平行线等分线段定理讲义
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平行线等分线段定理
回忆 平行线的性质和判定
性质: 两直线平行,同位角相等； 两直线平行,内错角相等； 两直线平行,同旁内角互补.
判定： 同位角相等,两直线平行； 内错角相等,两直线平行； 同旁内角互补,两直线平行.
①
②
③
l
A1 A2 A3
图1
l′
B1 l1 B2 l2
B3 l3
l
A1 A2 A3
B
AB=BC=DE=EF . ( )
C
C D
N
C
D l1
E l2 F l3
例1 平行线等分线段定理应用：把线段n等分
如图,要在一块钢板上的
A、B两个小孔间再钻三个小 孔，使这些小孔都在直线AB 上，并且每两个小孔中心的 距离相等.如果只有圆规和 无刻度直尺,应当怎样确定 小孔的中心位置?
作法：
R Q
分成２：３
问题２：
如果把△ABC的面积
分成２：３怎么分？
Ｃ H
G
F
E M
D
ＡI
N
P
JK
LＢ
Ｃ
练习2 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
wk.baidu.com
分析：过M点作ME∥AD交AB于
点MDE=M又C∴∵A在E=梯EB形ABCD中，有线段A 中点时E ，常B过
B
AP
D E F GC
（1）连接AB ,作适当射线AC.
（2）以适当长r为半径在AC上截取AD=DE=EF=FG=r.
（3）连接BG，并作BG的平行线段FR、EQ、DP.
平行线FR、EQ、DP分别与线段AB的交点R、Q、P即为所求.
练习1 已知：线段AB, 求作：线段AB的五等分点
问题１：
求作一点Ｐ把线段AB
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
两相邻平 行线间的 距离相等
①
②
推论1
经过三角形一边的中点与另一边平行的直 线必平分第三边.
推论2
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰.
判断正误
A
1. 如图△ABC边AB上的点D、E三等分 D F
AB，DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC
∴ ME是AB的垂直平分线 该点作平行线，构造
∴ AM=BM
平行线等分线段定理 及推论的基本图形.
练习3
利用平行线等分线段定理证明三角形中位线定理
已知:D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点. 求证:DE//BC且 DE 1 BC
2
作DE//BC 则E平分AC （推论1）
E与E重合 A
作DF//AC
A1A2B2B1
A1A2=B1B2
图1
A2A3B3B2
A2A3=B2B3
B1B2=B2B3
A1A2=A2A3
已知：直线l1∥l2∥l3,l与l′不平行,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3
分析：
l l′
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
图2 “角角边”
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3
李 F
B
小结
1.平行线等分线段定理和两个推论
2.定理和推论的应用
(1)把线段n等分 (2)证明在同一直线上的线段相等
A AD
？
EF
？
E
F
？
B B
CB
？ C
作业
1.练习（P5)1-3写在书上 2.预习二、平行线分线段成比例定理
于点F、G，则点F、G三等分AC .(
E
)
G
2. 四边形ABCD中，点M、N分别在AB、 B
CD上若AM=BM、DN=CN 则
A
AD∥MN∥BC . ( ) 不可逆
M
3. 一组平行线中任意相邻的两平行线间 B 的距离都相等，则这组平行线能等分线
段. ( )
A
4. 如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么
BF=FC =DE D B
E
E′
F
C
练习4
如图：已知有块三角形菜地,分配给张、王、
李三家农户耕种.已知张、王、李三家人口分
别为2人、4人、6人,菜地分配按人口比例,并
要求每户土地均有一部分靠近水渠AB.P处是三
家合用的肥料仓库,是三家菜地的交界处. P
要求：用尺规在图中作出
各家菜地的分界线.
A
张 E王
l′
B1 B2
l1 l2
B3 l3
图2
l1//l2//l3，l//l
l1//l2//l3，l与l不平行
A1A2=A2A3
A1A2=A2A3 B1B2 = B2B3
已知：直线l1∥l2∥l3,l∥l ′,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3 分析:
l
A1 A2 A3
l′
B1 l1 B2 l2
B3 l3
B1B2=B2B3
如果不用全等的方法，你能证明这个定理吗？ 已知：直线l1∥l2∥l3,l与l′不平行,A1A2=A2A3 求证:B1B2=B2B3
l
A1 A2 A3
l′
B1 B2
l1 l2
B3 l3
证明过程由同学们自己书写（课后）
其它情况:
图1
图2
图3
图4
平行线等分线段定理: （平行截割定理）
回忆 平行线的性质和判定
性质: 两直线平行,同位角相等； 两直线平行,内错角相等； 两直线平行,同旁内角互补.
