对称矩阵对角化
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§4 对称矩阵的对角化
于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
2−λ −2 0 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
第二步 由( A − λi E ) x = 0, 求出A的特征向量
对 λ1 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得 2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E ) x = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x &#ξ 2 = 1 . − 2
对称阵的对角化
i
( iii ) 将 上 面 求 得 的 特 征 向 量 为 列 , 排 成 一 个 n 阶 方 阵 H , 则
H ( 1 1 , 1 2 , , 1 r , 2 1 , , 2 r , , s 1 , , s r s ) 1 2
1
此为所求的可逆方阵, H
1
相似
= =
正交 相似
正交 相似
三、矩阵的相似对角化的条件
存在一个 n 阶可逆阵 P , 使 L P A 与对角阵 L 相似 ?
1 p 1 , p 2 , , p n )， L 设 P( n 1
1
AP
( Ap 1 , Ap 2 , , Ap n )
A A A ,
x 是其对应的特征向量 , 即 Ax x
A x A x ( Ax ) ( x ) x
x T A x ( x T A T ) x ( A x )T x ( x )T x x T x
另一方面
x T A x x T (A x ) x T x x T x
( i ) 求 出 A 的 所 有 相 异 的 特 征 值 1 , 2 , , s ; 它们的重数依次为 r1 , r 2 , r s ( r 1 r 2 r s n )
( ii ) 对 每 个 r i 重 特 征 值 i , 求 出 对 应 的 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 i 1 , i 2 , , ir ( 方 程 组 ( A i E ) x O 的 基 础 解 系 ， 1 , 2 , , m ) i
( iii ) 将 上 面 求 得 的 特 征 向 量 为 列 , 排 成 一 个 n 阶 方 阵 H , 则
H ( 1 1 , 1 2 , , 1 r , 2 1 , , 2 r , , s 1 , , s r s ) 1 2
1
此为所求的可逆方阵, H
1
相似
= =
正交 相似
正交 相似
三、矩阵的相似对角化的条件
存在一个 n 阶可逆阵 P , 使 L P A 与对角阵 L 相似 ?
1 p 1 , p 2 , , p n )， L 设 P( n 1
1
AP
( Ap 1 , Ap 2 , , Ap n )
A A A ,
x 是其对应的特征向量 , 即 Ax x
A x A x ( Ax ) ( x ) x
x T A x ( x T A T ) x ( A x )T x ( x )T x x T x
另一方面
x T A x x T (A x ) x T x x T x
( i ) 求 出 A 的 所 有 相 异 的 特 征 值 1 , 2 , , s ; 它们的重数依次为 r1 , r 2 , r s ( r 1 r 2 r s n )
( ii ) 对 每 个 r i 重 特 征 值 i , 求 出 对 应 的 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 i 1 , i 2 , , ir ( 方 程 组 ( A i E ) x O 的 基 础 解 系 ， 1 , 2 , , m ) i
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第四节 对称矩阵的对角化
矩阵因 PA ,对使称P,因-故1AAP 对= 称,,其故中 是以 A 的 n 个特征
值为对角1p1元T =素(的1对p1p)角T1T=矩=(阵A(p.11p)1T)T= =p1(TAApT1)=T p=1TpA1TA, T = p1TA
于是证明从略于.是
1 p1Tp2 = p11TpA1pT2p2==p1pT1(TA2p2 =) =p1T2(p21pTp2 2) ,= 2 p1Tp
的基础解系, 设为 pi1 , pi2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 pi1 , pi2 , , pini ，以这些向量为列构
造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
1
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
单击这里求特征多项式
3 2 0
|A E| 2 2 2
0 2 1
例 18
设
A
A0101010111
1 1,
,
1 1 1 1 00
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
方法评单注击这里求特征多项式
角矩阵 矩=角阵di矩aPg阵(,使1,矩P·=·-·阵1d,AiaPPng)=(,相使1似,,P··其，-·1,A中从Pn而)=相是A似-以 , 其，AE中从的而n是A个-以 与 - E值=与为di对ag角-(元1E-值素=为的d, i·对·a对·g,角(角n元1矩-素阵)的,.相··对·似, 角.n矩-当阵).相似. 当 是 A 的 k 重是特A征的值时 k 重，特1征, ·值··,时n，这1n, 个···特, 征n 这 n 个特
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
（1）求出A的所有不同的特征值λ1,λ2,…,λm. （2）对每个ki重特征值λi，求(A－λiE)x=0的基础 解系，得ki个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单 位化，得ki个两两正交的单位特征向量.因 k1+…+ks=n， 故总共可得n个线性无关的特征向量. （3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 Q，便有Q－1AQ=QTAQ=Λ.注意Λ中对角元的排列次序 应与Q中列向量的排列次序相对应.
