有限元分析的数序基础-加权残值-等效积分-迦辽金等03B

为了不出现在边界上对未 知函数的导数项
间有如下关系
包含在x = 1处的边界条件
上式称为原来加权余量 公式的弱形式
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n 如果采用伽辽金法，我们得到如下线性代数方程 组 其中
显然，我们得到对称系数矩阵 在积分运算中，只需对试函数Nm 进行一阶微分，
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微分方程的等效积分形式和加权余量法 一、函数的近似表示 任一个给定的函数ϕ ，它在区域 D 内定义，其边界
为Γ ，近似表示一个函数的方法可分为两大类。 1) 试函数近似 假设一个给定的函数是ϕ ，在边界Γ 上取给定的值ϕ ，
总可以近似表示这一函数为如下一般形式，即：
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利用加权余数法将偏微分方程转化为 代数方程组求解
n 方程的近似解被表示为一系列独立的尝试函数的线性组合， 其中包括未知的待定系数。
n 通常用迦辽金原理选取加权函数，（即令加权函数等于尝 试函数本身），从而完成对加权余数的定义，(尝试函数 的选取满足边界条件)
OVERVIEW
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n SF—Strong Form. 偏微分方程 边界条件 著名的牛顿第二定律 : F = ma
n WF—Weak Form. “弱”形式：如加权余量法 等效 积分形式 weighted residual method (WRM). Galerkin
OVERVIEW
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微分方程组
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如果一个问题由一组微分方程描述，即
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写成矩阵形式为 其中
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每一个方程和对应的边界条件写出加权余量公式有
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弹性力学平面问题
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1）平衡方程 2）几何方程ຫໍສະໝຸດ Baidu
3）物理方程 4）边界条件
（2）求解 基于以上简化的“特征建模”方法得到较为简单的基本方程：
常微分方程，其解的形式有：
讨论
n 有关能量的计算： n 应变能
n 外力功 n 势能
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微分方程的加权余量法
n 例题
d 2u
n 求解二阶微分方程 dx2 + u + x = 0
边界条件，当x＝0时，u=0
(0 ≤ x ≤ 1)
当x=1时，u=0
取近似解为 u=x(1-x)(a1+a2x+…)
满足边界条件，但不满足微分方程，在域内产生余量R
n VF—Variational Form. 变分形式
Rayleigh-Ritz method (RRM).
为什么需要“弱”形式以及变分形式？ 近似方法，离散
OVERVIEW
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有限差分法：微分方程求解一种直接方法 OVERVIEW
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2.1 简单问题的解析求解
上式中区域积分项通过分部积分可写成
其中 C ，D，E 都是线性微分算子，它们的微分 阶数都比L 的阶数低。
经过上述运算后的公式通常称为加权余量公式的弱形式 33
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对上式中第一项做分部积分， 对未知函数的导数降阶，得到
满足在x = 0 处的边界条件， 但是不满足在x = 1处的边界条件
有限元法基本概念及数学 基础
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新问题
问题 数学模型
设计改进
有限元 求解
结束
Chapter 1 About Finite Element Method
模型改进
典型的工程分析流程图
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数学模型可以分为三种形式: Strong Form (SF), Weak Form (WF) and Variational Form (VF).
可以看出通过使用 Green 定理，适当选取加权函数 表面力边界条件(用基本未知函数 的导数表示)不再出现， 所以弹性力学中表面力边界条件是自然边界条件。 把近似解的表达式代入上式，并采用伽辽金法得到
显然[K]是对称阵。上式叫做弹性力学平面问题的弱形式，可以
证明这一弱形式同样可以由虚功原理导出。弹性力学的虚功原理
余量加权积分为0 1
∫Wi Rdx = 0
0
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n 一项近似解：n=1 u%1 = a1x(1− x)
余量 R1(x) = x + a1(−2 + x − x2 )
二项近似解：n=2 u%2 = x(1− x)(a1 + a2x)
余量 R2 (x) = x + a1(−2 + x − x2 ) + a2 (2 − 6x + x2 − x3)
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2.1.1 1D拉压杆问题 一个上端固定的拉杆在底部承受外力P，该拉杆的长 度为l，横截面积为A，弹性模量为E。
（1）基本变量 一维问题，只有沿着x方向变量，其它变量为零。
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（2）基本方程 对原三维问题的所有基本方程进行简化，只
n 如果边界条件中出现对未知函数的导数，在有的边 界积分中，需要沿边界求ϕˆ 的导数，当区域是曲线 （曲面）或复杂形状时，这是很困难的。
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n 对某些方程和边界条件做适当的运算后，可以不 需要在边界上求函数的导数。 加权余量公式的一般形式
代入微分方程和边界条件后，有
n 式中am(m = 1,2,......M) 是待定的参数，用适当的方 法确定他们的值，使得近似函数 ϕˆ 尽可能好地与 给定函数ϕ 吻合。
n 式中的 N m通常叫做试函数或基函数等。
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加权余量近似
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常用加权函数
n 配点法 n 子域法 n 最小二乘法 n 力矩法 n GALERKIN法
子域配置法（Subdomain Collocation）
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最小二乘法
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n 要求误差RD 的平方在求解域内积分取最小值， 也就是使下面的积分取最小值，即
I 变成参数 am 的函数，所以极值条件可写成
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矩法（Method of Moments）
0
0
伽辽金法
一项近似解： 1
W1 1 = N1 = x(1− x)
