高中数学必修二直线与方程经典

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高一数学必修2 直线与方程精讲

一、直线的一般式方程【知识要点】1. 一般式：0A x B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=；经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=；（4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠； 1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==； 1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. 【经典例题】例1、已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .例2、（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.例3、已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．例4、直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.【经典练习】1．如果直线0Ax By C ++=的倾斜角为45︒，则有关系式（）.A. A B =B. 0A B +=C. 1AB =D. 以上均不可能 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（）. A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 3．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的面积是（）. A ．12ab B ．1||2ab C ．12ab D ．12||ab 4．直线（32-）x +y =3和直线x +（23-）y =2的位置关系是（）. A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行D. 重合5．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－3 6．若直线x +a y+2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a = .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝． 8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）；（2）经过点B (4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3；（4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.二、两条直线的交点坐标【知识要点】1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.【经典例题】例1、判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0；（2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.例2、求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.例3、已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限.例4、若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.【经典练习】1．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（）. A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-2．直线1:(21)2l x y -+=与直线2:(21)3l x y ++=的位置关系是（）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 5．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －26．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .7．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则m = ． 8．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.9．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.10．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.三、两点间的距离【知识要点】1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PPk x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.【经典例题】例1、在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.例2、直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.例3、如图，已知函数2()1f x x =+，设,a b R ∈，且a b ≠，求证|()()|f a f b -<||a b -.oxA (1,a )B (1,b )y【经典练习】1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（）. A. 4 B.10 C. 6 D. 2132．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（）. A. 1 B. －5 C. 1或－5 D. －1或53．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（）. A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+= 6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 . 7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 . 8．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．9．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．四、点到直线的距离及两平行线距离【知识要点】1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.【经典例题】例1、求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.例2、在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.例3、求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3.例4、求直线1:2310l x y +-=与2:4650l x y +-=的正中平行直线方程. .【经典练习】1．点（0，5）到直线y =2x 的距离是（）.A. 52B. 5C. 32D. 522．动点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为（）.A.10 B. 22 C. 6 D. 23．（03年全国卷）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（）. A ．2 B ．－2C ．21-D ．21+4．两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（）.A.213 B. 113C. 126D. 5265．直线l 过点P (1，2)，且M (2，3)，N (4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是（）.A. 4x+y －6=0B. x +4y －6=0C. 2x +3y －7=0或x +4y －6=0D. 3x +2y －7=0或4x+y －6=0 6．两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是 .7．与直线l ：51260x y -+=平行且到l 的距离为2的直线的方程为 .8．（1）已知点A （a ，6）到直线3x －4y ＝2的距离d =4，求a 的值.（2）在直线30x y +=求一点P , 使它到原点的距离与到直线320x y +-=的距离相等.五、直线与方程复习【知识要点】理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定平行或垂直；握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【经典例题】例1、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜P A ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是（）.A.240x y --=B. 210x y --= 2C.50x y +-=D.270x y +-=例2、一直线被两直线1l ：460x y ++=，2l ：3560x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.例3、光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.【经典练习】1．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2、3的直线方程是（）. A. 2360x y --= B. 3260x y --=C. 3260x y -+=D. 2360x y -+=2．若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件（）. A. A 、B 、C 同号 B. AC ＜0，BC ＜0C. C ＝0，AB ＜0D. A ＝0，BC ＜03．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）. A. x －y =0B. x +y =0C. |x |－y =0D. |x |－|y |=04．下列四种说法中的正确的是（）.A. 经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B. 经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C. 不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D. 经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示5．已知点(0,1)P -，点Q 在直线x -y +1=0上，若直线PQ 垂直于直线x +2y -5=0，则点Q 的坐标是（）.A ．（－2，1）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（－2，－1） 6．已知两点A （1，－1）、B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，则实数a 的值是 . 7．点P 在直线x +y -4=0上，O 为原点，则|OP |的最小值是 . 8．求经过直线772400x y x y +-=-=和的交点，且与原点距离为125的直线方程．9．已知点A 的坐标为(4,4)-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；（2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程.第24讲 §3.2.3 直线的一般式方程¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.¤知识要点：1. 一般式（general form ）：0A x B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线.2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=；经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=；（4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. ¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0.（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--, 解得m ＝1. 【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程. 解：（1）由题意得所求平行直线方程4(3)(2)0x y -+-=，化为一般式4140x y +-=. （2）由题意得所求垂直直线方程(3)2(0)0x y ---=，化为一般式230x y --=.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x +4y －12=0的斜率为34-， ∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为34-，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.【例4】直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征. 解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. （3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. （5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线. 