对称矩阵的对角化
根据定理6-15，实对称矩阵A的不同特征 值对应的特征向量两两正交，故这n个特征向 量构成规范正交向量组.以它们为列构成矩阵Q， 则Q为正交矩阵，并有Q－1AQ=Λ，其中对角 矩阵Λ含有k1个λ1，k2个λ2，…,km个λm，恰是 A的n个特征值.证毕.
根据定理6-17，我们可以得到把实对称矩 阵对角化化
对称矩阵的对角化
【例6-14】
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
谢谢聆听
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
从上一节我们看到，一般的方阵不一定 可对角化，但对于在应用中常遇到的实对称 矩阵（满足AT=A的实矩阵），不仅一定可 以对角化，而且解决起来也要简便得多，这 是由于实对称矩阵的特征值与特征向量具有 一些可注意的特性.
对称矩阵的对角化
定理6-14
实对称矩阵的特征值必为实数. 证明 （略） 由于实对称矩阵的特征值是实数，从 而对应的特征向量也是实特征向量.
对称矩阵的对角化
定理6-16
设λ为n阶实对称矩阵A的k重特征 值，则对应特征值λ恰有k个线性无关的 特征向量.
证明 （略）
对称矩阵的对角化
定理6-17
线性代数5.4 对称矩阵的对角化
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数.
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结束
铃
❖定理1
对称阵的特征值为实数.
显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组 (AiE)x0
是实系数方程组 由|AiE|0知必有实的基础解系 所以对应
的特征向量可以取实向量.
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p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1).
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结束
铃
例2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
P1AP 或APP1
从而
AnPnP1
提示
因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵
使P1AP. 于是APP1 从而AnPnP1.
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铃
例2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P 便有
P1APPTAP. 注意中对角元的排列次序应与P中列向量的
对称矩阵可对角化的条件
对称矩阵可对角化的条件对称矩阵可对角化的条件，哎呀，听起来有点高深，但其实没那么复杂，咱们可以聊聊这事儿，轻松一点。
大家都知道矩阵是什么吧？就是一堆数字排成的方块。
对称矩阵，就是说这个方块在对角线两边的数字是一样的，简单说，就是左上和右下对称、右上和左下对称，像镜子一样，嘿，这不就像我们看到的那些对称的建筑吗？美观又整齐。
说到对角化，哈哈，听起来像是在搞什么高大上的变魔术。
其实不是的，简单来说，对角化就是把一个矩阵变得简单易懂，变成对角矩阵。
对角矩阵就是只有对角线上的数字不为零，其他地方都是零，想象一下，这就像在一块蛋糕上，只挑出那些特别好吃的水果，其他的都是多余的。
这个过程能让我们分析数据时轻松很多，像剥洋葱一样，去掉那些复杂的层次，剩下的就是最纯粹的部分。
怎样才能让对称矩阵变得可对角化呢？这就是我们要探讨的重点。
对称矩阵可对角化的关键条件就是它的特征值和特征向量。
什么是特征值呢？简单来说，特征值就是矩阵的“个性”，每个矩阵都有它自己的特征值，像一个人的性格。
而特征向量则是与特征值相对应的那些“路径”，就是指向“个性”的方向。
想象一下，一个特征值就像一颗星星，而特征向量则是连着这颗星星的光线，照亮了我们理解矩阵的道路。
哦，对了，大家可能会问，那这些特征值是不是可以随便拿来用啊？答案是，当然不行！对称矩阵的特征值必须是实数。
这就好比说，一个人不能同时有两个性格，得有个明确的定位。
如果特征值是复数，那就像在打马虎眼，谁都不知道真实情况如何。
因此，对称矩阵的特征值如果全是实数，那我们就可以愉快地开始对角化的旅程了。
除了特征值，我们还得看看特征向量。
特征向量需要线性无关，也就是说它们不能重复，得各自有各自的特征。
就像一群人，大家的特点得不一样，才能形成一个有趣的团队。
若是特征向量线性相关，那就意味着我们在特征向量中有重复的元素，这样一来，对角化就成了一场空欢喜。
有个小插曲，提到正交性。
对称矩阵的特征向量不仅要线性无关，还要正交。
对称矩阵的对角化
5.4 实对称矩阵的对角化
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
第四节 对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质
二、对称矩阵的对角化
三、小结
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E ) x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
当2 2 时，由 A 2 E x 0,
4 A 2 E 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0
1 x3 2 x1 p3 2 . 即 得基础解系 x2 2 x1 2 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3
