【精选】八年级全等三角形(篇)(Word版 含解析)
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【解析】
【分析】
（1）①根据等边对等角，求到 ，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到 是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；
【详解】
解：(1)∵
∴
∴
∵
∴
∴
在 与 中，
∴
∴
又∵ ，
∴
(2)∵
∴
∴
∴
∴
∴
在 与 中，
∴
∴
又∵
∴
(3)∵
∴
∴
在 与 中，
∴
∴
又∵
∴
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．
5．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm，BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130
【解析】
试题分析： 由 得到 即 从而得到
由△ 得到 ，再证明 利用勾股定理即可得出结论.
过点 作 于 ,根据等腰三角形三线合一得， 或 求出 的长，即可求得 .
试题解析：
即
在 和 中，
设
解得：
故
过点 作 于 ,根据等腰三角形三线合一得，
（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）①证明：
，且E与A重合，
是等边三角形
在 和 中
②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，
∵∠ADB＝60°DE＝DF
∴△DEF为等边三角形
∵AG∥EF
∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°
在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）
∴CM=CN
∴CN= ，
又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，
∴CE= ，
当AC=3，CD=CO=1时，
CE=
当AC=3，CD=CB=7时，
CE=
∴点E的运动路程为： ，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．
（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【详解】
解：（1）
∴ ，
故答案为：
（2）连接CE，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E在∠ACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN= ，根据CD的长度计算出CE的长度即可．
(2)DE=AD+BE;
(3)DE=AD+BE，证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)本小题只要先证明 ，得到 ， ，再根据 ， ，易求出BE的值；
(2)先证明 ，得到 ， ，由图②ED=EC+CD，等量代换易得到 之间的关系；
（３）本题先证明 ，然后运用“AAS”定理判定 ，从而得到 ，再结合图③中线段ED的特点易找到 之间的数量关系．
∴在△AEM与△DEN中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE
∴△AEM≌△DEN（AAS）
∴ME=NE
∴点E在∠ACB的平分线上，
即 是 的平分线
（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，
∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，
∵△AEM≌△DEN
∴AM=DN，
即AC-CM=CN-CD
4．综合实践
如图①， ，垂足分别为点 ， ．
（1）求 的长；
（2）将 所在直线旋转到 的外部，如图②，猜想 之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）如图③，将图①中的条件改为：在 中， 三点在同一直线上，并且 ，其中 为任意钝角．猜想 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)0.8cm;
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．（1）如图1，在Rt△ABC中， ，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△ 绕点 逆时针旋转90后，得到△ ，连接 .
（1）试说明：△ ≌△ ；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.
3．在 中， ，点 在 边上，且 是射线 上一动点(不与点 重合，且 )，在射线 上截取 ，连接 ．
当点 在线段 上时，
①若点 与点 重合时，请说明线段 ；
②如图2，若点 不与点 重合，请说明 ；
当点 在线段 的延长线上 时，用等式表示线段 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD
或
或
或
点睛： 是斜边 所在直线上一点,注意分类讨论.
2．如图，在 中， ，点 是 边上的动点，连接 ，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ．
（1）填空： 的面积等于；
（2）连接 ，求证： 是 的平分线；
（3）点 在 边上，且 ，当 从点 出发运动至点 停止时，求点 相应的运动路程．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）
∴∠DAG＝∠AGD
∴DA＝DG
∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF
由①易证△AGB≌△ADC
∴BG＝CD
∴Bwk.baidu.com＝BG＋GF＝CD＋AE
（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，
由（1）可知，AE=GF，DC=BG，
故 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【分析】
（1）①根据等边对等角，求到 ，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到 是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到 ，推出 ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；
【详解】
解：(1)∵
∴
∴
∵
∴
∴
在 与 中，
∴
∴
又∵ ，
∴
(2)∵
∴
∴
∴
∴
∴
在 与 中，
∴
∴
又∵
∴
(3)∵
∴
∴
在 与 中，
∴
∴
又∵
∴
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．
5．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm，BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130
【解析】
试题分析： 由 得到 即 从而得到
由△ 得到 ，再证明 利用勾股定理即可得出结论.
过点 作 于 ,根据等腰三角形三线合一得， 或 求出 的长，即可求得 .
试题解析：
即
在 和 中，
设
解得：
故
过点 作 于 ,根据等腰三角形三线合一得，
（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）①证明：
，且E与A重合，
是等边三角形
在 和 中
②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，
∵∠ADB＝60°DE＝DF
∴△DEF为等边三角形
∵AG∥EF
∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°
在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）
∴CM=CN
∴CN= ，
又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，
∴CE= ，
当AC=3，CD=CO=1时，
CE=
当AC=3，CD=CB=7时，
CE=
∴点E的运动路程为： ，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．
（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【详解】
解：（1）
∴ ，
故答案为：
（2）连接CE，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E在∠ACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN= ，根据CD的长度计算出CE的长度即可．
(2)DE=AD+BE;
(3)DE=AD+BE，证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)本小题只要先证明 ，得到 ， ，再根据 ， ，易求出BE的值；
(2)先证明 ，得到 ， ，由图②ED=EC+CD，等量代换易得到 之间的关系；
（３）本题先证明 ，然后运用“AAS”定理判定 ，从而得到 ，再结合图③中线段ED的特点易找到 之间的数量关系．
∴在△AEM与△DEN中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE
∴△AEM≌△DEN（AAS）
∴ME=NE
∴点E在∠ACB的平分线上，
即 是 的平分线
（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，
∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，
∵△AEM≌△DEN
∴AM=DN，
即AC-CM=CN-CD
4．综合实践
如图①， ，垂足分别为点 ， ．
（1）求 的长；
（2）将 所在直线旋转到 的外部，如图②，猜想 之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）如图③，将图①中的条件改为：在 中， 三点在同一直线上，并且 ，其中 为任意钝角．猜想 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)0.8cm;
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．（1）如图1，在Rt△ABC中， ，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△ 绕点 逆时针旋转90后，得到△ ，连接 .
（1）试说明：△ ≌△ ；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.
3．在 中， ，点 在 边上，且 是射线 上一动点(不与点 重合，且 )，在射线 上截取 ，连接 ．
当点 在线段 上时，
①若点 与点 重合时，请说明线段 ；
②如图2，若点 不与点 重合，请说明 ；
当点 在线段 的延长线上 时，用等式表示线段 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF＝AE-CD
或
或
或
点睛： 是斜边 所在直线上一点,注意分类讨论.
2．如图，在 中， ，点 是 边上的动点，连接 ，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ．
（1）填空： 的面积等于；
（2）连接 ，求证： 是 的平分线；
（3）点 在 边上，且 ，当 从点 出发运动至点 停止时，求点 相应的运动路程．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）
∴∠DAG＝∠AGD
∴DA＝DG
∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF
由①易证△AGB≌△ADC
∴BG＝CD
∴Bwk.baidu.com＝BG＋GF＝CD＋AE
（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，
由（1）可知，AE=GF，DC=BG，
故 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．