快速学完高等数学(基础讲义)

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1第一讲 函数【教学目的】掌握微积分的理论基础【教学重点】基本初等函数的简单性质，掌握三角函数之间的常用关系【内容展开】 一、函数的概念 1.函数的定义设两个变量x 和y 之间有一个对应规律,使变量x 在可取值的数集内每取一个值时，变量y 按照这个规律总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，x 的取值范围为定义域，所有函数值构成的集合称为值域. 注：定义域的求解若函数是用解析式表示的，则定义域就是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数的集合若由实际问题建立的函数，定义域就是具有实际意义的自变量取值的集合； 复杂函数的定义域，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集； 表达式与自变量的表示符号无关 2．函数的分类及表示方法基本初等函数（定义域、值域、图形、特性要非常清楚） （1）常值函数 y ＝C （常数）（2）幂函数y x α=（α为常数）（3）指数函数 x y a =（0>a 且1≠a ） （4）对数函数 log a y x =（0>a 且1≠a ） （5）三角函数 sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===（6）反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合所构成的用一个解析表达式表示的函数称为初等函数分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示 3.函数的四大特性 （1）奇偶性：（要求定义域关于原点对称）若)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数； 若)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数；2注：奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y 轴对称； 常见的奇函数有：x x x x arcsin ,arctan ,tan ,sin 等； 常见的偶函数有：x x arccos ,cos 等 （2）周期性：若)()(x f T x f =+，则称T 为)(x f 的周期.由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期.注：常见的周期函数有：x x cos ,sin 以π2为周期，x x x x x 2sin ,cos ,sin ,cot ,tan 等以π为周期 （3）单调性：若)(x f 在区间I 上有定义，若I x x ∈∀21,（21x x <）总有)()(21x f x f <，则称)(x f 在I 上单调递增；若)()(21x f x f >，则单调递减. 注：一个函数的单调性取决于区间（4）有界性)(x f 在区间I 上有定义，,I x ∈∀ 都有M x f <)(，则称)(x f 在区间I 上有界，否则就无界.注：)(x f 有界与否依赖于区间I ，)(x f 在I 上有界的充要条件是既有上界又有下界. 常见的有界函数为:正弦、余弦以及四个反三角函数3第二讲 极限【教学目的】掌握微积分的理论基础 【教学重点】会套用公式求解简单极限无穷小的概念，性质及无穷小的比较，会灵活运用等价无穷小化简复杂的计算【教学难点】灵活运用等价无穷小化简复杂0的运算 【内容展开】1.极限的定义：变化过程+变化趋势；2.极限的性质：（1）函数（数列）极限存在必唯一； (2) 极限的局部保号性：1）若)0(0)(lim 0<>=→A x f x x ，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)0(0)(<>x f2）若)0(0)(≤≥x f ，且A x f =)(lim ，则)0(0≤≥A（3）极限的局部有界性：A x f x x =→)(lim 0，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有M x f ≤)(3．极限的计算（1）极限存在的两个准则定理1（单调有界准则）：若数列{}n x 满足单调上升（下降）有上界（下界），则有极限. 定理2（夹逼准则）：设数列{}n x 满足以下两个条件 1）从某项起n n n z x y ≤≤2）a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则{}n x 有极限且a x n n =∞→lim .（2）关于极限的计算 1）套用基本公式求极限C C =lim ；)()(lim 00x P x P n n x x =→；)()()()(lim000x Q x P x Q x P m n mn x x =→ （)0)(0≠x Q m 11101110lim m m m m n n x n n a x a x a x a b x b x b x b ---→∞-++++++++0 mnm n a m n b m n ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪∞>⎩ 当时＝ 当时 　当时2）套用两个重要极限4利用第一个重要极限1sin lim 0=→xxx 求极限例：计算下列极限 1）x xx 3sin 2sin lim0→2） xkxx sin lim0→ 3）xx x cot lim 0→利用第二个重要极限e x xx =+→1)1(lim 求极限例：计算下列极限 1）xx x 10)1(lim -→2）x x x 3)21(lim +∞→ 3）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim 4.无穷小与无穷大（1）无穷小量定义：若()lim 0f x =，则称()f x 为无穷小量（2）无穷小的性质：有界变量乘无穷小量仍是无穷小量.在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积是无穷小. （3）无穷小的比较：设()()lim 0lim 0f x g x ==，，且()()lim f x l g x =1)0l =，称()f x 是比()g x 高阶的无穷小量，称()g x 是比()f x 低阶的无穷小量记为()()f x o g x =⎡⎤⎣⎦2)0l ≠，称()f x 与()g x 是同阶无穷小量.3)1l =，称()f x 与()g x 是等价无穷小量，记为)(~)(x g x f 4）)0()()(lim≠=c c x g x f k，称)(x f 是)(x g 的k 阶无穷小 注：（1）等价无穷小有个良好的性质可用定理表示如下：定理3：设)(~)(1x f x f ，)(~)(1x g x g ，若)()(l i m11x g x f 存在，则)()(lim )()(lim 11x g x f x g x f =. 