第三步
将特征向量正交化
1 1 p1 2 , 先正交化： 令 4 0 5 0 1 ( p2 , 1 ) 4 2 2 p2 1 2 2 5 5 ( 1 , 1 )
1 A E 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 0
2 x1 2 x2 p2 1 . 即 得基础解系 x 3 2 x 2 2 23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
Байду номын сангаас 三、小结
二、对称矩阵的对角化
三、小结
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E ) x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
当2 2 时，由 A 2 E x 0,
4 A 2 E 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0
1 x3 2 x1 p3 2 . 即 得基础解系 x2 2 x1 2 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3
第三步
将特征向量正交化
1 1 p1 2 , 先正交化： 令 4 0 5 0 1 ( p2 , 1 ) 4 2 2 p2 1 2 2 5 5 ( 1 , 1 )
1 A E 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 0
2 x1 2 x2 p2 1 . 即 得基础解系 x 3 2 x 2 2 23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
Байду номын сангаас 三、小结
实对称矩阵对角化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的特征向量,故它们必两两正交. 令
i
i i
,
i 1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1 2 3 , 2 1 3 ,
3 2 3.
1 3
2 3
2 3
作
P
1 ,
2
,
3
1
3
2 2 1
2 1 2
1 2, 2
4 0 0
则
.
对应 1
1
,由
A
E
1 1
1 1
r
1 0
1 0
得1
1 1
;
对应
2
3
,由
A
3E
1 1
1 1
r
1 0
1 0
得2
1 1
.
并有p ( 1 1
, 2 ) 2
1 2
11
11 ,
再求出 p1
1 2
11
11 .
于是
An
pn p1
1 2
11
11 10
0 1 3n 1
11
1 2
11
3n 3n
1 1
3n 3n
.
三、小结 1. 对称矩阵的性质：
(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化正交化；(4)得正交阵和对角阵．
第四节 实对称矩阵的对角化
3. 对基础解系i1,i2 ,L ,iri 进行施密特正交化和单位化 得到正交的单位向量组i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
5对称矩阵的对角化
以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则 P 1 AP P 1 P
其中对角矩阵的对角元素含r1 个1 , ,rs 个s ,恰
是A的n个特征值.用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
理4.8( 如上)可得：
4
r 对应特征值 ( i 1,2, ,s ),恰有 个线性无
i
i
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n 个.
由定理4.7知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交.
7
对 1 2,解A 2Ex 0,由
2 0 0 1 0 0 A 2E 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0
得基础解系
0
1 1
1
8
对 2 3 4 ,解A 4 E x 0 ,由
0 0 0 0 1 - 1 A 4E 0 -1 1 0 0 0
（4）若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得
P1AP
12
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
13
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
定 理4.9 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P ,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值 为 对角 元
素 的 对 角 矩 阵.
证明 设A的互不相等的特征值为 1,2 , ,s ,
其中对角矩阵的对角元素含r1 个1 , ,rs 个s ,恰
是A的n个特征值.用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
理4.8( 如上)可得：
4
r 对应特征值 ( i 1,2, ,s ),恰有 个线性无
i
i
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n 个.
