山东省泰安市新泰市2019-2020八年级上学期期末数学试卷及答案解析

山东省泰安市新泰市2019-2020八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A. B.
C. D.
2.在多项式①x2+2y2；②a2−b2；③−x2+y2；④−a2−b2；⑤a4−3ab4中，能用平方差
公式分解因式的有()．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.若分式1
x −1
y
=2，则分式4x+5xy−4y
x−3xy−y
的值等于()
A. −3
5B. 3
5
C. −4
5
D. 4
5
4.九年级(2)班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第一小组
对应的圆心角度数是()
A. 45°
B. 60°
C. 72°
D. 120°
5.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是()
A. 众数是8
B. 中位数是8
C. 平均数是8.2
D. 方差是1.2
6.如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A
的对应点A′的坐标是()
A. (0,4)
B. (2,−2)
C. (3,−2)
D. (−1,4)
=2的解为非负数，则m的取值范围是()
7.若关于x的分式方程m−1
x−1
A. m>−1
B. m≥−1
C. m>−1且m≠1
D. m≥−1且m≠1
8.某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动．通过对学生的随机抽样调查得到一组数
据，下面两图是根据这组数据绘制的两幅不完整的统计图，下列说法错误的是()
A. 在这次活动中一共调查了200名学生
B. 在扇形统计图中，“教师”所在扇形的圆心角的度数为72°
C. 在折线统计图中，“医生”的人数为15人
D. 在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角的度数为126°
9.如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，∠ACB=2∠ACD，则∠B的度
数为()
A. 50°
B. 65°
C. 70°
D. 72°
10.如图，在▱ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G，下列
结论正确的是()
A. DE=DF
B. AG=GF
C. AF=DF
D. BG=GC
11.某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，
现用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同．设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是()
A. 2700
x−20=4500
x
B. 2700
x
=4500
x−20
C. 2700
x+20
=4500
x
D. 2700
x
=4500
x+20
12.如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为()
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 8cm
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13.因式分解：x2y−4y3=______．
14.甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数均为9.3环，方差(单位：环 2)依次分别为0.026、
0.015、0.032.则射击成绩最稳定的选手是______(填“甲”、“乙”、“丙”中的一个)．
15.如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延
长线于F点，则CF=____．
16.如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，
顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是______．
17.若关于x的方程x+2
x−1=2+m+1
1−x
有增根，那么m=________．
18.如图，点A的坐标为(−1,5)，点B的坐标为(3,3)，点C的坐标为(5,3)，点D的坐标为(3,−1)，
小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_________________________．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
19.求不等式组{x+5>3
4−x≥1的最小整数解．
20.近几年，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，我们国家安全一再受到
威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：
(1)根据上图填写下表：
平均数中位数众数方差
甲班______ 8.5______ ______
乙班8.5______ 10 1.6
(2)根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度对甲乙两班进行分析．
21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−4,3)，B(−1,2)，C(−2,1)
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
22.因式分解：a2−4−3(a+2)
23.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，点E是BC的中点．
(AB−AC)；
(1)求证：DE=1
2
(2)若AD=8cm，CD=6cm，DE=5cm，求△ABC的面积．
24.2018年，在南浔区美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担村级道路硬化和道路拓宽改造
工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8.6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
(1)求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
(2)甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的13施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了1
5.设乙工程队平均每天施工a 米，请回答下列问题．
①根据题意，填写下表；
乙工程队 甲工程队 技术改进前 技术改进后
施工天数(天) (用含a 的代数式表示)
②若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a 和施工的天数．
25. 已知，如图，▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，AE =CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中
点，求证：四边形ENFM 是平行四边形．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B .不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C .是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D .既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D .
