置信区间(详细定义及计算)PPT课件
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第七章 第五节单侧置信区间
第五节
问题的引出
单侧置信区间
前面介绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在 有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方 向的界限。 例如， 对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了.
这时，可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限, 这样求得的置信区间称为 单侧置信区间.
概率统计
为为置信度
同双侧量区间的求法 不同处： 在求单侧置信区间时不是查双侧 点，而是查单侧 分位点。
分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均 收入 X 234.7 （元），2 1590.85 s
一. 单侧置信区间定义 定义: 给定 (0 1), 若由样本 X1 , X 2 X n 确定
的 ( X1 , X2 Xn ) (或 ( X1 , X2 , X n )) 满足: P ( ) 1 (或 P( ) 1 ) 则称随机区间: ( , ) (或 (, )) 是 的置信度为1 的单侧置信区间。 称为置信 度为 1 单侧置信下限（或称 置信度为1 的单侧置信上限)
234.7 8.92 1.7291 234.7 15.43 219.3(元)
得:该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为219.3 (元).
概率统计
试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少？（单侧置信下限）
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入, X 表示测到的数
值，它是一个正态随机变量。 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 的数据，在方差未知的条件下求 E ( X ) 的 单侧置信下限。 由题设可知 的置信度为 1 的单侧置信下限 为：
问题的引出
单侧置信区间
前面介绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在 有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方 向的界限。 例如， 对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了.
这时，可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限, 这样求得的置信区间称为 单侧置信区间.
概率统计
为为置信度
同双侧量区间的求法 不同处： 在求单侧置信区间时不是查双侧 点，而是查单侧 分位点。
分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均 收入 X 234.7 （元），2 1590.85 s
一. 单侧置信区间定义 定义: 给定 (0 1), 若由样本 X1 , X 2 X n 确定
的 ( X1 , X2 Xn ) (或 ( X1 , X2 , X n )) 满足: P ( ) 1 (或 P( ) 1 ) 则称随机区间: ( , ) (或 (, )) 是 的置信度为1 的单侧置信区间。 称为置信 度为 1 单侧置信下限（或称 置信度为1 的单侧置信上限)
234.7 8.92 1.7291 234.7 15.43 219.3(元)
得:该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为219.3 (元).
概率统计
试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少？（单侧置信下限）
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入, X 表示测到的数
值，它是一个正态随机变量。 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 的数据，在方差未知的条件下求 E ( X ) 的 单侧置信下限。 由题设可知 的置信度为 1 的单侧置信下限 为：
置信区间(详细定义及计算)-置信区间公式42页PPT
置信区间(详细定义及计算)-置信区间 公式
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——
第二讲置信区间与t检验ppt课件
• 打开课文附属光盘中的数据文件例 2-5
• 请思考如何简化输入 • 商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
按照加权输入方 式，有69例数据 就需要输入8行
项框中
将分组变量 “group”移入
定义“group”取 值的范围
SPSS
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• SPSS中t检验由Analyze菜单下的Compare Means子菜单完成
SPSS
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Compare means
• One-samples t test：样本均数与已知总体均 数比较的t检验
请注意配对t 检验的数据 输入方式
SPSS
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
选择配对的 两组变量
点击添加， 移入Paired variables选
项框中
SPSS
