6第五节可压缩流动的数值模拟概述

动量定理：在惯性参考系中物体动量的变化，等于作用在物体上外力的冲量。
dPi
dt
d dt
vi dV
(t )
(t)
fi dV
ijn jdS
S (t )
利用雷诺输运公式，
(t)
d
dt
(vi )
vi
v j x j
dV
(t)
fi dV
ijn jdS
S (t )
积分形式的连续性方程为
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第五章 可压缩流动数值模拟概述
§5.1 控制方程 §5.2 激波间断和广义解 §5.3 激波捕捉方法 §5.4 有限差分和有限体积方法 §5.5 Navier-Stokes方程中黏性项的离散 §5.6 时间步长的计算 §5.7 边界条件的处理
§5.1 控制方程
雷诺输运公式：
d
dt
(t )
F (xi ,t)dV
(t )
dF dt
F ( v) dV
(t)
F t
(Fv) dV
F dV FV ndS
(t ) t
S (t)
n是边界曲线S (t )的外法线单位矢量。
一个物质体系内某种流体广延量的增长率，等于体系在该时刻所占的
比内能
封闭物质体系中流体的总能量 E(t) (v2 / 2 )dV (t ) 能量守恒定律：封闭体系中，流体能量的增加，等于外力对体系所做的功，
加上从体系边界上传入体系内的热量。
dE W Q dt 其中，W 外界对体系做的功；Q 单位时间内通过边界流入体系的热通量。 单位时间内，通过法向为ni的微面元dS的热量
熵条件(entropy condition):设定义在t 0半平面上u(x,t)，是存在有限条光滑 间断线的分段连续可微函数，且是标量守恒律
u
t
f x
0
的弱解，
u(x, 0) (x)
如果u( x, t )在间断线附近满足
f
(u ) u
f (w) w
f
(u ) u
f (u u
)
f (u ) f (w) u w
1 u(x, t) t1 0
x 1 x 1
对于非线性的Burgers方程，即使
初始值连续，解仍可能出现间断。
5.2.2 广义解
对于一维双曲型守恒律 U F 0 的初值问题，引入广义解(generalized solution) t x
或者弱解(weak solution)的概念，表示包含间断的解。
T
xx 2ux (ux vy ), yy 2uy (ux vy ), xy yx (uy vx )
5.1.2 守恒型Euler方程
忽略Navier-Stokes方程中的黏性和热传导，
得任意曲线坐标系下，二维守恒型Euler方程为
Uˆ Fˆ Gˆ 0
t
其中， Uˆ =JU , 改写成拟线性形式
G v2 p ,
vw
(
E
p)v
w
uw
H vw
w2 p
(
E
p)w
0
0
0
F
xx xy
xz
u xx
v xy
w xz
k
T x
,
G
xy
yy
yz
u xy
v yy
w yz
k
T y
,
H
xz yz
zz
u xz
v yz
例：Burgers方程（Euler方程的非线性模型方程）间断解或激波的形成过程。
u u u 0 t x
1 初始条件：u(x, 0) u0 (x) 1 x
0
x0 0 x 1 x 1
根据特征理论，Burgers方程的解析解为
1
u(x,
t
)
1 1
x t
0
xt t x 1 x 1
当t 1时，Burgers方程的解为
Fˆ J (Fx G y ), Gˆ J (Fx Gy )
U
u
,
v
E
u
F
u2 uv
p
,
( E p)u
v
G
vu v2
p
( E p)v
F
0
xx
xy
xz
u xx
v xy
w
xz
k
T x
T
G 0
xy yy
yz
u xy
v
yy
w
yz
k
T y
5.1.1 守恒型的Navier-Stokes方程
不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型Navier-Stokes方程的向量形式：