由定理4.7知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交.
7
对 1 2,解A 2Ex 0,由
2 0 0 1 0 0 A 2E 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0
得基础解系
0
1 1
1
8
对 2 3 4 ,解A 4 E x 0 ,由
0 0 0 0 1 - 1 A 4E 0 -1 1 0 0 0
（4）若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得
P1AP
12
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
13
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
定 理4.9 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P ,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值 为 对角 元
素 的 对 角 矩 阵.
证明 设A的互不相等的特征值为 1,2 , ,s ,
线性代数 §4 对称矩阵对角化
定理7 设A为n阶对称,矩 则阵 必有正交 P,使 矩阵 P1AP,其中 是以 A的n个特征值为对 素的对角. 矩阵
推论 设A为n阶对称,矩 是 阵 A的特征方r程 重根 ,则矩阵 AE的秩R(AE)nr,从而 对应特征 恰值有 r个线性无关的.特征向
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
第四步 将特征向量单位化
令Pi ii , i1,2,3.
2 3
23
得
P1 2 3 ,
P2 1 3 ,1 32 3 1 3 P3 2 3 . 2 3
作PP1,P2,P31 3 21 2
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
再1 ,将 2 ,3 单,令 位 P ii化 i 1 ,2 ,3 得 i
0
P1 1 2 ,
1 2
1 P2 0 ,
0
0 P3 1 2 . 1 2
于是得正交阵
PP1,P2,P3
0 12
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
2 0 0
则
P1AP0
4
0.
0 0 4
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
0 1 3
4 0 0
AE 0 3 1 242,
0 1 3
得特 1 征 2 , 2值 3 4 .
0
对 1 2 ,由 A 2 E x 0 ,得基 1 础 11 解
对 23 4 ,由 A 4 E x 0 ,得基础
1
0
2 0,
3 1.
推论 设A为n阶对称,矩 是 阵 A的特征方r程 重根 ,则矩阵 AE的秩R(AE)nr,从而 对应特征 恰值有 r个线性无关的.特征向
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
第四步 将特征向量单位化
令Pi ii , i1,2,3.
2 3
23
得
P1 2 3 ,
P2 1 3 ,1 32 3 1 3 P3 2 3 . 2 3
作PP1,P2,P31 3 21 2
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
再1 ,将 2 ,3 单,令 位 P ii化 i 1 ,2 ,3 得 i
0
P1 1 2 ,
1 2
1 P2 0 ,
0
0 P3 1 2 . 1 2
于是得正交阵
PP1,P2,P3
0 12
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
2 0 0
则
P1AP0
4
0.
0 0 4
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
0 1 3
4 0 0
AE 0 3 1 242,
0 1 3
得特 1 征 2 , 2值 3 4 .
0
对 1 2 ,由 A 2 E x 0 ,得基 1 础 11 解
对 23 4 ,由 A 4 E x 0 ,得基础
1
0
2 0,
3 1.