点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.第24练 §3.2.3 直线的一般式方程※基础达标1．如果直线0Ax By C ++=的倾斜角为45︒，则有关系式（）.A. A B =B. 0A B +=C. 1AB =D. 以上均不可能 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（）. A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 3．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的面积是（）. A ．12ab B ．1||2ab C ．12abD ．12||ab 4．（2000京皖春）直线（32-）x +y =3和直线x +（23-）y =2的位置关系是（）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合 5．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－3 6．若直线x +a y+2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a = .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝．※能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）；（2）经过点B (4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3；（4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.※探究创新10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.第25讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标¤学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.¤例题精讲：【例1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0；（2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.解：（1）解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得22x y =-⎧⎨=⎩.所以，l 1与l 2相交，交点是（－2，2）.（2）解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+.当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l .当1n =-时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合. 当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-， l 1与l 2相交. ∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21(,)11n n n n ---. 【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.解：设所求直线的方程为28(21x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)x y λλλ++-+-=.∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=. 则所求直线方程为4360x y --=.【例3】已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限. 解：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为(3)(21)0a x y x y -+-+-=.对任意实数a 恒过直线30x y -=与210x y -+=的交点为(15,35)，∴ 直线系恒过第一象限内的定点为(15,35).所以，无论a 为何值时直线总经过第一象限.点评：化为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=后，解方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩所得到的解，为何就是直线恒过的定点坐标？实质就是方程组的解能使方程成立，即点在直线上.【例4】若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：如图，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l ：y ＝kx 3-必过点（0，－3）.当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴；当直线l 绕C 点逆时针（由位置AC 到位置BC ）旋转时，交点在第一象限. 根据303033AC k --==-，得到直线l 的斜率k >33. ∴倾斜角范围为(30,90)︒︒. 点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.第25练 §3.3.1 两条直线的交点坐标※基础达标1．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（）. A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-2．直线1:(21)2l x y -+=与直线2:(21)3l x y ++=的位置关系是（）.A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 5．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（）.A. 1B. －1C. 2D. －26．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .7．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则m = ． ※能力提高8．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.9．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.※探究创新10．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.第26讲 §3.3.2 两点间的距离¤学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PPk x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.解：∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即,解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴ 直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段22|'|(41)(30)32A B =-+-=. 【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）. 解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy . 设点A (a ,b)、B (-c ,0)、C (c ,0),由两点间距离公式得：|AB |=22()a c b ++，|AC |=22()a c b -+，|AO |=22a b +， |OC |=c .∴ |AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++， |AO |2＋|OC |2=222a b c ++.∴ |AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点评：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将△ABC 的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和.三角形的中线长公式：△ABC 的三边长为a 、b 、c ，则边c 上的中线长为2221222a b c +-. y xB (-c ,0) A (a ,b )C (c ,0) O【例4】已知函数2()1f x x =+，设,a b R ∈，且a b ≠，求证|()()|f a f b -<||a b -. 解：由|()()|f a f b -=22|11|a b +-+，在平面直角坐标系xoy 中，取两点(1,),(1,)A a B b ，则2||1,OA a =+ 2||1O B b =+, ||||AB a b =-.△O AB 中，||||||||OA OB AB -<，∴ 22|11|a b +-+<||a b -. 故原不等式成立.点评：此证法为数形结合法，由22a b +联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系.第26练 §3.3.2 两点间的距离※基础达标1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（）.A. 4B. 10C. 6D. 2132．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（）.A. 1B. －5C. 1或－5D. －1或5 3．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（）.A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+=6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 .7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 . ※能力提高8．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．9．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．oxA (1,a )B (1,b )y※探究创新10．燕隼（sun ）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类．它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似．红隼的体形比燕隼略大．通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米. 近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟. 经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A （32.65厘米，25.2厘米），B （33.4厘米，26.9厘米）. 你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？第27讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离¤学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A B A B++-==++. ¤例题精讲：【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=, 整理得(31)(3)100x y λλ++--=.由点到直线的距离公式可知，22101(31)(3)d λλ==++-, 解得3λ=±. 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.解：直线方程化为450x y --=. 设2(,4)P a a , 则点P 到直线的距离为22222|445||4(1/2)4|4(1/2)417174(1)a a a a d ------+===+-.高一数学21 当12a =时，点1(,1)2P 到直线的距离最短，最短距离为41717. 【例3】求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3. 解：由点线距离公式，得22|(2)4(1)(1)(64)|(2)(1)m m m d m m +-+--+=+++ =22|3|(2)(1)m m m ++++. 假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=.∵ 248417361400∆=-⨯⨯=-<， ∴ 21748360m m ++=无实根.∴ 3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=.由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-. 所以直线L 恒过定点(2,2)Q -. 点P 到直线L 取最大距离时, PQ ⊥L ，即最大距离是PQ =22(24)(21)-+-+=5. ∵ 5<3， ∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大.【例4】求直线1:2310l x y +-=与2:4650l x y +-=的正中平行直线方程.解：直线1l 的方程化为4620x y +-=. 设正中平行直线的方程为460x y C ++=，则2222|2||5|4646C C ----=++，即|2||5|C C +=+，解得72C =-. 所以正中平行直线方程为74602x y +-=. 点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=的正中平行直线方程为12()/20Ax By C C +++=。