U (F F ) (G G ) (H H ) 0
t
x
y
z
u
U v ,
w
E
u
u2
p
F uv
,
uw
(
E
p)u
v
vu
因此，双曲型守恒律的广义解U (x,t)是被有限个间断线分开的分段光滑函数， 在光滑区，U (x,t)是满足微分方程 U F 0的连续可微解；在间断线两侧，
t x U (x,t)满足R-H关系。
5.2.3 熵条件
广义解推广了偏微分方程初值问题连续可微解的概念，却导致弱解不唯一； 但是，对于有明确物理意义的守恒律，只有一个解是有物理意义的， 称为物理解。 物理解：满足广义解的定义式，同时满足熵条件(entropy condition)。
上式可以化为
dx
t2 t1
F (U (x(t) 0,t))dt U (x(t) 0,t) dt dx
dt xx(t )0
0
F (U (x(t) 0,t))dt U (x(t) 0,t)
dt
dt xx(t)0
U (x(t) 0,t)和U (x(t) 0,t)分别表示从
左、右两侧趋近间断线时守恒变量的值。
dQ qinidS
Q qinidS
S (t)
外力：体积力和面积力。做功的功率为
W fividV ijnjvidS
(t )
S (t)
积分形式的能量方程为
(t)
t
v2 2
dV
(t )
xi
vi
v2 2
dV
将面积分改写为体积分
fividV ijnjvidS qinidS
F (xi ,t)dV
F (t) t
+ (Fv) dV
连续性方程可以改写为
(t)
t
dV
S (t)
v ndS
(t )
t
(v)
dV
0
由此得微分形式的连续方程：
(v) 0
(1)
t
或
v () v d v 0
t
dt
对于不可压缩流动 v=0
动量方程
封闭物质体系中流体的总动量 Pi vidV (t )
令 U U (x(t) 0,t), U U (x(t) 0,t), D dx dt xx(t )
在间断两侧，U U 。考虑到t1，t2可以任意取值， 可得Rankine-Hogoniot(R-H)关系： F D U 其中， F F (U ) F (U ), U U U
空间域中同一物理量的增长率，加上单位时间内通过区域边界流出的
该物理量的总通量。
连续性方程
流体物质体系的总质量 M (t) (xi ,t)dV (t ) 对于封闭的物质体系 dM / dt 0
积分形式的连续性方程为
dV v ndS 0
(t) t
S (t)
利用高斯定理：
d
dt
(t)
w zz
k
T z
对于二维问题，利用坐标变换关系，
x
1 J
y，x
1 J
y， y
1 J
x， y
1 J
x
在任意曲线坐标系下，二维守恒型Navier-Stokes方程为
Uˆ
t
Fˆ Fˆ
Gˆ Gˆ
0
其中， Uˆ =JU , Fˆ J (Fx Gy ), Gˆ J (Fx Gy )
x j
(viv j )dV
(t)
fi dV
(t)
ij
x j
dV
微分形式的动量方程为
t
(vi )
x j
(viv j
)
fi
ij
x j
(2)
其中，fi是外力，对于Newton流体，根据广义Newton定律，
ij pij ij (ij 黏性应力张量)
能量方程
流体的能量密度：(v2 / 2 )
xt
u xt )
D 1
在x t处，R H条件为
Fˆ J (Fx Gy ),
Gˆ J (Fx Gy )
Uˆ Aˆ (Uˆ ) Bˆ (Uˆ ) 0
t
其中，
Aˆ
Fˆ Uˆ
x
F U
y
G U
xAyB
Bˆ
Gˆ Uˆ
x
F U
y
G U
x A y B
§5.2 激波间断和广义解
激波：可压缩流动中一个非常重要而又复杂的现象。
在Navier-Stokes方程的范畴内，激波可以看做一个连续但物理量的梯度 非常大的有限厚度的结构。但是，在通常情况下，激波的厚度很薄，远 小于计算网格的尺度，在计算中，需要把激波当做间断处理。
(t)
t
(vi )dV
(t )
fi dV