该定理表明求的极限时，可对分子分母分别做等价代换其结果将保持不变，此结论可使得计算简单许多.（2）常见的等价无穷小（)0→x5xx x x e x x x x x x x αα~1)1(21~cos 11~)1ln(~arctan ~tan ~arcsin ~sin ~2-+--+（3）等价无穷小不能滥用，一般建议应用于乘除法因子中做等价代换. 例:计算下列极限)3sin 11sin3(lim 0x xx x x +→ )3sin 11sin3(lim x xx x x +∞→ xx x x 30sin sin tan lim-→ 112cos 1lim20-+-→x x x （4）无穷大量定义：任給0M >，当x 变化一定以后，总有()f x M >，则称()f x 为无穷大量，记()lim f x =∞.（5）无穷小和无穷大的关系： 1)若∞=)(lim x f ，则0)(1lim=x f ； 2)若0)(lim =x f ，且0)(≠x f ，则∞=)(1limx f .6第三讲 连续【教学目的】掌握微积分的理论基础 【教学重点】连续的定义以及间断点的类型 【教学难点】连续与间断的判定 【内容展开】1．函数在某点连续的定义：定义1：设函数)(x f 在)(0x U δ内有定义, 且0lim 0=∆→∆y x ,此时就称函数)(x f 在点0x 连续,并称0x 为)(x f 的连续点.否则称0x 为)(x f 的间断点.定义2：设函数)(x f 在)(0x U δ内有定义，如果有)()(lim 00x f x f x x =→，那么就称)(x f 在0x 处连续，否则在0x 处间断.注：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=-+→→→，即)(x f 在0x 处连续的充要条件是既要左连续又要右连续.2.间断点的类型1）第一类间断点：左右极限都存在的点.若左极限等于右极限，称此时的间断点为第一类的可去间断点（可通过修改或者补充原函数的定义使此类间断点变成连续点）；若左极限不等于右极限，称此时的间断点为第一类中的跳跃间断点. 2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在,若∞=→)(lim 0x f x x ，则称0x 是)(x f 的无穷间断点.例：判定下列函数在给定点处的连续性，若不连续请指明间断点的类型，若是可去间断点请修改或者补充原函数的定义使其成为连续点1） ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=010001)(x x x x x x f 0=x 2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=02sin )(x x xx x f 0=x3）xx f 1)(=0=x 【教学总结】本部分主要涉及微积分的基本理论，介绍了什么是函数，我们要研究的函数都有哪些；介绍了什么是极限，有什么性质，都该如何去计算等；介绍了连续与间断的定义，如何利用定义表明这个点是函数的连续点还是间断点.7第四讲 导数与微分【教学目的】理解导数的定义，会利用几何意义建立切线（法线）方程，会求简单函数的导数，并能利用导数借助于洛必达法则求解未定式的极限【教学重点】导数的定义和几何意义借助于求导法则求导数 掌握洛必达法则【教学难点】借助于求导法则求导数，洛必达法则 【内容展开】一、导数与微分概念1.导数的定义（增量比的极限）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00y f x x f x ∆=+∆-，如果极限()()0000limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称此极限为函数()f x 在0x 处的导数，记作()0f x '或()00x x x x df x dyy x x dxdx =='= ，，等，并称函数()y f x =在点0x 处可导，如果上面的极限不存在，则称函数()y f x =在点0x 处不可导.注：()f x 在点0x 处可导()f x ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等. 2.导数的几何意义：如果函数()y f x =在点0x 处导数()0f x '存在，则在几何上()0f x '表示曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线的斜率，于是有切线方程()()()000y f x f x x x '-=-法线方程：()()()()()000010y f x x x f x f x '-=--≠' 3.求导法则1)基本求导公式：80)(='C x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' xx x 22cos 1sec )(tan =='221(cot )csc sin x x x'=-=-x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -='a a a x x ln )(=' a x xaln 1)(log =' 211)(arcsin x x -=' 211)(arccos x x --='211)(arctan x x +=' 211)cot (x x arc +-='2）四则运算的求导法则设v u ,均为x 的可导函数，则v u v u '±'='±)( uv v u uv '+'=')(2v uv v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ （0≠v ） 3）复合函数的求导法则设)(),(x u u f y ϕ==均可导，则)]([x f y ϕ=可导，且dxdudu dy dx dy =即y 对x 的导数等于y 对中间变量的导数乘以中间变量对x 的导数，可见要学好复合函数的导数得学会分析复合函数的形成过程. 4）隐函数的求导法则设()y y x =是由方程()0F x y =，所确定，求y '的方法如下：把()0F x y =，两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y '的表达式. 5）反函数的求导法则设()y f x =的反函数()x g y =，两者皆可导，且0)(≠'y g dydxdx dy 1=6）分段函数的求导：分段函数分段求，分段点处定义求 4.