结构动力学多自由度

pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1



vi
v N

略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1

2




3


WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
L
kij 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
单元刚度矩阵
等截面梁的刚度矩阵：
fS1
6

f
S
2

f f
S S
Waa
Wba

1 2
pbT vb

1 2
paT va

pbT va
Betti定律
由能量相等原理： W1 W2 paT vb pbT va
Betti定律说明：第一组荷载在第二组荷载所引起的位移上所做 的功，等于第二组荷载在第一组荷载所引起的位移上所做的功。
由Betti原理
paT
~ fpb
U

1 2
N i 1
pi v i

1 2
pT
~fp
U

1 2
N i 1
pi vi
1 2
pT v

1 2
fSTv
1 (kv)T v 1 vT kT v
2
由于应变能恒大于零，故
~f
2
、
k
为正定矩阵。
p kv k~fp k~f I
故 ~f 、 k 互为逆矩阵。
Betti定律
情况1：
Waa

1 2
N i 1
pia via

1 2
paT va
Wbb
Wab

1 2
pbT vb

paT vb
W1
Waa
Wbb
Wab

1 2
paT va

1 2
pbT vb

paT vb
情况2：
Wbb

1 2
pbT vb
Waa
Wba

1 2
paT va

pbT vb
W2
Wbb
3 4


2EI L3
6 3L 3L
6 6 3L 3L
3L 3L 2L2
L2
3L v1

3L
v2

L2 2L2

vv43

当结构的全部有限自由度的刚度系数均以求得后，只要适当 地叠加单元的刚度系数，就能得到整个结构的刚度，这就叫 做直接刚度法。
若荷载的分布形式不随时间变化
pi (t) ( x) (t)
L
pi (t) (t) 0 ( x)i ( x)dx
几何刚度
几何刚度表示结构在轴向荷载分量作用下引起的屈曲趋势， 它不仅依赖于结构的外形，而且依赖于荷载条件。
对某一微段：

fGi
fGj


N l
1 1
结构动力学多自由度
运动方程
多自由度体系的动力平衡方程：
f I f D fS p(t )
即：
mv cv kv p(t)
考虑几何刚度：
mv cv kv kGv p(t)
或
mv cv kv p(t ) k k kG
弹性特性
刚度的定义：
1v1
1

v2

对于梁系的线性近似形式，结构的几何刚度矩阵具有三对角
形式两个相邻单元提供了对角线项，单个单元提供了各个非 对角线项，或称耦合项。
一致几何刚度：
L
kGij 0 N ( x)i '( x) j '( x)dx
静力凝聚
从刚度矩阵中消去不要的自由度的过程叫做静力凝聚。
结构的任何一个刚度系数，都能通过与这些节点相连的单元， 所对应的刚度系数叠加求得。
质量特性
集中质量矩阵：
任何结构的质量特性，最简单的方法是假定全部质量凝聚在
某些需要计算平移位移的点上，为了确定配置在每一个节点
上的点质量，常用的方法是假定结构分割成段，以节点做为 连接点。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L

0
m( x) 3( x)v3 1( x)v1dx
L
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
阻尼特性
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
pi (t) 0 p( x, t) i ( x)dx
ktt kt
kt k

vt v



f st f s



f st 0

(ktt kt k1kt )vt kt vt f st
kt (ktt kt k1kt )vt
无阻尼自由振动—振动频率分析


~f11 ~ f11 ~f11
~f11


~ f11


~f11 v ~fp
~f11 ~ f11 ~f11


p1
pi
pN

结构的基本概念
应变能：