高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结

高一数学总复习学案必修2第三章：直线与方程一、知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=；（4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022d A B=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222d A B=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222d A B A B ==++二、直线方程对应练习一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足（） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 值是（）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜013. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D. 22 14. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52-二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________。

数学必修二直线方程知识点

数学必修二直线方程知识点
1. 直线的一般方程：一般地，直线的一般方程可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B
和C为实数且A和B不同时为0。

2. 斜率截距方程：斜率截距方程是直线的另一种常用表示方法，可表示为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

3. 斜率公式：直线的斜率可通过两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）计算，斜率m = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

4. 点斜式方程：点斜式方程是直线的一种特殊表示方法，可表示为y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，m为直线的斜率。

5. 两直线的关系：两条直线可以相交、平行或重合。

两条直线平行的条件是它们的斜
率相等，两条直线重合的条件是它们的斜率相等且有一个公共点。

6. 垂直平分线：两条直线相互垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。

7. 两点间的距离公式：可以使用两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）来计算两点间的距离d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

8. 角的平分线：直线和另一条直线的夹角的平分线将夹角分成两个相等的角。

9. 线段的中点：直线的中点是指直线上且离两个端点等距离的点。

10. 线段的延长线：直线上的延长线是指直线上的一条线段，其中一端点在直线上，另一端点在直线的外部。

这些是数学必修二中关于直线方程的一些重要知识点。

《直线与方程》复习课件(17张ppt)

方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点一个无数个零个
直线L1,L2间的位置关系相交重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名称已知条件
标准方程适用范围
点斜式点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0