洛必达法则： 定理1：设（1）)(0)(lim 0∞=→x f x x )(0)(lim 0∞=→x g x x（2）在0x 的某去心邻域内)(),(x g x f 都可导，且满足)()()(lim∞=''→a x g x f x x ，其中0)(≠'x g 则，=→)()(limx g x f x x )()()(lim 0∞=''→a x g x f x x9例：计算下列极限30sin lim x x x x -→30)sin(sin sin lim x x x x -→xnx e x +∞→lim x x x ln lim+∞→xx x ln lim 0+→ )tan 11(lim 0xx x -→二、微分1.微分的定义：设函数()y f x =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-有下面的表达式()()()00y A x x o x x ∆=∆+∆∆→ 其中()0A x 与x ∆无关，()o x ∆是0x ∆→时比x ∆高阶的无穷小，则称()f x 在0x 处可微，并把y ∆中的主要线性部分()0A x x ∆称为()f x 在0x 处的微分，记以0|x x dy =或()0x x df x =.2.可微的计算：定理2：)(x f y =在0x 处可微的充要条件是)(x f y =在0x 处可导且x x f dyx x ∆'==)(00.【教学总结】本部分讲述了导数的定义和常用的求导法则，能够根据导数解决曲线在某点的切线和法线方程，利用导数和洛必达的法则求解未定式的极限.第五讲 不定积分【教学目的】理解原函数和不定积分的定义，会求不同类型函数的不定积分 【教学重点】原函数的不定积分的定义第一换元法，第二换元法，分部积分法【教学难点】第一换元法 【内容展开】一、原函数与不定积分的概念与性质 1．原函数与不定积分的概念设函数()f x 和()F x 在区间I 上有定义，若()()F x f x '=在区间I 上成立．则称()F x 为()f x 在区间I 的原函数，()f x 在区间I 中的全体原函数称为()f x 在区间I 的不定积分，记以()f x dx ⎰.其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式.2.性质：分析性质和运算性质（1）()()F x dx F x C'=+⎰或()()dF x F x C=+⎰（2） ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰或()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰（3） ()()kf x dx k f x dx=⎰⎰（4）()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰二、基本积分公式⎰+=C kx kdx ⎰+-=C x xdx cos sin ⎰+=C x xdx sin cos C x xdx +-=⎰cos ln tan C x xdx +=⎰sin ln cot C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec Cx x xdx +-=⎰cot csc ln csc ⎰+=Cx xdx x sec tan sec Cx xdx x +-=⎰csc cot csc x x tan sec2=⎰ Cx dx x +-=⎰cot csc 2Cx dx x +=+⎰arctan 112Cx dx x+=-⎰arcsin 112三、不定积分积分法1.第一换元法的基本原理()()()()()()u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰令()()F u C F x Cϕ=+=+⎡⎤⎣⎦注：目的是化为能带基本积分公式的方法 例：计算下列不定积分dxe ex x⎰+1dxx x ⎰21sindxxx ⎰sin dxx x ⎰2ln dx x x ⎰2cos sin ⎰xdx x cos sin dx x x⎰-2arccos 1100 dxx x ⎰-212．第二换元法的基本原理()()()()()()1x t f x dxf t t dt G t C G x C ϕϕϕϕ=-'⎡⎤=+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰令，其中()1t x ϕ-=为()x t ϕ=的反函数.注：是一种化繁为简的方法，主要的目的是为了去掉被积函数中的根号例：计算下列不定积分dxx a ⎰-22)0(>a ⎰+22x a dx )0(>a ⎰+xx dx 13.分部积分法的基本原理设()()u x v x ，均有连续的导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰例：计算下列不定积分⎰xdx x sin ⎰xdxx arctan ⎰xdx x ln xdx e x sin ⎰⎰xdx arctan ⎰-dx xe x4.有理函数积分法的基本原理 （1）有理函数的相关定义：有理函数是指两个多项式的商表示的函数 mm m nn n b x b x b a x a x a x Q x P ++++++=-- 110110)()(其中n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 为常数，且00≠a ，00≠b .如果分子多项式)(x P 的次数n 小于或等于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为真分式；如果分子多项式)(x P 的次数n 大于或等于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为假分式. 利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和. （2）定理：若上面定义中的)(x Q 可以被因式分解成s l k q px x b x a x b x Q )()()()(20++--= （)042<-q p则++++++++++++++-++-+-++-++-+-=sll k k q px x Q x P q px x Q x P q px x Q x P b x B b x B b x B a x A a x A a x A x Q x P )()()()()()()()()()(2112222211221221例:求下列不定积分⎰+-dx x x 6512⎰++dx x x )1)(1(12【教学总结】本部分主要涉及不定积分定义与计算，要求能掌握不定积分的三大核心计算方法，第一换元法，第二换元法，分部积分法例：计算下列定积分dxx x ⎰202cos sin πdx x a a⎰-022 )0(>a3.