二元一次不定方程的解法总结与例题

探究二元一次不定方程

（Inquires into the dual indefinite equation）

冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.

【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解

（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）

二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；

②具有两个未知数；③未知项的次数是1。

如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。

定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

[1]

二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。

通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。

定理2.方程有解的充要是；[2]

若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成：

（t为任意整数）

定理2的扩展.元一次不定方程，()有解的充要条件是.

方法与技巧：

1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；

2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：

求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。

对于解不定方程（组），二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常化为二元一次不定方程问题加以解决，设a，b，c，d为整数，则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题：

（1）若（a，b）=d，且d不等于c，则不定方程ax+by=c没有整数解。

（2）若Xo，Yo是方程ax+by=c且（a，b）=1的一组整数解（称特解），则 x=Xo+bt，（t为整数）

y=Yo-at 是方程的全部整数解（称通解）。

求：

方程5x-3y=-7的正整数解.

解:原方程X=(3y-7)/5

即X=-2+[3(y+1)]/5 (1)

Y=4时,x=1

即 X=1 Y=4 为原方程的一组整数解,因此,原方程的所有整数解为

X=1-3k (k为任意整数)

Y=4-5k

再令X大于0,y大于0,即有不等式组

1-3k大于0

4-5k大于0

解得K小于1/3,所以当k取0,-1,-2,…时原方程可得到无穷多组正整数

X=1-3k (k=0,-1,-2,…)

Y=4-5k

题：某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数和后四位组成的数相加得14405，将前三位组成的数雨后五位相加得16970，求这个人家中的电话号码。

解：可将两个已知条件变为两个方程，用方程只是去解决。关键是怎么样设未知数，不妨将a b c d e f g h的a b c 设为x；d设为y，e f g h 设为z可以很快构造出方程组。

设电话号码是10000x+10000y+z，其中x，y，z均为自然数，且100≤x≤999，0≤y ≤9，

10x+y+z=14405.

1000≤z≤9999，则 x=10000y+z=16970。

②-①化简得1111y-x=285，即1111y=x+285.

∵100≤x≤999，∴ 385≤x+285≤1284。

∴385/1111≤y≤1284/1111

又∵y为整数∴y=1，x=826，z=6144

即此电话号码为82616144.

例：

（1）求方程15x+52y=6的所有整数解。

（2）求不定方程5x+7y=978的正整数解的组数。

解：对于（1），通过观察或辗转相除法，先求出特解；对于(2)，先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解的组数；

【解法一】·（1）观察易得一个特解x=42，y=-12 ，原方程所有整数解为

x=42-52t，（t为整数） y=-12+15t

【解法二】·（1）x=-4y+ 6+8y/15 , 令6+8y/15= t1 ,得y=2 t1- t1+6 / 8,令t1+6 / 8=t,得t1=8t-6，化简得：

x=42-52t，（t为整数） y=-12+15t

（2）可得原不定方程的通解为 x=197-7t （t为整数）

y=-1+5t

由x＞0，y＞0得 1≦t≦28即原不定方程有28个正整数解。

利用辗转相除法求整数解：

例求方程407x-2816y=33的一个整数解，并写出它的通解

解：将方程化简为

37x-256y=3

即37x+256（-y）=3

∵256=6×37+34

37=1×34+3

34=11×3+1

∴1=34-11×3

=（256-6×37）-11×[37-（256-6×37）]

=256-6×37-11×37+11×256-66×37

=37×（-6-11-66）+256×（1+11）

即37×（-83）+256×12=1

上式各项乘以3得37×（-249）+256×36=3

∴原方程的一个整数解是

Xo =-249

Yo =-36

通解为（t为任意整数）

x=-249+256t

y=-36-37t

这就是用辗转相除法解的，这种方适用于所有的有整数解的方程。因为1是所有整数的约数。辗转相除总能除到余数为1，再逆推，化为原不定方程的形式。但用辗转相除除到余数为1，再逆推，这一过程较繁，若除到余数是常数项的约数，也可逆推，化为原不定方程的形式，这样就简便些。

又如解不定方程13x+15y=8

解：∵15=13+2（2是常数8的约数）

∴2=15-13