∫ ∫ N1 • R1(x)dx = x(1− x)[x + a1(−2 + x − x2 )]dx = 0
0
0
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边界条件加权余量近似
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n 在上面的讨论中选取的近似函数满足全部边界条 件，用加权余量法近似满足区域内的微分方程， 这对近似函数的选取加上了限制。
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配点法
n 由 δ 函数的上述定义可以看出，取这种加权函 数，就意味着使得RD 在若干选定的点上等于0， 即在这些点上有ϕˆ = ϕ 。
n 取加权函数为Diracδ函数，即Wl= δ(x−xl)
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则只需对边界条件建立加权余量公式，即
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选取的近似解事先满足区域内的微分方程，通常是十分困难的 拉普拉斯方程
一个解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程。 解析函数可写成如下的级数形式: 所以满足拉普拉斯方程的函数可写成如下形式
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矩形截面弹性柱体自由扭转问题
n 用位移法求解弹性力学平面问题时，基本未知 函数是 x, y 方向的位移u(x,y)，v(x,y), 写成向量 形式为
n 应变位移关系是：
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应力应变关系是
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用位移表示的应力为： 平衡方程为
即
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用位移表示的平衡方程为 即 边界条件是
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（1）基本方程的建立
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描述该变形体同样应有三大方程和两类边界条件，有以 下两种方法来建立基本方程。
（a）用弹性力学中dxdy微体建模方法推导三大方程
（b）用简化的“特征建模”方法推导三大方程
下面给出简化的“特征建模”方法的推导过程：
基本变量：
取具有全高度梁的dx“微段”来推导其三大方程：
其中
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近似解表示为 其中
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取 则在 Γ u 上的边界条件得到满足，加权余量公式为：
其中
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上式可写成
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其中 对以上二式中第一项区域积分采用Green定理后，得到
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讨论2
n 根据上节讨论的能量方法 n 应变能： n 外力功： n 势能：
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2.1.2 平面梁的弯曲问题
n 受分布荷载的简支梁如图，由于简支梁厚度相 对于长度较小，外荷载沿厚度方向无变化，可 以将该问题简化为平面问题
微分方程的等效积分形式和加权余量法 直接针对原始三大类方程，在给定边界条件下，
求解三大类变量往往是非常困难的。 当对象的几何形状和边界条件比较复杂时，一
般求不出相应的解析解。 如果事先假设满足一定边界的试函数，再在此
基础上进行近似求解，则可大大降低求解难度
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配点法 1
x＝½配点 代入 1
∫ ∫ 子域法
R1(x)dx = [x + a1(−2 + x − x2 )]dx = 0
0
0
最小二乘法 力矩法
∫ ∫ 1
0
R1 ( x)
∂R1 ∂a1
dx
=
1 0
[x
+
a1(−2
+
x
−
x2
)](−2
+
x
−
x2 )dx
=
0
1
1
取一阶矩 ∫ ∫ 1• R1(x)dx = [x + a1(−2 + x − x2 )]dx = 0
就是伽辽金加权余量法的弱形式
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边界解法
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上面我们已经分两种情况讨论了加权余量法，即： 1、 所选取的近似解满足全部边界条件， 因此只需对区域内的 微分方程建立加权余量公式。 2、 所选取的近似解既不满足区域内的微分方程，也不能满足部 分边界条件或全部边界条件，因此，加权余量公式中既含有区域 内微分方程部分，也含有边界条件部分。 自然还有第三种情况，即： 3、 所选取的近似解，能精确满足区域内的微分方程，但不满足 边界条件，即:
保留沿x方向的方程，该问题的三大基本方程和边界 条件如下
平衡方程（无体力） 几何方程
物理方程 边界条件（BC）
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（3）求解 对方程进行直接求解，可以得到：
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其中C及C1为待定常数，由边界条件，可求出 C1＝0，C＝P/A
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讨论：
n 采用材料力学方法？
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n 取 Wl ＝x l−1 (l =1,2… M)。这种方法要求误差 的面积（l = 1）和它关于坐标轴的各阶矩（l > 1）等于0。
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伽辽金法（Galerkin Method）
n 在实际应用中，最常用的加权函数是试函数本 身，即Wl=Nl，我们有
采用Galerkin方法得到的求解方程系数矩阵是 对称的，因此采用加权余量法建立有限元格 式时几乎都采用Galerkin方法的主要原因，与 变分法常有相同结果。
n 如果选取的近似函数在区域内不满足微分方程， 在边界上也不满足边界条件，代入近似函数后在 区域内边界上都产生误差
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各种近似解法的精度列表
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自然边界条件
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n 两个问题
n 为了达到一定的精度，必须取较多的项（如上例中， 如果选取的试函数满足边界条件，选两项就可以达 到很高的精度，但如果试函数不满足边界条件，虽 然选了三项，精度仍然不高），增加了计算工作量。
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问题的解应该是关于x，y轴对称的，可以选取 显然这样选取的近似函数满足区域中的微分方程，只需建立 边界的加权余量公式来确定参数 a m ，即
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