《高等数学》 空间向量与空间解析几何

解： 2a 3 b c
2 e 1 2 e 2 3 e 3 3 2 e 1 3 e 2 e 3 1 e 2 3 e 3 3
2 e 1 6 e 1 4 e 2 9 e 2 1 e 2 6 e 3 3 3 e 3 3 e 3
7.3.1 平面的方程
平面的法向量 定 义 在空间中通 M0且 过与 一非 定n零 点 垂向 直量
的平 是 面唯一确定向 的n量 ， 为此 平时 面 的 法向 . 量
M0(x0，y0，z0) n A ， B ， C
平面方程的表达式
数量积的性质
（ 1）aaa2
（ 2 ） 两个 a ， b ， 则 非 a b a 零 b 0 向量
数量积的运算律
对于 a ， b 任 ， c 及 意 ， 实 向 则 数 量 满
1 交a 换 b b a 律
2 结 a 合 b a b 律
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
ayk by
坐标法
设 a a x ， a y ， a z， b b x ， b y ， b z，则：
a b a b y y a b z z ， a b x x a b z z ， a b x x a b y y
例题
已 知 AB的 C顶点A(分 1， 2， 3)， 别 B(3是 ， 4， 5)，
向量积模的几何意义 以a， b为邻边的平等 面四 积边 . 形的
右手系规则图示
a
b
ab
注： 0 ，
是 a 到 b 的角
向量积的运算方法
分解式法
设aaxiay jazk，bbxiby jbzk，则：
i abax
bx
j ay by
k
az bz
ay by
az iax
bz
bx
az jax bz bx
表 达 方 式 图示 向量的模
代数法
用带有箭头的小写字母
a,b,c,表示
或用黑体字母,,,表示.
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示
A
B 记作向量AB (或 a ， )
AB (或 a， ) (注：模长是标量)
两个基本向量
零向量 模长为零的向量. (方向是任意的)
记作 0
单位向量
模长为1的向量.
平行向量又可称作共线向量. a
图示
b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向
向
向
量
量
量
的
的
的
加
减
数
法
法
乘
运
运
运
算
算
算
加法运算
三角形法则
图示
A
运
算
法 则
平等四边行法则
C B
ABBCAC
图示 D
A
C ABADAC
B
减法运算
三角形法则
C
图示
运
A
算
法 则 平等四边行法则
图示 D
A
ABACCB
B
C
ABADDB
a22abb2 222332 19
向量夹角余弦公式
两个非零a， 向b夹 量角的余弦公式为： c o s(a，b) aabb
axbx ayby azbz
ax2ay2az2 bx2by2bz2
7.2.2 向量的向量积
引例
设O为一根杠杆L的支点，力F作用于这
杠杆上点P, F与OP的夹角为,力F对支
它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2PQ 2QM 22
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P2PM 2 2Q2 M 2 x2
x
O M 1 P
(x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
M2
Q y1
y2 y
M 2 (Q )
两点间距离公式：
d M 1 M 2x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
标式来表示向量M 1M 2 与 2M1M2 .
2.已知 OA4,1,5与OB1,8,0,求向量AB
与 OAOB 的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定 义，能够灵活运用运算规律，并 熟训练使用判断向量平行或垂直 的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移M 1M 2,则力F 所做的功
定义 任数意量两,记个作向a量ba,,即ba 的b 数 量a 积(b 或c 内积 o ( )a 是 ， s 一b 个).
数量积的运算方法
定义法
a b a b c o (a ， sb )
坐标法
设 a ax， ay， az， b bx， by， bz，则： abaxbxaybyazbz
具有相同的长度单位,这三条轴分
别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴.
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅
垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.
这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
向量的混合积
设a
ax，ay，az
，b
bx，by，bz
，c
cx，cy，cz
,
则它们的混合积为：
abcabxx
ay by
az bz
cx cy cz
想一想 如果四A边 BC中 形 DA， Ba2b， BC4ab， CD 5a3b，那么 ABC是 D什么样的四
8e1
向量的坐标
在 同为空向向间的量直单a角位的坐向分标量解系式i、 O；xa j y、 z 中ka ，.x ， 则取a 称与y ， Oa xa 轴za 、x 称i O 为ya 轴向y、 j量 O的a zz 轴坐k
标式.
