函数的基本性质单调性

单调性和单调区间
定义：如果函数 y = f (x) 在某个区间是增函数或减函 数，那么就说函数 y = f (x) 在这一区间具有（严格 的）单调性，这一区间，叫做 y = f (x) 的单调区间. 注意： （1）函数是增函数，还是减函数，是对函数定 义域内的某个区间来说的. 函数的增减性，是函数 的局部性质，不是整体性质. （2）在单调区间上的增函数的图象从左向右是 上升的，减函数的图象是下降的. （3）如果函数在某个区间上又有增，又有减， 那么这个函数在这个区间上不具有单调性.
1 画出反比例函数 y 的图象, x (1)这个函数的定义域 I是什么? (2)它在定义域I上的单调性是怎样的 ? 证明你的结论
回家作业: P36页第3、4题
分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对
于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的 常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性 问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数 或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言， 只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因 此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都 可以（要注意端点是否在定义域范围内）。 说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调 性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方 法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进 行证明
例 1 下图是定义在闭区间 [-5 ，5] 上的函数 y = f (x) 的图象，根据图象说出 y = f (x) 的单调区 间，以及在每一单调区间上， y = f (x) 是增函数还 是减函数 . y
3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1
y = f (x )
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O
-1 -2
1
2
3
4
5
x
注：要想知道函数在某一区间是否具有单调性， 常常用图象来观察，严格来说，最后应该用单调性 的定义进行证明.
y = x2
x
-2 -1
O
1
2
问题3：怎样用数学语言表示呢？
定义：设函数 f (x) 的定义域为 I : 如果对于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变 量的值 x1，x2 ， 当 x1 < x2 时， 都有 f (x1) < f (x2) ， 那么就说 f (x) 在这个区间D上是增函数（increasing function）
y y
y = f (x) f (x1)
O
y = f (x) f (x2)
x2
x O
f (x1) x1
f (x2) x2
x
x1
如果对于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1，x2 ， 当 x1 < x2 时， 都有 f (x1) > f (x2)， 那么就说 f (x) 在这个区间D上是减函数(decreasing function).
画函数 y = x2 图象.
x -2 -1 1 0 0
y
4
1 1
2 4 y = x2
y = x2 4 描点. 画图．
3 2 1
x
-2 -1
O
1
2
函数 y = x2 图象.
y
4 3 2 1
问题1：函数y=x2的图象 在y轴右侧的部分是 上升 在y轴左侧的部分是 下降 问题2:随着x值的变化,y 的值怎么变? 当x>0时,y随着x的增大 而_______________ 增大 当x<0时,y随着x的增大 减小 而_______________