定积分的分部积分法原理⎰⎰-=babab a vduuv udv 例：计算下列定积分⎰e xdx x 1lndx ex⎰1【教学总结】本部分涉及了定积分的概念和性质，要理解定积分的定义为以后的定积分应用打下基础，会利用牛顿莱布尼茨计算定积分的值.第六讲 定积分【教学目的】理解定积分的定义和性质，掌握定积分的计算方法 【教学重点】定积分的定义和性质定积分的计算方法【教学难点】定积分的定义 【内容展开】一、定积分的概念与性质1．定义：设函数],[)(b a x f 在上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间[]b a ,分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x - 各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x .在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i i i i x x ≤≤-εε1(),作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积),,,2,1()(n i x f i i =∆ε并作出和∑=∆=ni iixf S 1)(ε.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ε怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分),记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =∑=→∆ni i i x f 1)(lim ελ,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, []b a ,叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abaduu f dt t f dx x f )()()(函数可积（定积分存在）的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积.定理2 设],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个间断点，则],[)(b a x f 在上可积. 2．定积分的性质为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：（1） 当b a =时，0)(=⎰ba dx x f （2） 当b a >时，-=⎰badx x f )(⎰abdxx f )(性质1：函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即=±⎰dx x g x f ba)]()([±⎰badx x f )(⎰badxx g )(性质2 ：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即=⎰badx x kf )(k⎰badx x f )( (k 是常数)性质3 ：如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，则=⎰badx x f )(⎰+cadx x f )(⎰bcdxx f )(注意：我们规定无论c b a ,,的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质4 ：如果在区间[]b a , 上，则,1)(≡x f =⎰ba dx x f )(ab dx ba-=⎰性质5 ：如果在区间[]b a ,上，则,0)(≥x f0)(≥⎰badx x f )(b a <推论1 如果在[]b a ,上，则),()(x g x f ≤≤⎰badx x f )(⎰badx x g )( （b a <）推论2≤⎰badx x f )(⎰badxx f )(性质6 ：“设M 与m 分别是函数],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则≤-)(a b m ≤⎰badx x f )()(a b M - （b a <）二、定积分的计算 1.牛顿莱布尼茨公式 设)(x f 在[]b a ,上连续，则)()()()(a F b F x F dx x f bab a -==⎰2.定积分的换元法原理设)(x f 在[]b a ,上连续，函数)(t x ϕ=满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，则dtt t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)())(()(练习例1 239lim 3x x x →--.例2 2322lim 3x x x x →-+-.例32x →.例4 2237lim 24x x x x x →∞+--+.例5lim x . . 例6)limx x →+∞.例7 25lim 35n nn nn →∞-+.例8（1）()2lim ln sin x x π→（2）()lim ln arctan x x →+∞例9 求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim . 例10 求下列极限（1）1lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）()0ln 1lim x x x →+ （3）01lim x x a x →-（4）()2sin 0lim 1xx x →+ （5）()211lim 2x x x +→-+例11（1）x x x 5sin 2tan lim→（2）x x x x 3sin lim 30+→（3）1cos 1)1(lim 3120--+→x x x （4）30sin tan lim x x x x -→例12（1）0x → （2）4x π→例13 xx a x )1(log lim )1(0+→ 3sin 0(2)lim(12)x x x →+例14 设211(),()1412x x x x f x x x x x x φ≤≤⎧⎧==⎨⎨>+>-⎩⎩，求复合函数)]([x f ϕ.例15 求下列函数的极限.（1）xx x πsin 1lim 21-→（2）xx xx 1)321(lim +++∞→例16 求)1)(1(sin )1()(-++=x x x xx x f 的间断点，并判别其类型.。