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• 例如：例如：打开课文附属光盘数据文件 例3-7，请问两组的结果是否有别？
应用统计学第6章参数估计(置信区间)ppt课件
从中解得
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
置信区间知识
s125 试由试验结果求EX的置信水平为99%的近似置信
区间
解 由题设x17.84 s125 n100 给定001
查附表u/22.56 计算可得
x u /2
s 17.840.32 n
故的置信水平为99%的近似置信区间为(1752 1816)
由
P12 / 2(2n)
2n
X
2/2(2n)
1
经不等式变形得
P
2nX
2/2(2n)
2nX
2 1
/2(2n)
1
于是
2nX
2/2(2n)
,
2nX
2 1
/2(2n)
为所求置信区间
11
三、正态总体参数的置信区间
1 均值的置信区间 (1)方差 2已知的情形
根据例512 在 2已知的条件下 的1置信区间为
T X
S/ n
渐近服从N(0 1) 于是的近似置信区间为
X u/2
S n
,
X
u /2
S n
26
例519 某厂新研究开发了某类设备所需的关键部件，
现无法确定此部件的的连续使用寿命X(单位 kh)所服从的
分布类型 通过加速失效试验法 测试100个此类部件的连
续使用寿命 测得样本平均值为x17.84 样本标准差为
P|
Xp p(1 p)/n
|
u
/
2
1
经不等式变形得 P{ap2bpc0}1 其中
a n(u/2)2 b 2nX (u/2)2 c n(X )2
又由a0知ap2bpc0等价于p1pp2 其中
p1
1 2a
(b
b2
4ac
置信区间的概念
例如，通常可取显著水平 0.025, 0.等05., 0.1, 即取置信水平 1 0或.9705.95，0.9 等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间 ，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的 指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 ˆ2 ˆ1
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的
条件下尽可能提高精度. 15
例2 已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布 X ~ N(,1), 其中μ未知,现在抽取
25个样品做试验， 得数据后计算得
40名旅游者。得平均消费额为 x 105 元，样本方差
s2 282 设 X ~ N(, 2)求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。 0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
置信区间。选取统计量为 T X ~ t(n 1)
S2
n
由公式知μ的置信区间为 [ X
查表 t0.05 (39) t0.025 (39) 2.0227
9
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
2
[ X n z 2, X n z 2 ]
115 1.96 7 / 9 ,115 1.96 7 / 9 110 .43 ,119 .57
17
2、未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
已知 T X ~ t(n 1)
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间 ，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的 指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 ˆ2 ˆ1
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的
条件下尽可能提高精度. 15
例2 已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布 X ~ N(,1), 其中μ未知,现在抽取
25个样品做试验， 得数据后计算得
40名旅游者。得平均消费额为 x 105 元，样本方差
s2 282 设 X ~ N(, 2)求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。 0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
置信区间。选取统计量为 T X ~ t(n 1)
S2
n
由公式知μ的置信区间为 [ X
查表 t0.05 (39) t0.025 (39) 2.0227
9
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
2
[ X n z 2, X n z 2 ]
115 1.96 7 / 9 ,115 1.96 7 / 9 110 .43 ,119 .57
17
2、未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
已知 T X ~ t(n 1)
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
置信区间PPT精选文档
9
单样本区间应用－1
• 注塑模压机生产的产品外壳形状直接影响产 品外壳组装。
• 对于上壳的直径目标值为10.88cm，判断其 中设备A所加工的上壳直径平均高度与目标值 是否相同。也就是说，在置信度α=0.05的条件 下，A所模压出产品直径的总体平均值的置信 区间是否包含目标值。
• 抽取模压机A加工的10个外壳并测得直径为： 10.88 10.89 10.87 10.89 10.89 10.86 10.88 10.87 10.86 10.88