高中数学必修2--第三章《直线与方程》知识点总结与练习

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.二、直线方程的形式及适用条件[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C 由k＝α＝－，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为．解析：＝＝1，＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：45．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为．解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案：3x＋2y－1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )A．－1 B．－3C．0 D．2(2)(2012·苏州模拟)直线θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是．[自主解答] (1)＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1＝－3.(2)由题知k＝－θ，故k∈，结合正切函数的图象，当k ∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.[答案] (1)B (2)∪由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝x－x的一条对称轴为x ＝，则直线l：－＋c＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．120°D．135°解析：选D 由函数y＝f(x)＝x－x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段相交，则k的取值范围是( )B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段相交，则≤k≤.∵＝－2，＝，∴－2≤k≤.典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是．(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦的中点，则弦所在直线的方程为．[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.则所求直线方程为x－2y－1＝0.(2)由题意得，×＝－1，所以＝2，故弦所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△中平行于边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于边的中位线就是，中点的连线．因为线段，中点坐标分别为，，所以这条直线的方程为＝，整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.(2)因为边上的中点为(2,3)，所以边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.典题导入[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(，)在l2上．由题意知错误!则点B(6－x，－y)，解方程组错误!得错误!则k＝错误!＝8.故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，点A，B的坐标分别为(，)，(，)，由错误!解得错误!由错误!解得错误!∵P(3,0)是线段的中点，∴＋＝0，即＋＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.若k＝0，则＝1，＝－3，此时＝≠3，∴k＝0舍去，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△面积最小时，求直线l的方程；(2)当·取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，，B(0，1－2k)，△的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵＝，＝，∴·＝·＝2 ≥2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.[典例] (2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则错误!或错误!∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提醒]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.——————————————————————————————————————针对训练过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7.即直线方程为x－y－7＝0.答案：y＝－x或x－y－7＝01．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝＋b必经过定点( )A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b ＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( )A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( ) A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线＋＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )A．＞0，＜0 B．＞0，＞0C．＜0，＞0 D．＜0，＜0解析：选A 由于直线＋＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故＞0，＜0.5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A．y＝－x＋B．y＝－x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x＋1解析：选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )A．－2 B．－7C．3 D．1解析：选C 线段的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是．解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.答案：(－∞，－1)∪8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为．解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝09．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y ＋2m＋1＝0恒过定点．解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则错误!得错误!答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．解：设所求直线方程为＋＝1，由已知可得错误!解得错误!或错误!故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线的方程；(2)已知实数m∈，求直线的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m＝－1时，直线的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈∪(0， ]，∴k＝∈(－∞，－ ]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线的倾斜角α∈.12.如图，射线、分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线分别交、于A、B两点，当的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线的方程．解：由题意可得＝45°＝1，＝(180°－30°)＝－，所以直线：y＝x，：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以的中点，由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得错误!解得m＝，所以A(， )．又P(1,0)，所以＝＝＝，所以：y＝(x－1)，即直线的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.1．若直线l：y＝－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )解析：选B 由错误!解得错误!∵两直线交点在第一象限，∴错误!解得k＞错误!.∴直线l的倾斜角的范围是.2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为．解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．已知直线l：－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设△的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则0－y0＋1＋2k＝0对任意k ∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0.故S＝＝×(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0解析：选B ∵1＝3，2＝－k，l1⊥l2，∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是．解析：k＝α＝＝.∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△的面积的最小值及此时直线l的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.∴1＝＋≥2，即≥24.∴S△＝≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，△的面积最小，最小值为12.此时直线l的方程为＋＝1.即2x＋3y－12＝0.第二节两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组错误!的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离1．两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝＝.2．点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：＋＋C＝0的距离d＝.3．两条平行线间的距离两条平行线＋＋C1＝0与＋＋C2＝0间的距离d＝.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为( )A．6 B．－6C．5 D．－5解析：选B 由已知得k1＝1，k2＝.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×＝－1，即m＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( )C．5解析：选B d＝＝.3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b) D．(－b，－a)解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则错误!解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线＋3y＋5＝0上，则m的值为( )A．3 B．5C．－5 D．－8解析：选D 由错误!得l1与l2的交点坐标为(1,1)．所以m＋3＋5＝0，m＝－8.5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为＋＋C＝0的形式，否则会出错．典题导入[例1] (2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答] 由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.[答案] A在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－.由题悟法1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y ＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.以题试法1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△中角A，B，C所对的边，则直线A＋＋c＝0与－B＋C＝0的位置关系是( ) A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：选C 由已知得a≠0，B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－)，k2＝B)，由正弦定理得k1·k2＝－)·B)＝－1，所以两条直线垂直．典题导入[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝.[自主解答] 因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.[答案]由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝0－.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝0－.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋＋c ＝0之间的距离为，则c的值是．解析：由题意得＝≠，得a＝－4，c≠－2，则6x＋＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，则＝，解得c＝2或－6.答案：2或－6典题导入[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( ) A．2 B．6C．3 D．2[自主解答] 如图，设点P关于直线，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△的周长＝＋＋＝＋＋＝＝＝2即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足错误!②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线＋＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有错误!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.[典例] (2012·银川一中月考)求经过直线l1： 3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[常规解法] 解方程组错误!得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．由l3的斜率得l的斜率为－.则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y －1＝0.——————[高手支招]———————————————————————————运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线＋＋C＝0平行的直线系方程是＋＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线＋＋C＝0垂直的直线系方程是－＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.——————————————————————————————————————[巧思妙解] 由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x ＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0.针对训练求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为，.又所围成的三角形面积S＝··＝·＝6，所以b2＝144，所以b＝±12.故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0.即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．2．当0＜k＜时，直线l1：－y＝k－1与直线l2：－x＝2k 的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 解方程组错误!得两直线的交点坐标为错误!，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )C．4 D．8解析：选B ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )A．－2 B．－D．2解析：选A 依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，即y＝x＋，其斜率是，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是( ) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0解析：选C 设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4的方程为x＋3y－8＝0.7．(2012·郑州模拟)若直线l1：＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为．解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.答案：－8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是．解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长＝，求直线l 的方程．解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由错误!解得；由错误!解得错误!.∵＝，∴＝，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－.因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵′·＝－1，即×3＝－1.①又′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②由①②得错误!(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ∵点P到点A和定直线距离相等，∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )A．2 B．2C．4 D．2解析：选C 设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接′并延长交l于P，此时的P满足－的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则′·＝－1，即3·＝－1.则a＋3b－12＝0.①又由于线段′的中点坐标为，且在直线l上，则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．于是′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解错误!得错误!即l与′的交点坐标为P(2,5)．1．点(1，θ)(其中0≤θ≤π)到直线θ＋θ－1＝0的距离是，那么θ等于( )或或解析：选B 由已知得θ＋2θ－1|,2θ＋2θ)＝，即θ－2θ|＝，∴42θ－4 θ－1＝0或42θ－4 θ＋1＝0，∴θ＝或θ＝.∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤1，∴θ＝，即θ＝或.2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选B l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则错误!得错误!即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由错误!得错误!即反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l 的对称点P′(x0，y0)，由′⊥l可知，′＝－＝.而′的中点Q的坐标为，Q点在l上，即3·－2·＋7＝0.由错误!得错误!根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l 的对称点为P′(x，y)，则＝－，又′的中点在l上，即3×－2×＋7＝0，由错误!可得P点的坐标为x0＝，y0＝，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.。