对称矩阵对角化证明
对称矩阵对角化证明面向大学生的对称矩阵对角化证明嘿，同学们！今天咱们来聊聊对称矩阵对角化这个有趣的话题。
想象一下，你有一个矩阵，就像是一个神秘的密码箱。
对称矩阵呢，就有它独特的规律。
比如说，咱们有个 3x3 的对称矩阵 A = [[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 6]] 。
那为啥要对角化它呢？这就好比把一堆杂乱的东西整理得井井有条。
证明对称矩阵可以对角化，就像是解开一道谜题。
咱们可以通过特征值和特征向量来搞定。
比如说，求出 A 的特征值λ1，λ2，λ3 ，然后找到对应的特征向量 v1，v2，v3 。
如果这些特征向量线性无关，那就能把 A 对角化啦！是不是挺神奇的？好啦，同学们，加油去探索这个神奇的数学世界吧！面向高中生的对称矩阵对角化证明同学们，咱们今天来接触一个有点酷的数学知识——对称矩阵对角化证明。
先别害怕，其实没那么难。
想象一下，矩阵就像是一个整齐的方队。
对称矩阵呢，就像是方队里左右对称的排列。
比如说，有个简单的对称矩阵[ [2, 1], [1, 2] ] 。
那怎么证明它能对角化呢？这就像是找到打开神秘宝箱的钥匙。
咱们要找到一些特殊的值和向量。
就好像在方队里找到特别突出的队员一样。
通过一些计算和推理，咱们就能证明对称矩阵是可以对角化的。
相信自己，你们能搞明白的！面向数学爱好者的对称矩阵对角化证明朋友们，咱们一起来探索对称矩阵对角化的奇妙证明！你看啊，比如说有个对称矩阵像这样[ [3, 2], [2, 1] ] ，是不是看起来有点复杂？别担心，咱们一步步来。
想想看，对角化就像是给这个矩阵来个大变身，让它变得简单明了。
我们通过一系列巧妙的方法，找到特征值和特征向量，就像找到了变身的密码。
比如说，求出特征值是 2 和 1 ，对应的特征向量分别是 [1, 1] 和 [1, 1] 。
这样就能证明它可以对角化啦！是不是很有趣？面向初中生的对称矩阵对角化证明小朋友们，今天咱们来了解一个有点难但很有趣的数学知识，叫对称矩阵对角化证明。
对称矩阵的对角化
1 1 当 l1 = −2时，对应的特征向量为 p1 1 ； 3 1 当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为 1 1 1 1 p2 1 , p3 1 2 6 0 2
• •
矩阵 A −lE 的秩等于 n − k， 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应．
0 1 1 例：设 A 1 0 1 ，求正交阵 P，使P−1AP = L对角阵. 1 1 0
解：因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化．
l | A l E | 1 1 1 l 1 1 1 ( l 1)2 ( l 2) l
把对称阵 A 对角化的步骤为：
1. 求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, …, ls ，它们的重
数依次为k1, k2, …, ks （k1 + k2 + … + ks = n）． 2. 对每个 ki 重特征值 li ，求方程组 | A−li E | = 0 的基础解 系，得 ki 个线性无关的特征向量． 把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki
1 3 1 于是 p1, p2, p3 构成正交阵 P ( p1 , p2 , p3 ) 3 2 0 0 1 1 从而 P AP L 0 1 0 ． 1 6 2 6
于是把 2, 3 正交化：
1 1 [ 3 ,h 2 ] 1 h2 2 1 , h3 3 h2 1 [h 2 ,h 2 ] 2 0 2 此时1⊥h2 ， 1⊥h3 ，h2⊥h3 ．
单位化：
1 0 1 于是 P AP ，即 L A P L P 0 3
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本次课讲第五章第二三节：特征值应 用相似矩阵与对角化
下次课讲第五章第四节：二次型及标 准化
下次上课时交作业P43-44
1
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化 复习：正交矩阵与正交变换的概念
定义4 如果 n 阶矩阵 A 满足 AT A E （即 A1 AT ），
那么称 A 为正交矩阵.
四、特征值与特征向量的概念
1.定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果 λ和 n 维非零列向量 x 使关
系式：
Ax x
（1）
成立，那么称数 λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 λ的特征向量.
注意：定义的几个要点
（1） A 是 n 阶矩阵，即方阵
（2）特征值 λ是数，
（3）特征向量x 是非零向量 2.如何求特征值与特征向量
2
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化 A (a1,a2 ,,an )， AT A E, AT A (a1,a2 ,,an )T (a1,a2 ,,an )
a1T
a1T a1 a1T a2 a1T an 1 0 0
a2T anT
证： 因λ是 A 的特征值，所以存在 p 0 使得 Ap p.