2.答案：B
解析：
根据选项所给一一判断是否可直接利用平方差公式分解，进而得出答案．
解：①x 2+y 2，无法因式分解；
②a 2−b 2=(a +b)(a −b)能用平方差公式分解；
③−x 2+y 2=(y −x)(y +x)能用平方差公式分解；
④−a 2−b 2=−(a 2+b 2 )无法因式分解；
⑤a 4−3ab 4=a(a 3−3b 4)，用提公因式，不是平方差公式分解．共2个．
故选B ．
3.答案：B
解析：
本题考查了分式的化简求值，还考查了整体代入的思想．
根据已知条件，将分式1x −1y =2整理为y −x =2xy ，再把分式4x+5xy−4y x−3xy−y 进行化简，然后将y −x =2xy
整体代入分式，即可求出答案．
解：整理已知条件得y−x=2xy；
∴x−y=−2xy 将x−y=−2xy整体代入分式得
4x+5xy−4y x−3xy−y =
4(x−y)+5xy
(x−y)−3xy
=4×(−2xy)+5xy −2xy−3xy
=−3xy −5xy
=3
5
．
故选：B．
4.答案：C
解析：
本题考查扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据条形统计图可以得到第一小组在五个小组中所占的比重，然后再乘以360°，即可解答本题．解：由题意可得，
第一小组对应的圆心角度数是：12
12+20+13+5+10
×360°=72°，
故选：C．
5.答案：D
解析：解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是1
2
(8+8)=8，故B选项正确；
平均数为1
10
(6+7×2+8×3+9×2+10×2)=8.2，故C选项正确；
方差为1
10
[(6−8.2)2+(7−8.2)2+(7−8.2)2+(8−8.2)2+(8−8.2)2+(8−8.2)2+(9−8.2)2+ (9−8.2)2+(10−8.2)2+(10−8.2)2]=1.56，故D选项错误；
故选：D．
根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”
得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
6.答案：D
解析：解：如图，
△A′B′C′即为所求，
则点A的对应点A′的坐标是(−1,4)．
故选：D．
根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．
本题考查了坐标与图形变换−旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
7.答案：D
解析：
此题考查分式方程的解和解一元一次不等式.解答此题的关键是先解关于x的分式方程，解得x=m+1
2
，
然后再依据“解是非负数”建立不等式m+1
2≥0且m+1
2
≠1，最后解不等式求出m的取值范围，即可
选出正确答案．
解：去分母得：m−1=2x−2，
解得：x=m+1
2
，
由题意得：m+1
2≥0且m+1
2
≠1，
解得：m≥−1且m≠1．
故选D．
8.答案：C
解析：[分析]
通过对比折线统计图和扇形统计图可知：喜欢的职业是公务员的有40人，占样本的20%，所以被调查的学生数即可求解；各个扇形的圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比，结合扇形图与这形图得出即可．
[详解]
解：A、被调查的学生数为40
20%
=200(人)，故此选项正确；
B、“教师”所在扇形的圆心角的度数为，故此选项正确；
C、在折线统计图中，“医生”的人数为200×15％=30(人)，故此选项错误；
D、在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角的度数为35%×360°=126°，故此选项正确，
故选C．
[点评]
本题考查的是折线统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．9.答案：D
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠CAD=∠ACB，∠D+∠BCD=180°，
∵CD=AC，
∴∠D=∠CAD，
∴∠D=∠ACB，
∵∠ACB=2∠ACD，
∴∠D=2∠ACD，
∴∠D+∠DCB=5∠ACD=180°，
∴∠ACD=36°，
∴∠D=72°，
在▱ABCD中，∠B=∠D=72°，
故选：D．
根据平行四边形的性质得到BC//AD，根据平行线的性质得到∠CAD=∠ACB，∠D+∠BCD=180°，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠CAD，推出∠D=2∠ACD，列方程即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．10.答案：C
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，即AB//CE，
∴∠ABF=∠E，
∵DE=CD，
∴AB=DE，
在△ABF和△DEF中，{∠ABF=∠E
∠AFB=∠DFE
AB=DE
，
∴△ABF≌△DEF(AAS)，
∴AF=DF；
故选C．
由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的
性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11.答案：D
解析：解：设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为(x+20)元，
由题意得，2700
x =4500
x+20
，故A，B，C错误，D正确．
故选D．
设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为(x+20)元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程．
12.答案：A
解析：
由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD，又由∠ODA=90°，根据勾股定理，即可求得AD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC=1
2AC=5cm，OB=OD=1
2
BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD=√OA2−OD2=4cm．
故选A．
13.答案：y(x−2y)(x+2y)
解析：解：原式=y(x2−4y2)=y(x−2y)(x+2y)．
故答案为：y(x−2y)(x+2y)．
首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14.答案：乙
解析：解：∵0.015<0.026<0.032，
∴乙的方差<甲的方差<丙的方差，
∴射击成绩最稳定的选手是乙．
故答案为：乙．
从统计表可以看出甲、乙、丙三位选手的平均数相同，进一步比较方差，方差小的数据的比较稳定，由此解决问题即可．
此题主要利用方差来判定数据的波动性，方差越小，数据越稳定，属于统计的基础知识，难点不大．15.答案：2
解析：
本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键.根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，∠1=∠F，然后求出∠1=∠3，∠4=∠F，再根据等角对等边的性质可得AD=DE，CE=CF，根据平行四边形对边相等代入数据计算即可得解．
解：如图，
∵AE平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，
∴∠2=∠3，∠1=∠F，
又∵∠3=∠4(对顶角相等)，
∴∠1=∠3，∠4=∠F，
∴AD=DE，CE=CF，
∵AB=5，AD=3，
∴CE=DC−DE=AB−AD=5−3=2，
故答案为2．
16.答案：8或25
8
解析：解：分2种情况讨论：
①当DE=AE时，
作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM 是平行四边形，
∴AM=NE，AM=1
2AD=1