【精品课件】高中数学必修2 直线的方程(两点式、一般式)

x C A
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都表示一条直线.
问题探究
结论一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)表示.
结论二：任意一个关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直线.
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零不容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互相转化。
直线的方程 ①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
y= y1 ③x轴： y= 0
④y轴： x= 0
问题探究
问题一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用

高一数学人必修二课件第三章直线的两点式方程直线的一般式方程

03
直线上任意两点的中点坐标满
足该直线的方程。
04
两条平行直线的斜率相等，即
$k_1 = k_2$。
05
两条垂直直线的斜率互为相反
数的倒数，即 $k_1 cdot k_2
= -1$。
06
02
两点式方程
两点式方程推导
通过已知两点坐标 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，推导直线方程。
一般式方程与截距关系
截距定义
直线与坐标轴的交点到原点的距离称为该直线的截距。
一般式方程与截距的关系
直线的一般式方程可以直接反映出该直线在坐标轴上的截距。通过一般式方程可以求出直线在x轴和y轴上的截距。
04
直线方程求解方法
代入法求解直线方程
已知直线上一点$P(x_0, y_0)$和斜率$k$，则直线方程可表示为$y - y_0 = k(x x_0)$。
直线在坐标轴上的截距可以通过直线方程求出。
一般式方程形式
综合斜率和截距公式，可以得到直线的一般式方程。
一般式方程应用
求解直线交点
求解点到直线的距离
两条直线的交点坐标可以通过联立两条直线的一般式方程求解。
利用点到直线距离公式和直线的一般式方程，可以求出点到直线的距离。
判断点与直线的位置关系
通过代入点的坐标到直线的一般式方程中，可以判断点是否在直线上或者直线的哪一侧。
两点式
已知直线上两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则直线可表示 $frac{y y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 x_1}$。
截距式
$frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$，其中 $a$ 是直线在 $x$ 轴上的截距， $b$ 是直线在 $y$ 轴上的截距。

高中数学必修2第三章直线与方程总结

第三章直线与方程知识点总结代县中学高二数学组一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）；②垂直：斜率k 不存在；③范围：斜率 k ∈ R 。

当 α=0°时，k=0当0<α<90°时，k.>0当α=90°时，k 不存在当90°<α<180°，k<03、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k 值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：判断方法一：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直②垂直：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；④相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）判断方法二：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，①1l ∥2l ⇔ 122112211221A B A B B C B C =≠≠且或A C A C ，当（A ，B ，C 不为0时）212121C C B B A A ≠= ②1l ⊥2l ⇔12120A A B B +=③重合：A 1B 2=A 2B 1且B 1C 2=B 2C 1或A 1C 2=A 2C 1，212121C C B B A A == ④相交：A 1B 2≠A 2B 1 ，2121B B A A ≠ 二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+by a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。

高二数学直线与方程知识点

高二数学直线与方程知识点直线和方程是高中数学中常见的知识点，对于学习数学的同学来说是非常重要的基础内容。

本文将对高二数学中与直线和方程相关的知识点进行详细介绍。

一、直线的一般方程在平面直角坐标系中，一条直线可以由其一般方程表示，即Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

这个方程表示了所有直线上的点的集合。

二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。

斜截式方程直观地表示了直线与y轴交点的位置以及直线的斜率。

三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k为直线的斜率。

点斜式方程表示了直线上两点之间的关系，通过已知一点和斜率可以确定一条直线。

四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线与x轴和y轴的截距。

截距式方程可以快速确定直线与坐标轴的交点位置。

五、直线的平行和垂直关系两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。

平行和垂直关系是直线之间的重要性质，可以通过斜率的性质进行判断和证明。

六、直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为三种情况：相交，平行和重合。

通过判断直线与线段的交点个数和位置可以确定其位置关系。

七、直线的距离公式直线与平面上任意一点的距离可以通过点到直线的距离公式计算。

设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x₁, y₁)，则点P到直线的距离为d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。

