr( A) = aii 是线性空间 F n×n 上的一个线性函数。
i =1
第十章 双线性函数
二、线性函数的表示
例10.1.3 F n 上任一线性函数 f ( X ) 都可表成以下形式： (a1, a2 ,", an )X , 其中 a1, a2 ,", an 是F中确定的一组数。