判定： 同位角相等,两直线平行； 内错角相等,两直线平行； 同旁内角互补,两直线平行.
①
②
③
l
A1 A2 A3
图1
l′
B1 l1 B2 l2
B3 l3
l
A1 A2 A3
B
AB=BC=DE=EF . ( )
C
C D
N
C
D l1
E l2 F l3
例1 平行线等分线段定理应用：把线段n等分
如图,要在一块钢板上的
A、B两个小孔间再钻三个小 孔，使这些小孔都在直线AB 上，并且每两个小孔中心的 距离相等.如果只有圆规和 无刻度直尺,应当怎样确定 小孔的中心位置?
作法：
R Q
分成２：３
问题２：
如果把△ABC的面积
分成２：３怎么分？
Ｃ H
G
F
E M
D
ＡI
N
P
JK
LＢ
Ｃ
练习2 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
wk.baidu.com
分析：过M点作ME∥AD交AB于
点MDE=M又C∴∵A在E=梯EB形ABCD中，有线段A 中点时E ，常B过
B
AP
D E F GC
（1）连接AB ,作适当射线AC.
（2）以适当长r为半径在AC上截取AD=DE=EF=FG=r.
（3）连接BG，并作BG的平行线段FR、EQ、DP.
平行线FR、EQ、DP分别与线段AB的交点R、Q、P即为所求.
练习1 已知：线段AB, 求作：线段AB的五等分点
问题１：
求作一点Ｐ把线段AB
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
两相邻平 行线间的 距离相等
①
②
推论1
经过三角形一边的中点与另一边平行的直 线必平分第三边.
推论2
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰.
判断正误
A
1. 如图△ABC边AB上的点D、E三等分 D F
AB，DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC
∴ ME是AB的垂直平分线 该点作平行线，构造
∴ AM=BM
平行线等分线段定理 及推论的基本图形.
练习3
利用平行线等分线段定理证明三角形中位线定理
已知:D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点. 求证:DE//BC且 DE 1 BC
2
作DE//BC 则E平分AC （推论1）
E与E重合 A
作DF//AC
A1A2B2B1
A1A2=B1B2
图1
A2A3B3B2
A2A3=B2B3
B1B2=B2B3
A1A2=A2A3
已知：直线l1∥l2∥l3,l与l′不平行,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3
分析：
l l′
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
图2 “角角边”
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3
李 F
B
小结
1.平行线等分线段定理和两个推论
2.定理和推论的应用
(1)把线段n等分 (2)证明在同一直线上的线段相等
A AD
？
EF
？
E
F
？
B B
CB
？ C
作业
1.练习（P5)1-3写在书上 2.预习二、平行线分线段成比例定理
于点F、G，则点F、G三等分AC .(
E
)
G
2. 四边形ABCD中，点M、N分别在AB、 B
CD上若AM=BM、DN=CN 则
A
AD∥MN∥BC . ( ) 不可逆
M
3. 一组平行线中任意相邻的两平行线间 B 的距离都相等，则这组平行线能等分线
段. ( )
A
4. 如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么
BF=FC =DE D B
E
E′
F
C
练习4
如图：已知有块三角形菜地,分配给张、王、
李三家农户耕种.已知张、王、李三家人口分
别为2人、4人、6人,菜地分配按人口比例,并
要求每户土地均有一部分靠近水渠AB.P处是三
家合用的肥料仓库,是三家菜地的交界处. P
要求：用尺规在图中作出
各家菜地的分界线.
A
张 E王
l′
B1 B2
l1 l2
B3 l3
图2
l1//l2//l3，l//l
l1//l2//l3，l与l不平行
A1A2=A2A3
A1A2=A2A3 B1B2 = B2B3
已知：直线l1∥l2∥l3,l∥l ′,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3 分析:
l
A1 A2 A3
l′
B1 l1 B2 l2
B3 l3
B1B2=B2B3
如果不用全等的方法，你能证明这个定理吗？ 已知：直线l1∥l2∥l3,l与l′不平行,A1A2=A2A3 求证:B1B2=B2B3
l
A1 A2 A3
l′
B1 B2
l1 l2
B3 l3
证明过程由同学们自己书写（课后）
其它情况:
图1
图2
图3
图4
平行线等分线段定理: （平行截割定理）