10
单样本区间应用－1
• 计算样本数据的均值与标准差
n10 x10.8σ ˆ70 7.0116
• 样本计算的平均值与目标值存在差异， 进一步分析其差异是偶然因素还是特殊 因素造成的。
10.89 10.88
10.87
10.86
设备A
11
单样本区间应用－1
• 计算置信区间
由于σ未知，套用前单元的公式：
置信区间计算公式
备注
（ x y
2
2 1
n1
2 2
n2
，x y
2
2 1
2 2
）
n1 n2
（ x y t SW
2
11 n1 n2
，x y t SW
2
11 ） n1 n2
其中： SW
( n1
1) s12
(n2
1)
s
2 2
n1 n2 2
σ1， σ2 为 总 标 准 差
n1， n2 为 样 本 容 量
置信区间为：
(x snt2 , x snt2)
(10.8770.01162.262, 10.8770.01126.26)2
单样本区间应用－1
• 注塑模压机生产的产品外壳形状直接影响产 品外壳组装。
• 对于上壳的直径目标值为10.88cm，判断其 中设备A所加工的上壳直径平均高度与目标值 是否相同。也就是说，在置信度α=0.05的条件 下，A所模压出产品直径的总体平均值的置信 区间是否包含目标值。
• 抽取模压机A加工的10个外壳并测得直径为： 10.88 10.89 10.87 10.89 10.89 10.86 10.88 10.87 10.86 10.88
10
单样本区间应用－1
• 计算样本数据的均值与标准差
n10 x10.8σ ˆ70 7.0116
• 样本计算的平均值与目标值存在差异， 进一步分析其差异是偶然因素还是特殊 因素造成的。
10.89 10.88
10.87
10.86
设备A
11
单样本区间应用－1
• 计算置信区间
由于σ未知，套用前单元的公式：
置信区间计算公式
备注
（ x y
2
2 1
n1
2 2
n2
，x y
2
2 1
2 2
）
n1 n2
（ x y t SW
2
11 n1 n2
，x y t SW
2
11 ） n1 n2
其中： SW
( n1
1) s12
(n2
1)
s
2 2
n1 n2 2
σ1， σ2 为 总 标 准 差
n1， n2 为 样 本 容 量
置信区间为：
(x snt2 , x snt2)
(10.8770.01162.262, 10.8770.01126.26)2
总体均值的置信区间
根据样本数据构造一个检验统计量，并设定一个 拒绝域，当检验统计量落入拒绝域时，则拒绝原 假设。
利用置信区间进行假设检验步骤
构造置信区间
首先根据样本数据构造出总体 均值的置信区间。
计算p值
为了进一步量化检验结果，可 以计算p值，即观察到的样本结 果或更极端结果出现的概率。
判断原假设是否成立
如果置信区间完全位于原假设 的拒绝域内，则可以拒绝原假 设；否则，不能拒绝原假设。
中心极限定理
即使原始数据不服从正态分布，只要 样本量足够大，样本均值的分布也会 趋近于正态分布，从而可以使用Z分 布法。
小样本情况下构建方法
t分布法
当样本量较小且总体方差未知时，样本均值的分布将服从t分布。此时，可以使用t分布法来构建总体 均值的置信区间。
Welch修正
当两个样本的方差不同或样本量不相等时，可以使用Welch修正的t检验来构建总体均值的置信区间。
样本量增加到一定程度后，置信区间收窄速度减缓
当样本量已经足够大时，再增加样本量对置信区间宽度的减小作用将变得有限。
如何确定合适样本量
根据预期效应大小确定样本量
考虑可接受的误差范围
如果预期效应较大，则所需样本量相对较 小；反之，如果预期效应较小，则需要更 大的样本量来检测这种效应。
在确定样本量时，还需要考虑可接受的误 差范围。较小的误差范围需要更大的样本 量来保证估计的精度。
总体均值估计方法
点估计
点估计是用样本统计量直接作为总体参数的估计值，例如用样本均值估计总体 均值。
区间估计
区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数的一个估计区间，即置信区间。 通过构造合适的统计量，并利用抽样分布理论，可以确定置信区间的上下限。
利用置信区间进行假设检验步骤
构造置信区间
首先根据样本数据构造出总体 均值的置信区间。
计算p值
为了进一步量化检验结果，可 以计算p值，即观察到的样本结 果或更极端结果出现的概率。
判断原假设是否成立
如果置信区间完全位于原假设 的拒绝域内，则可以拒绝原假 设；否则，不能拒绝原假设。
中心极限定理
即使原始数据不服从正态分布，只要 样本量足够大，样本均值的分布也会 趋近于正态分布，从而可以使用Z分 布法。
小样本情况下构建方法
t分布法
当样本量较小且总体方差未知时，样本均值的分布将服从t分布。此时，可以使用t分布法来构建总体 均值的置信区间。
Welch修正
当两个样本的方差不同或样本量不相等时，可以使用Welch修正的t检验来构建总体均值的置信区间。
样本量增加到一定程度后，置信区间收窄速度减缓
当样本量已经足够大时，再增加样本量对置信区间宽度的减小作用将变得有限。
如何确定合适样本量
根据预期效应大小确定样本量
考虑可接受的误差范围
如果预期效应较大，则所需样本量相对较 小；反之，如果预期效应较小，则需要更 大的样本量来检测这种效应。
在确定样本量时，还需要考虑可接受的误 差范围。较小的误差范围需要更大的样本 量来保证估计的精度。
总体均值估计方法
点估计
点估计是用样本统计量直接作为总体参数的估计值，例如用样本均值估计总体 均值。
区间估计
区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数的一个估计区间，即置信区间。 通过构造合适的统计量，并利用抽样分布理论，可以确定置信区间的上下限。
置信区间(详细定义及计算)
X
n
z 2 ]
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8
这就是说随机区间
2
2
[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95.