八、方程的根与解法在解方程时，我们常用到的方法有因式分解法、配方法、公式法等。

根据方程的形式选择合适的解法，通过化简方程逐步求解来确定方程的根。

九、一次函数方程一次函数方程表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

高中数学必修二-直线的方程

直线的方程知识集结知识元直线的点斜式方程知识讲解1.定义：方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.2.注意：（1）.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；（2）.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为；（3）.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.（4）.表示直线去掉一个点；表示一条直线.例题精讲直线的点斜式方程例1.'(1)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(2)经过点D(1,1)，与x轴垂直．'例2.经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝(x－3)B．y－2＝(x＋3)C．y－2＝(x＋3)D．y＋2＝(x－3)例3.已知点A（1，1），B（3，5），若点C（―2，y）在直线AB上，则y的值是（）A．―5B．25C．5D．―2.5例4.斜率与直线的斜率相等，且过点（－4，3）的直线的点斜式方程是________．直线的斜截式方程知识讲解1.定义：如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.2.注意：（1）.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；（2）.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；（3）.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.（4）.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.（5）.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.例题精讲直线的斜截式方程例1.'已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为m.(1)求直线l的方程；(2)当m为何值时，直线通过(1,1)点．'例2.'写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；'例3.倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程为()A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0例4.在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．直线的两点式方程知识讲解1.定义：经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.2.注意：（1）.这个方程由直线上两点确定；（2）.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程.（3）.直线方程的表示与选择的顺序无关.（4）.在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．例题精讲直线的两点式方程例1.'三角形的顶点是A(－5,0)、B(3，－3)、C(0,2)．求这个三角形AB和AC所在直线的方程．'例2.'已知三角形的三个顶点A(－4,0)、B(0，－3)、C(－2,1)，求BC边上中线所在直线的方程．'例3.'求经过点M(－1，－2)和N(－1,3)的直线方程．'直线的截距式方程知识讲解1.定义：若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.2.注意：（1）.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.（2）.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距.（3）.截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．例题精讲直线的截距式方程例1.'直线l经过点P(2,3)且在x，y轴上的截距相等，求该直线的方程．'例2.若直线的方程是，则它的截距式方程为；直线与轴交点为；与轴的交点为．例3.直线在轴上的截距是()A．B．C．D．.直线的一般式方程知识讲解1.定义：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．2.注意：（1）.A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．（2）.在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．）例题精讲直线的一般式方程例1.直线Ax+By+C=0，当A＞0，B＜0，C＞0时，必经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限例2.在x轴和y轴上的截距分别是―2，3的直线方程是（）A．2x―3y―6=0B．3x―2y―6=0C．3x―2y+6=0D．2x―3y+6=0例3.直线方程(3a+2)x+y+8=0，若直线不过第二象限，则a的取值范围是()A．(-∞，-)B．C．(，+∞)D．［，+∞)例4.若三条直线4x+y+4=0，mx+y+1=0，x―y+1=0不能围成三角形，则实数m取值范围是________．备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线的方程”的题目补充.例题精讲备选题库例1.过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．=B．=C．=D．=例2.与直线3x-2y=0平行，且过点（4，-3）的直线方程为（）A．y+3=（x-4）B．y-3=（x+4）C．y+3=（x-4）D．y-3=（x+4）例3.已知直线x+ay+4=0与直线ax+4y-8=0互相平行，则实数a的值为（）A．0B．2C．-2D．±2例4.过点（-1，-3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y-1=0B．x-2y-5=0C．x-2y+7=0D．2x+y+5=0当堂练习单选题练习1.已知直线l1：mx-y+3=0与l2：y=-垂直，则m=（）A．B．C．-2D．2练习2.如果平面直角坐标系内的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（）A．x-y+1=0B．x+y+1=0C．x-y-1=0D．x+y-1=0练习3.已知△ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y-1=0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y=x，则直线BC的方程为（）A．2x-3y-1=0B．2x+3y-1=0C．3x-2y-1=0D．3x-2y+1=0练习4.一条光线从点（-2，3）射出，经x轴反射后与圆（x-3）2+（y-2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或练习5.已知点A（-2，0），B（2，0），C（1，1），D（-1，1），直线y=kx+m（k>0）将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．练习6.已知A（3，0），B（0，3），从点P（0，2）射出的光线经x轴反射到时直线AB上，又经过直线AB反射回到时P点，则光线所经过的路程为（）A．B．6C．D．练习7.如果平面直角坐标系内的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（）A．x-y+1=0B．x+y+1=0C．x-y-1=0D．x+y-1=0填空题练习1.设直线l：x+2y-2=0与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知点C的坐标是（3，0），那么∠CAB的正切值是__；过C点且垂直于直线l的方程是__________．练习2.点A（3，-4）与点B（-1，8）关于直线l对称，则直线l的方程为__________．练习3.若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+a2-1=0垂直，则a=___．练习4.如果平面直角坐标系中的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为_________．练习5.一条光线沿直线2x-y+2=0入射到直线x+y-5=0后反射则反射光线所在直线方程为__________．解答题练习1.'已知△ABC的三个顶点坐标为A（-3，1），B（3，-3），C（1，7）。

高一数学必修二直线与方程

数学必修二——直线与方程（一）直线的斜率1. 坡度：是指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。