2
m，CN=1
2
BC=4，
∴1
2m+1
2
m=8−(4−1
2
m)，
∴m=8；
②当AD=AE=m时，
∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=m，
∴NE=m−4，
∵AN2+NE2=AE2，
∴32+(m−4)2=m2，
∴m=25
8
．
综上所述：当m=8或25
8
时，△ADE是等腰三角形．
故答案为：8或25
8
．
已知AE为等腰三角形ADE的腰，所以可以分2种情况讨论：①当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，列方程得到m的值；
②当AD=AE=m时，△ADE是等腰三角形，得到四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=AD=m，由勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
解析：
本题考查了分式方程的增根及解分式方程，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，可求增根，再将方程两边都乘(x−1)化为整式方程，再把增根1代入求解即可．
解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x−1=0，
解得x=1，
原方程两边都乘x−1，得x+2=2(x−1)−(m+1)，
把x=1代入方程，得3=−(m+1)，
解得m=−4．
故答案为−4．
18.答案：(1,1)或(4,4)
解析：
本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴E点的坐标为(1,1)；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分
别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图
2所示，
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴M点的坐标为(4,4)．
综上所述：这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4)．
故答案为(1,1)或(4,4)．
19.答案：解：{x +5>3 ①4−x ≥1 ②
， 由①得：x >−2，
由②得：x ≤3，
不等式组的解集为−2<x ≤3，
则不等式组的最小整数解为−1．
解析：此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最小整数解即可．
20.答案：(1)8.5；8.5；0.7；8；
(2)从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样高；
从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
解析：解：(1)甲班的平均数是：(8.5+7.5+8+8.5+10)÷5=8.5(分)；
∵8.5出现了2次，出现的次数最多，
∴甲的众数为：8.5分，
S 甲2=15[(8.5−8.5)2+(7.5−8.5)2+(8−8.5)2+(8.5−8.5)2+(10−8.5)2]=0.7(分)； 乙的中位数是：8分；
故答案为：8.5，8.5，0.7，8；
(2)见答案．
(1)利用条形统计图，结合众数、方差、中位数的定义分别求出答案；
(2)利用平均数、众数、方差、中位数的定义分析得出答案．
此题主要考查了平均数、众数、方差、中位数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
21.答案：解：(1)△A 1B 1C 1如图所示，B 1(1,−2)．
(2)△A2B2C2如图所示，A2(3,4)．
解析：本题主要考查作图−旋转变换，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键．
(1)分别作出点A、点B、点C关于原点的对称点，顺次连接即可得；
(2)分别作出点A、点B、点C绕原点O顺时针方向旋转90°得到的对应点，顺次连接即可得．22.答案：解：原式=(a+2)(a−2)−3(a+2)=(a+2)(a−5)．
解析：利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解．
考查了公式法和提取公因式法进行因式分解，能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
23.答案：证明：(1)如图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADC和△ADF中，
{∠CAD=∠FAD
AD=AD
∠ADC=∠ADF=90°
，
∴△ADC≌△ADF(ASA)，
∴CD=DF，AC=AF，
∵点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=1
2
BF，
∵BF=AB−AF=AB−AC，
∴DE=1
2
(AB−AC)；
(2)由(1)的DC=DF=6cm，
则CF=12cm．
又∵CD⊥AD，
∴由勾股定理可得：AC=10cm．
S△ACF=1
2
CF·AD=
1
2
×12×8=48(cm2).
又∵DE=1
2
(AB−AC)，
∴AB=2BE+AC=20(cm)又∵BF=2DE=10cm，
∴AF=AB−BF=10cm，
∴AB==2AF，
∴S△ACB=2S△ACF=96cm2．
解析：本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线并证明DE是三角形的中位线是解题的关键．
(1)延长CD交AB于点F，然后利用“角边角”证明△ADC和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，AC=AF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可证明；
(2)由(1)得到DC=DF=6cm，CF=12cm.由勾股定理可得AC的长，求得S△ACF，推出AB==2AF，得到S△ACB=2S△ACF，由此即可得出结果．
24.答案：解：(1)设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为(2x−1)千米，
由题意得x+(2x−1)=8.6，
解得x=3.2，
∴2x−1=5.4，
答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．
(2)①3200
a ；5400×
1
3
a+10
=1800
a+10
；
5400×2
3
(1+1
5
)×(a+10)
=3000
a+10
；
故答案为3200
a ，1800
a+10
，3000
a+10
；
②由题意得
3200 a =1800
a+10
+3600
6
5
(a+10)
，
解得：a=20，
经检验：a=20是原方程的解，且符合题意.
∴3200
a
=160.
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．
解析：本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，列代数式的有关知识．(1)根据题目中的等量关系列出方程解答即可；
(2)①根据题意列出代数式即可；
②根据题目中的等量关系列出分式方程并解答，解分式方程的时候注意验根．
25.答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
又∵AE=CF，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE//BF，且DE=BF，
又∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴ME=FN，
∴四边形ENFM是平行四边形．
解析：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条件发现DF 和BE平行且相等．证明四边形DEBF为平行四边形．得到DE和BF平行且相等，再结合中点的概念，所以四边形ENFM为平行四边形．。