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。 由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么 分布，都近似有
[1,2 ] 为常数区间。
3
定义7.7 设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1 则称区间 [1,是2 ] 的置信水平（置信度）为 1
的置信区间. 1 和2 分别称为置信下限和置信上限
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
Z X EX ~ N (0,1) DX n
[ X n z 2 , X n z 2 ]
置信区间学习
解 z z0.025 1.96 n 25 x 6
2
[x
n
z 2 ] [6 1 1.96] [6 0.392]
5
所求为 [5.608, 6.392].
15
第16页/共39页
例3 已知幼儿身高 X ~ N (, 2 ), 现从5～6岁的幼儿
中随机地抽查了9人，其高度分别为：
115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
对于给定的 (0 1).
P{12 (n 1) 2
(n 1)S 2
2
2
(n
1)}
1
2 第22页/共39页
2 1
(n
1)
2
2
(n
1)
2
2
x
21
即 py
2
2
12 (n1) 2
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
20
第21页/共39页
三、方差σ2的置信区间
已知总体 X ~ N (, 2 )
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间， 这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
σ2差多少？容易看出把 S 2 看成随机变量，又能找到
怎样估计该车床加工零件长度的方差。 ( 0.05)
解 先求 x 12 1 [0.15 0.12 0.06] 12.075 16
《置信区间详细定义及计算》PPT课件
σ2差多少？容易看出把 S 2 看成随机变量，又能找到
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
则所求μ的置信区间为
2
[6720
28
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
三、方差σ2的置信区间
已知总体 X ~ N (, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间， 这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
2
x
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
2
2
则得到σ2随机区间
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
则所求μ的置信区间为
2
[6720
28
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
三、方差σ2的置信区间
已知总体 X ~ N (, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间， 这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
2
x
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
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2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
2
2
则得到σ2随机区间
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0.9. 对于 1－ α不同的值，可以得到不同的置信区间。
15
可见，对参数作区间估计， 就是要设法找出两个
只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 [ˆ1,内ˆ2 .]
第七章
置信区间的概念
一、置信区间的概念 二 、数学期望的置信区间 三 、方差的置信区间
1
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的
一个值去估计未知参数. 但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，
使用起来把握不大. 范围通常用区间的形式给出的。
这种形式的估计称为区间估计.
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95.
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。
分布，都近似有
当 n 充分大时，无论X服从什么
Z X EX ~ N (0,1) DX n
[ X n z 2 , X n z 2 ]
这就是说随机区间
[X
n
z 2 ,
X
n
z 2 ]
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8
2
2
[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
X
n z 2
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
[13 1.96 0.3 , 13 1.96 0.3] 2
2
2
得到μ的一个区间估计为 [12.706，13.294].
注：该区间不一定包含μ. 13
0.05 可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
0.04
X
P{ z0.04 P{X
n
2 z0.01}
n
z0.01 X
[1,2 ] 为常数区间。
3
设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1 则称区间 [1,是2 ] 的置信水平（置信度）为 1
的置信区间. 1 和2 分别称为置信下限和置信上限
（双侧置信区间）.
1 为置信度， 为显著水平.
置信上限
X n z 2
置信区间也可简记为
[X
n
z
2]
9
[X
n
z 2 ,
X
n
z 2 ]
0.05 1 0.95 1 n 16
查表得 z z0.025 1.96
2
若由一个样本值算得样本均值的观察值 x 5.20
则得到一个区间 (5.20 0.49) (4.71, 5.69)
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比
较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里是一个很小
的正数，称为显著水平。
2
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的
两个统计量
1 1( X1, X 2 ,, X n ),
4
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取显著水平 0.025, 0.等05., 0.1, 即取置信水平 1 0或.9705.95，0.9 等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间 ，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的 指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 2的区间估计。 5
设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X ~ N (, 2) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。 对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
个区间，它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间
设 X ~ N(, 2)
1 4
1.02
短。
14
第一个区间为优
（单峰对称的）。可见，像 N(0,1)分布那样概率密度
的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以[ X
n
z
2]
的区间长度为最短，我们一般选择它。
若以L为区间长度，则
L
2
n
z
2
可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或
均可看作EX的置信区间。
12
设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值：
12.6，13.4，12.8，13.2，
求参数μ的置信度为0.95的置信区间.