于是 A2 p AAp Ap Ap 2 P 依次类推可得:
Ak p k p即：k是Ak的特征值 2)若A可 逆 ，A的 特 征 值 为， 则A1的 特 征 值 为1
证：当A可逆时，由Ap p得：p A1 p
（1）由逆矩阵可交换定义得：若A正交，则A1 AT , 即若A正交，则AT A AAT E，即AT , A1, A*均正交
（2）由定义不难推出若A正交，则：A 2 1
（3）设正交矩阵A (a1,a2 ,,an ),则： aiTai 1,aiTa j 0, i j,且i, j 1,2,, n. 即A的 列 向 量 组 是 长 度 都 为1的 正 交 向 量 组
Ap p, Ak p k p, A1 p 1 p, As p s p
( A) p a0 p a1 Ap am Am p am1 A1 p ams As p
a0
p
a1p
am
m
p
am
1
1
p
am
s
s
p
(a0
即A的列向量组是长度都为1的正交向量组
（4）因为正交向量组是线性无关的，由（3）的结论,若A正交，
则A的列向量组是Rn的一个规范正交基
（5）若P为正交矩阵，x, y为列向量，则y Px为y到x的正交变换
（6）性质：正交变换不改变向量的长度
（7）对正交矩阵A的列向组成立的，对行向量组一样成立
3
第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量
an1
an2 ann
（3）式是以λ为未知数的一元 n 次方程，称为 A 的特征方程
在方程（3）或（3*）中A 的特征值λ就是特征方程的根.
因此, n 阶矩阵 A 有 n 个特征值(重根按重数计算).
所以，求特征值就是解特征方程求出n个根的过程
经常地，记 f ( ) A E , 称为方阵 A 的特征多项式.
6
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
1)1 2 n a11 a22 ann 2) 12 n A
（2） 若是矩阵A的特征值,( )是关于的多项式,则( )是f ( A)
的特征值（A含负指数）
1) 设λ是方阵 A 的特征值，证明: k征向量 （2）特征向量的求法：
设 i 为方阵 A 的一个特征值，
则由方程 A i Ex 0, 可求得非零解 x pi ，
pi 便是 A 的对应于特征值 i的特征向量.
注意：对应每一个特征值i ,都有齐次方程组（A i E)x 0,其解就是 对 应 于i的 特 征 向 量 ； 因 此 ： 1： 说 特 征 向 量 是 指 对 应于 特 征 值i的 特 征 向 量 ；
因为p 0,所以 0，，故：A1 p 1 p
7
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
3）设
A
a0
a1 A
am Am
a A1 m1
am s
A s
若为A的特征值，即Ap p,则（）为（A）的
特征值，即：（A）p （）p
证：为A的特征值, p为A对应的特征向量,则由以上结论：
2：每一个i对应于一个齐次方程组（A i E )x 0，其解有多少， 对 应 于i的 特 征 向 量 就 有 多 少 。
即：所有的特征向量就是求出（A i E )x 0所有的解，即通解 3.特征值与特征向量的性质 （1）利用特征值计算行列式
若 n 阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 ,, n 则
（1）特征值的求法
4
第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量 由定义（1）式也可写成: Ax Ex
即
A Ex 0 （2）
由于特征向量x非零，所以方程（2）有非零解的充要条件是
A E 0 （3）
a11
a12
a1n
即
a21
a22
a2n 0
（3*）
(a1
,
a2
,,
an
)
a2T a1
anT a1
a2T a2
anT a2
a2T an
anT an
0 0
1 0
0
1
即：aiTai 1,aiTa j 0, i j,且i, j 1,2,, n.
a1
amm
a 1 m1
ams s ) p
( ) p 即()为（A)的特征值
（3）不同的特征值对应的特征向量线性无关 定理：设1,2 ,,m是方阵A的m个特征值，p1, p2, , pm是依次与之
本次课讲第五章第二三节：特征值应 用相似矩阵与对角化
下次课讲第五章第四节：二次型及标 准化
下次上课时交作业P43-44
1
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化 复习：正交矩阵与正交变换的概念
定义4 如果 n 阶矩阵 A 满足 AT A E （即 A1 AT ），
那么称 A 为正交矩阵.
四、特征值与特征向量的概念
1.定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果 λ和 n 维非零列向量 x 使关
系式：
Ax x
（1）
成立，那么称数 λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 λ的特征向量.