向量线性运算规律
分解式
a b a x b x i a y b y j a z b z k
例题
设 a 2， b 3， (a ， b )， 求 (a b )(a b )
与 (a b )(a b ).
3
解：( a b ) ( a b ) a a b b a 2 b 2 5
因为ababco s(a，b)23cos 3
所以(ab)(ab)aa2abbb3
dOM x2y2z2
练习
1.利用两点间距离公式求下列两点间距离. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）
2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B （-2，4，1）的距离相等.
7.1.2 向量的概念
Baidu Nhomakorabea
定义7.1 既有大小又有方向的量称为向量(或 矢量);向量的大小称为向量的模.
B
数乘运算
一个向量 a与一个实数 的乘积. 记作 a
注 数乘运算后的结果仍是一个向量.
若有 aaa0成立,则称向量a0为原向量 a同方向的
单位向量.
定理
向量
a与向量
b 平行(或共线)的充要条件是：
存在不全为零的实数和 ,使得a b 0 .
例题
已求知：2 a a e 3 1 b 2 c e 2 . 3 e 3 ， b 2 e 1 3 e 2 e 3 ， c 1 e 2 3 e 3 ， 3
点O的力矩是一向量M ,它的模为
M OQ F OP F sin
O Q
P
F L
向量积
定 义 给定两a和 个 b,a和 向 b的 量 向 量 (或积 外 )仍积 是一 向量 记a , 作 b,其大a小 b为 absi n(a， b),其 方向规a和 定 b都 为垂 与 且 a 直 ,b,a, b构成右手
第7章 向量代数与空间解析几何
知识目标
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念；
会判断平面与平面、直线与直线以及 直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂 直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与 直线的各种方程.
能力目标
通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
(方向未做规定)
记作 e
向量的三种关系
相等向量 模长相等,方向相同的两个向量.
记作 ab
注 与始点、终点位置无关；
图示
向量可以在a 空间中任意平移.
b
相反向量 记作 注
图示
模长相等,方向相反的向量.
aa a
a a
平行向量 方向相同或相反的非零向量.
记作 a//b
注 零向量与任何向量都平行.
为 WFScos ,其中 为F 与S 的夹角.
F
M2
S
M1
F c os
定义 两量个a非与零b向的量夹角a与,记b作, 它(a 们， 的b夹)角. 称为向
b a
注 ( a ， ： b ) 0 ，
特 (别a ， 地b ，) (0 a或，b时),称2a时与,称ba平与行b或垂共直线；；记记作作：：aa//bb
a (a x ) i (a y ) j (a z ) k (为常数)
坐标式
a b a x b x ， a y b y ， a z b z
a a x ， a y ， a z (为常数)
练习
1.已知两点M1 (0，1，2) 和M2 (1， -1，0),试用坐
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时
针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依
次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
练习
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-3，4） D（-2，-2，1）
2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？ 指出下列各点的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0）
已知 a 向 3， 1 ， 量 2， b 1 ， 2， 1,试求下列
1 a b 2 2a b b 3 2a b 2a b
7.3 平面与直线
平面和直线是几何学中最基本的研究 对象,是一些向量空间和几何空间中 某些对象的最基本原型,同时它们也 是几何分析中“以直代曲”的最基本 元素.本章中要求掌握平面和直线的 代数表达形式以及点、线、面间的位 置关系.
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般
点坐标
空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、 z之间建立起一一对应的关系.
这组数就叫做点P 的坐标，并依次称x、y、z为 点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P (x,y,z).
z C
z xO
P (x,y,z)
y
By
x
A
两点间距离
任取空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),
1
4i 6 j
2k
2
14
向量积的性质
（ 1 ） a a 0
（ 2 ） 两 a ， b ， 个 则 a / b /a 向 b 0 量
向量积的运算律
对于 a ， b 任 ， c 及 意 ， 实 向 则 数 量 满
1 反交 a b 换 b a 律
2 结 a 合 b a b 律
C(2， 4， 7)， 求 AB的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可
知 ABC 的面积为
S ABC
1 AB AC sin A 1 AB AC .
2
2
由于 AB 2，2，2 ，AC 1，2，4 ，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4 i 6 j 2 k
124
于是 S ABC