2. 直线的斜率：已知两点如果，那么直线PQ的斜率为练习：直线都经过点P（2,3），又分别经过试计算的斜率。

（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜。

（3）当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合说明：1、如果，那么直线PQ的斜率不存在（与x轴垂直的直线不存在斜率）2、由直线上任意两点确定的斜率总是相等的。

3、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。

当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。

因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°。

4、直线倾斜角与斜率的关系：当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时有当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时有概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题。

关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C. 平行于x轴的直线的倾斜角是0或180°；D. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；E. 直线斜率的范围是（－∞，＋∞）。

辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：A. 与x轴垂直的直线倾斜角为90°，但斜率不存在；B.举反例说明，C. 平行于轴的直线的倾斜角为0；D. 如果两直线的倾斜角都是90°，但斜率不存在，也就谈不上相等.说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是；③倾斜角是90°的直线没有斜率。

（二）直线方程1. 直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

必修2-直线与方程知识点归纳总结

第三章直线与方程直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。

②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。

特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式 )(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 b kx y +=k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+by a xa 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式 0=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。

高中数学必修二直线的方程

若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
∵kPA=-2，kPB=
1， 2
∴-2≤k≤ 1 .
2
题型三求直线的方程【例3】求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 思维启迪选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可. 解（1）方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y= 2 x，即2x-3y=0.
D.第四象限
解析由题意知A·B·C≠0.
直线方程变为y=- A x- C ， BB
∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，
∴其斜率k=- A＜0,在y轴上的截距b=- C ＞0,
B
B
∴直线过第一、二、四象限.
5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .
捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示
的平面区域的性质使问题得以解决.
知能迁移2 已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直
线l：y=k（x-2）+1
与线段AB相交，则k的取值范围是
A.k≥
1 2
B.k≤-2
C.k≥ 1 或k≤-2 2
D.-2≤k≤ 1 2
（ D）
解析由已知直线l恒过定点P（2，1），如图.
由已知3-
2
k =2-3k，解得k=-1或k=
2
,
k
3
∴直线l的方程为
y-2=-（x-3）或y-2=
2 3
(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.

《直线的两点式方程》人教版高中数学必修二PPT课件(第3.2.2课时)

x
y
1,
aaLeabharlann 把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上直线方程为 y 4 x 或 x y 1 0.
5
新知探究
归纳：各类方程的适用范围
直线方程名称点斜式斜截式两点式截距式
直线方程情势
y y0 k(x x0 )
y kxb
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
新知探究
思考2 设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中x1≠x2，y1≠y2），你能写出直线l的点
斜式方程吗？
当x1
x2时，k
y2 x2
y1 x1
取P1(x1, y1), 代入点斜式方程得，
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1)
y1 y2时，化成比例式：
y y1 y2 y1
4.斜截式是点斜式的___特____殊___情____况_____
新知探究
思考1 已知直线 l 过A（3，-5）和B（-2，5），如何求直线 l 的方
程方.法一、待定系数法
方法二、∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
5 5
kl 2 3 2
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ).
x x1 . x2 x1
新知探究
直线的两点式方程
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2,y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式. 记忆特点：左边全为y，右边全为x 两边的分母全为常数分子，分母中的减数相同

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高中数学必修2知识点——直线与方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与ｘ轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８０°（2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即0tan (90)k αα=≠。

斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。

当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈时,0<k ; 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点:(１)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2）k 与P 1、P 2的顺序无关;(3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.如右图,直线l １的倾斜角α=30°，直线l 1⊥ｌ2,求直线ｌ1和l解:k 1=ｔan30°=33 ∵l 1⊥l 2 ∴ ｋ1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例:直线053=-+y x 的倾斜角是( ) Ａ.１２0° B.150° C.60°(3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ,且过点()11,y x注意:当直线的斜率为0°时,k=０,直线的方程是y ＝y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因ｌ上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是ｘ=x １。

②斜截式：b kx y +=,直线斜率为ｋ，直线在y 轴上的截距为ｂ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠)即不包含于平行于x 轴或ｙ直线两点轴的直线,直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时,方程可以表示任何一条直线。

④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。

⑤一般式:0=++C By Ax （Ａ，B 不全为0)注意:错误!各式的适用范围错误!特殊的方程如:平行于x 轴的直线：b y =(b 为常数）; 平行于y 轴的直线:a x =(a 为常数）; 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12-，经过点A(8，—2); .（２）经过点B （4,2)，平行于x 轴； .(3)在x 轴和y轴上的截距分别是3,32-; ．４)经过两点Ｐ１(3,—2)、P ２（５,—4)； .例1：直线l 的方程为A ｘ＋B ｙ＋Ｃ=０,若直线经过原点且位于第二、四象限，则( ）A ．C =0,B>0ﻩB ．Ｃ=0，Ｂ>0,A>0C.C =0,A Ｂ<0 D ．Ｃ=0，ＡB>0例2:直线l 的方程为A ｘ—Ｂy —C =０,若A 、B 、C 满足AB ．＞0且BC ＜０,则l 直线不经的象限是( )A ．第一B ．第二Ｃ．第三 D.第四(4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一)平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为０的常数）的直线系：000=++C y B x A (C 为常数） (二）过定点的直线系（ⅰ)斜率为k 的直线系：()00y y k x x -=-,直线过定点()00,y x ； (ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中。