(viv j
S (t )
ij )n jdS
固定区域中，单位时间内流体总动量的增加，等于该时间内通过区域边界面
进入区域的动量，加上在外场力作用下引起的区域内流体动量的变化。
利用高斯定理，
积分形式的动量方程可以改写为
(t)
t
(vi )dV
(t )
定义：设U (x,t)是分段连续可微的函数，在t 0的半平面，如果对于与U (x,t)的间断 线只有有限个交点的任意分段光滑的闭曲线，都有
F(U )dt Udx 0
则称U (x,t)为方程U tF x Nhomakorabea0
在初值U (x, 0) U0 (x),
( x )下的广义解或弱解。
广义解的意义：
一方面，如果已知U (x,t)是光滑的，设围成的区域为，利用Green公式，
在Euler方程的范畴内，由于方程本身缺乏必要的耗散机制，激波厚度为零， 激波两侧物理量存在间断，在数值求解Euler方程时，必须解决包含间断的 流场的计算问题。
5.2.1 激波的形成
激波：非线性现象。 线性对流方程 u a u 0 t x
如果初始值连续，那么，解中不会自发出现间断。 对于非线性问题，即使初始值连续，在时间演化过程中，仍可能 出现包含间断的解。
u
u
(u ) D (u ) 不满足熵条件
u(x,t) u0 (x)不是Burgers方程的物理解。
1 另外，考虑分段连续可微函数 u(x,t) x / t
1
x t t x t 是否物理解。 xt
(在x t处存在幅值为零的间断)
在x t处，R H条件为
u2 2
xt
u2
2
xt
D(u
其中，w I (min{u ,u}, max{u ,u})。则弱解唯一，且是物理解。
由R
H 关系，熵条件中的
f
(u ) f (u ) u u
是间断面的传播速度D
dx 。 dt
在间断左侧，令w u，则 lim f (u ) f (w) 表示间断左侧的特征线斜率
wu
u w
(u ) f (u )。在右侧，令w u，则 lim
u
wu
f (u ) f (w) 表示间断右侧的 u w
特征线斜率(u ) f (u )。 u
所以，对于标量守恒律，熵条件蕴含了(u ) D (u )
例：Burgers方程
u t
u
u x
0在初值为
u0 (x)
1 1
x 0 时的解。 x0
守恒型方程：
u t
x
u2 2
0
初值在x 0处有一个间断，x 0处的R H条件为
Fdt
Udx
U t
F x
dxdt
0
闭曲线可以在光滑区内任意取，所以，
U F 0 t x 即：在光滑区，弱解就是通常的连续可微解。
另一方面，如果U (x,t)是由一条间断线x x(t)分隔开的分段连续可微的函数
闭曲线：由x x(t) ,t t1,t t2围成。
在上应用 Fdt Udx 0，得
(t)
S (t )
S (t )
ijnjvidS
S (t)
(t )
x j
(vi ij
)dV
;
Fourier传热定律：qi
k
T xi
微分形式的能量方程为
qinidS
S (t)
(t )
qi xi
dV
t
v2 2
xi
vi
v2 2
fivi
x j
(vi ij )
k
T xi
(3)
t2
F
(U
(
x(t
)
,
t
))dt
U
(
x(t
)
,
t
)
dx
dt
t1
dt xx(t)
x(t2 ) x(t2 )
U
(
x,
t2
)dx
t1
F
(U
(
x(t
)
,
t
))dt
U
(
x(t
)
,
t
)
dx
dt
t2
dt xx(t)
x(t1 ) x(t1 )
U
(x,
t1 )dx
0
令 0，
并考虑到在x x(t)两侧U (x,t)有间断，
u2 2
x0
u2 2
x0
D(u x0
u x0 )
D0
1 u(x,t) u0 (x) 1
x 0 在间断处满足R H关系，其它地方满足 x0
微分方程，u(x,t) u0 (x)是Burgers方程的一个广义解。
检验是否满足熵条件：
(u ) f (u ) u 1; (u ) f (u ) u 1