注意：定义的几个要点
（1） A 是 n 阶矩阵，即方阵
（2）特征值 λ是数，
（3）特征向量x 是非零向量 2.如何求特征值与特征向量
2
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化 A (a1,a2 ,,an )， AT A E, AT A (a1,a2 ,,an )T (a1,a2 ,,an )
a1T
a1T a1 a1T a2 a1T an 1 0 0
a2T anT
证： 因λ是 A 的特征值，所以存在 p 0 使得 Ap p.
于是 A2 p AAp Ap Ap 2 P 依次类推可得:
Ak p k p即：k是Ak的特征值 2)若A可 逆 ，A的 特 征 值 为， 则A1的 特 征 值 为1
证：当A可逆时，由Ap p得：p A1 p
（1）由逆矩阵可交换定义得：若A正交，则A1 AT , 即若A正交，则AT A AAT E，即AT , A1, A*均正交
（2）由定义不难推出若A正交，则：A 2 1
（3）设正交矩阵A (a1,a2 ,,an ),则： aiTai 1,aiTa j 0, i j,且i, j 1,2,, n. 即A的 列 向 量 组 是 长 度 都 为1的 正 交 向 量 组
Ap p, Ak p k p, A1 p 1 p, As p s p
( A) p a0 p a1 Ap am Am p am1 A1 p ams As p
a0
p
a1p
am
m
p
am
1
1
p
am
s
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p
(a0
即A的列向量组是长度都为1的正交向量组
（4）因为正交向量组是线性无关的，由（3）的结论,若A正交，
则A的列向量组是Rn的一个规范正交基
（5）若P为正交矩阵，x, y为列向量，则y Px为y到x的正交变换
（6）性质：正交变换不改变向量的长度
（7）对正交矩阵A的列向组成立的，对行向量组一样成立
3
第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量
an1
an2 ann
（3）式是以λ为未知数的一元 n 次方程，称为 A 的特征方程
在方程（3）或（3*）中A 的特征值λ就是特征方程的根.
因此, n 阶矩阵 A 有 n 个特征值(重根按重数计算).
所以，求特征值就是解特征方程求出n个根的过程
经常地，记 f ( ) A E , 称为方阵 A 的特征多项式.
6
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
1)1 2 n a11 a22 ann 2) 12 n A
（2） 若是矩阵A的特征值,( )是关于的多项式,则( )是f ( A)
的特征值（A含负指数）
1) 设λ是方阵 A 的特征值，证明: k征向量 （2）特征向量的求法：
设 i 为方阵 A 的一个特征值，
则由方程 A i Ex 0, 可求得非零解 x pi ，
pi 便是 A 的对应于特征值 i的特征向量.
注意：对应每一个特征值i ,都有齐次方程组（A i E)x 0,其解就是 对 应 于i的 特 征 向 量 ； 因 此 ： 1： 说 特 征 向 量 是 指 对 应于 特 征 值i的 特 征 向 量 ；
因为p 0,所以 0，，故：A1 p 1 p
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第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
3）设
A
a0
a1 A
am Am
a A1 m1
am s
A s
若为A的特征值，即Ap p,则（）为（A）的
特征值，即：（A）p （）p
证：为A的特征值, p为A对应的特征向量,则由以上结论：
2：每一个i对应于一个齐次方程组（A i E )x 0，其解有多少， 对 应 于i的 特 征 向 量 就 有 多 少 。
即：所有的特征向量就是求出（A i E )x 0所有的解，即通解 3.特征值与特征向量的性质 （1）利用特征值计算行列式
若 n 阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 ,, n 则
（1）特征值的求法
4
第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量 由定义（1）式也可写成: Ax Ex
即
A Ex 0 （2）
由于特征向量x非零，所以方程（2）有非零解的充要条件是
A E 0 （3）
a11
a12
a1n
即
a21
a22
a2n 0
（3*）
(a1
,
a2
,,
an
)
a2T a1
anT a1
a2T a2
anT a2
a2T an
anT an
0 0
1 0
0
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即：aiTai 1,aiTa j 0, i j,且i, j 1,2,, n.
a1
amm
a 1 m1
ams s ) p
( ) p 即()为（A)的特征值
（3）不同的特征值对应的特征向量线性无关 定理：设1,2 ,,m是方阵A的m个特征值，p1, p2, , pm是依次与之