(三)垂直直线系垂直于已知直线0Ax By C++=（,A B 是不全为０的常数)的直线系: 0Bx Ay C '-+=例1：直线ｌ:(２m+1）x +（m+1)ｙ—7ｍ—4＝0所经过的定点为。

(m ∈R)(5）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=,222:b x k y l +=时,(1）212121,//b b k k l l ≠=⇔;(2)12121-=⇔⊥k k l l 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

(3）1212,k k b b ==⇔1l 与2l 重合；(4)12k k ≠⇔1l 与2l 相交。

另外一种形式:一般的,当1111110:0(,)l A x B y C A B ++=不全为，与2222220:0(,)l A x B y C A B ++=不全为时,(1)122112210//120A B A B l l B C B C -=-≠⎧⇔⎨⎩,或者1221122100A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩。

(2)1212120l l A A B B ⊥⇔+=。

（３)1l 与2l 重合⇔1221A B A B -=1221B C B C -=1221AC A C -=0。

(4）1l 与2l 相交⇔12210A B A B -≠。

例.设直线 l 1经过点Ａ(m ,1）、B(—3,4)，直线 l ２经过点Ｃ(1，m )、Ｄ(—１,m +1), 当(１) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值例１.已知两直线l 1: ｘ+（1+ｍ） y =2—m 和l 2：2mx +４ｙ+16=0,ｍ为何值时l 1与ｌ2①相交②平行例2. 已知两直线l 1:(3a +2) x +(１—４a ) y +8=0和l 2：(５a —2）x +（a +4)y —７=0垂直，求ａ值(6）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ; 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合例3.求两条垂直直线l 1：2ｘ+ y +2=０和ｌ2：ｍｘ+4ｙ—2＝０的交点坐标例4．已知直线l 的方程为121+-=x y , （1)求过点(2，3）且垂直于ｌ的直线方程；(2)求过点（２，3）且平行于l 的直线方程。

例2：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点Ｐ(２，3)及两条直线l 1： x +3y —4=０和l ２:5x +２y+1=０的交点Q;（2）经过两条直线l 1：２ｘ+y —8＝0和ｌ2：x —2y ＋1＝0的交点且与直线４ｘ—3ｙ—7＝０平行;(3) 经过两条直线l １：２x —3ｙ+１0=0和ｌ２:3x +４ｙ—２＝0的交点且与直线３x —2y +４=0垂直；(7）两点间距离公式:设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点,则||AB =（8)点到直线距离公式:一点)00,y x P 到直线1:0l Ax By C ++=的距离2200B A CBy Ax d +++=(9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

对于0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 来说：d =。

例1:求平行线l 1：3ｘ+ 4y —１2＝0与l 2： ax +8y +１1=0之间的距离。

例２:已知平行线l 1:3x +２ｙ —6=0与l ２： 6ｘ+4y —3=０，求与它们距离相等的平行线方程。

(1０）对称问题1) 中心对称 A 、若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称，则由中点坐标公式得112,2.x a x y b y =-⎧⎨=-⎩ B 、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点，再利用12//l l ,由点斜式得出所求直线的方程。

2) 轴对称Ａ、点关于直线的对称：若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，则线段12P P 的中点在对称轴l 上,而且连结12P P 的直线垂直于对称轴l ,由方程组121212120,22,x x y y A B C y y B x x A++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标22(,)x y （其中120,)A x x ≠≠。

B 、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决,若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ;若已知直线1l 与对称轴l 平行,则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。

例１:已知直线ｌ：２x —3ｙ+1=0和点P （—1,—2).(1）分别求：点P(—1,—２）关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标（2) 分别求:直线l ：2x —3ｙ+1=0关于x 轴、y 轴、直线y ＝x 、原点O 的对称的直线方程.(3) 求直线l 关于点P(—1,—２)对称的直线方程。

（4) 求P(—１，—2)关于直线l 轴对称的直线方程。

例2:点P （—1，—２)关于直线l ： x +y —2=０的对称点的坐标为。

1１. 中点坐标公式:已知两点Ｐ１ (x 1，y 1)、P 1（x １,y １),则线段的中点Ｍ坐标为(221x x +,221y y +)例. 已知点A(7，—4)、B（—5,6),求线段ＡB的垂直平分线的方程。