解
μ的置信区间为
[X
z
2
0 ,
n
X
z
2
0 ]
n
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
代入样本值算得 x 13, z z0.025 1.96
X ~ N(, 2 )
EX
2
DX
n
n
则随机变量 令 P{ X
2
n
Z X ~ N (0,1)
2
n
z } 1
2
2
z
2
2
z
2
7
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z 2 X
n
z 2} 1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
2 2 (X1, X 2,, X n )
(1 2 )
则称 [1,2 ] 为随机区间。
随机区间与常数区间 (a, b) 不同，其长度与在数轴上
的位置与样本 X1, X 2 ,, X n 有关。
当一旦获得样本值 x1 , x2 , xn 那么， 1(x1, x2 , xn ), 2 (x1, x2 , xn ) 都是常数。
0.95
n z0.04}
0.95
z0.04
0.01
z0.01
则μ的置信度为0.95的置信区间为
[ X n z0.01 , X n z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是 1 0.95
其区间长度不一样，上例
2
n
z0.025
3.92 1 4
0.98
比此例
1 4
( z0.04
z0.01 )
4.08
15
可见，对参数作区间估计， 就是要设法找出两个
只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 [ˆ1,内ˆ2 .]
第七章
置信区间的概念
一、置信区间的概念 二 、数学期望的置信区间 三 、方差的置信区间
1
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的
一个值去估计未知参数. 但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，
使用起来把握不大. 范围通常用区间的形式给出的。
这种形式的估计称为区间估计.
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95.
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。
分布，都近似有
当 n 充分大时，无论X服从什么
Z X EX ~ N (0,1) DX n
[ X n z 2 , X n z 2 ]
这就是说随机区间
[X
n
z 2 ,
X
n
z 2 ]
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8
2
2
[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
X
n z 2
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
[13 1.96 0.3 , 13 1.96 0.3] 2
2
2
得到μ的一个区间估计为 [12.706，13.294].
注：该区间不一定包含μ. 13
0.05 可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
0.04
X
P{ z0.04 P{X
n
2 z0.01}
n
z0.01 X
[1,2 ] 为常数区间。
3
设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1 则称区间 [1,是2 ] 的置信水平（置信度）为 1
的置信区间. 1 和2 分别称为置信下限和置信上限
（双侧置信区间）.
1 为置信度， 为显著水平.
置信上限
X n z 2
置信区间也可简记为
[X
n
z
2]
9
[X
n
z 2 ,
X
n
z 2 ]
0.05 1 0.95 1 n 16
查表得 z z0.025 1.96
2
若由一个样本值算得样本均值的观察值 x 5.20
则得到一个区间 (5.20 0.49) (4.71, 5.69)
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比
较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里是一个很小
的正数，称为显著水平。
2
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的
两个统计量
1 1( X1, X 2 ,, X n ),
4
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取显著水平 0.025, 0.等05., 0.1, 即取置信水平 1 0或.9705.95，0.9 等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间 ，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的 指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 2的区间估计。 5
设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X ~ N (, 2) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。 对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
个区间，它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间
设 X ~ N(, 2)
1 4
1.02
短。
14
第一个区间为优
（单峰对称的）。可见，像 N(0,1)分布那样概率密度
的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以[ X
n
z
2]
的区间长度为最短，我们一般选择它。
若以L为区间长度，则
L
2
n
z
2
可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或
均可看作EX的置信区间。
12
设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值：
12.6，13.4，12.8，13.2，
求参数μ的置信度为0.95的置信区间.
解
μ的置信区间为
[X
z
2
0 ,
n
X
z
2
0 ]
n
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
代入样本值算得 x 13, z z0.025 1.96
X ~ N(, 2 )
EX
2
DX
n
n
则随机变量 令 P{ X
2
n
Z X ~ N (0,1)
2
n
z } 1
2
2
z
2
2
z
2
7
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z 2 X
n
z 2} 1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
2 2 (X1, X 2,, X n )
(1 2 )
则称 [1,2 ] 为随机区间。
随机区间与常数区间 (a, b) 不同，其长度与在数轴上
的位置与样本 X1, X 2 ,, X n 有关。
当一旦获得样本值 x1 , x2 , xn 那么， 1(x1, x2 , xn ), 2 (x1, x2 , xn ) 都是常数。
0.95
n z0.04}
0.95
z0.04
0.01
z0.01
则μ的置信度为0.95的置信区间为
[ X n z0.01 , X n z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是 1 0.95
其区间长度不一样，上例
2
n
z0.025
3.92 1 4
0.98
比此例
1 4
( z0.04
z0.01 )
4.08