《凝聚态物理学基础知识讲座250页PPT

2, c
VI. c: 1nm,为 金 属 中 两 个 电 子 的 平 均 距 离
VII. 因为等离子波必须只有当其波长大 于电子之间的距离才能存在。
V. 作图
VI. Bohm-Pines在1951-1953年提出：
∆ 电子气体中电子－电子之间的二体库 仑相互作用会引起电子之间的长程关 联运动
∆ 电子气体以电子密度集体振荡的方式 来体现电子－电子之间二体库仑相互 作用的长程效应。 电子气体的等离子集体振荡能量量 子——元激发（准粒子）称为：等离 子激元(plasmon)，是玻色子。
则严H ˆ 格0 运算有：
Hˆ
0
,
ˆ vv qk
h2 2m
vv kq
2
h
2
v k
2
2m
ˆ vv qk
式 中 h2
vv kq
2
h
2
v2 k
＝
v0 v
2m
2m
qk
是自由电子系分别元激发
——电子空穴对的能量
② 如果讨论的是有相互作用电子气体，哈密顿
量 Hˆ ，则
近似
Hˆ,ˆqvkv＝K
荷空穴（半径 :
q
c
1
）
∆ 介质极化说法
我们所讨论的体系由其哈密顿量 H ˆ 表征，固 体凝胶模型的 H ˆ 式中完全没有正电荷，何来
正电荷的屏蔽。
单电子的屏蔽库仑势产生的机制：
由外部引进一个试探电荷Q到自由电子气
（电子密度 n0 常量，为均匀分布）中，
使电子v 位置调整，达到平衡后的电子数密度
v0v qk
v
h2 2m
q2
vv 2kgq
：色散关系
q0时，qv0kv＝0
Hale Waihona Puke Baidu
作图
6. 金属中，有相互作用电子气体的另 一种集体效应——元激发：准电子 （受屏蔽电子）
I. 电子系中电子－电子的二体库仑相互 作用所剩的短程作用部分表现为电子
被正电荷空穴屏蔽，形成准电子。
II.
由
e 2
uv uuv
4e2
qqc q2
2 3
qc
eiqgr q2
v dq
vv
vv
e2
2 2
0
eiqgr q2 qc2
v dq
e2
2 2
0
eiqgr
v
dq
q2
qc2S
q 2kF
: cos
r很大
2kFr
/
r3
表明：任一电子电荷（－e）周围的屏蔽正电荷
密度在空间也是振荡的。
③ 屏蔽的物理实质：
∆ 电子系中电子－电子之间二体库仑相
5. 金属中,由相互作用电子气体的一种 分别元激发——电子－空穴对。
I. 电子－空穴对算符，是分别激发算符， 定义为：
ˆvv qk
aˆkvqvaˆkv
II. ˆ v v 的本征值方程： qk Hˆ,ˆqvkvqvkvˆqvkv
III. 采用固体的凝胶模型：
Hˆ Hˆ0 Hˆ
① 如果讨论的是自由电子系，其哈密顿量 ，
e 记r ri rj 2
uv uv
40 ri rj
r
vv
v Vqveiqgr，
q
式中Vv q
4 e2
q2
可见：电子系中电子－电子间的二体库仑
势的傅立叶展开中的长波部分 0qqc
已用于产生等离子激元，故库仑势傅立叶 展开中只剩下短波成分了，即
vv
V短程
v r
4e2
vv
eiqgr
III.
对于一般非
v q
0 情况，有
2
2 PL
1
53F2 q2
K
即v q
0 PL
qv2
: 色散关系
附：经典考虑
由长波极限下每个电子的运动方程m&x& 4e2nx
作修正：&x&
4e2n
m
0q2
x
得v2 q
4e2n
m
2 2 0
v2 q
IV. 等离子体集体振荡量子的稳定激发存在
于区域：
V.
0qqc,qc
＝v0vˆvv qk qk
4e2
Vq2
nv nv v k kq
ˆv vvˆvv
q
qk qk
两边求和 ，再消去 ˆ v ， 得
v
q
k
4 e2
nv v nv kq k 1
Vq2
v k
vv v0v
qk
qk
用作图法求解
IV. 近似：分别元激发——电子－空穴对
的能量近似取为 v0 v qk
4e2
qqc q2
2 3
qc
eiqgr
v dq
q2
L
e2
r
1
2
qcr 0
sinqr
qr
d
qr
e2 eqcr r
III. 结论：
① 单电子库仑势为屏蔽库仑势：
e
e qcr
其作用表现在 : 1 / q c 的尺度内。V
② Friedel振荡：
vv
V短程
v r
4e2
vv
eiqgr
为 n r 。电子密度调整会产生感生电势，并
满足泊松方程：
2 感 生
v r
V q
v kq k
k
II.
ˆ v 的本征值方程： q
Hˆ
,
ˆ v q
hˆqv
,
式中h是ˆqv的本征值
则有
Hˆ
,
Hˆ
,
ˆ v q
h
2
ˆ v q
v ......
长波极限q0
4 e2h2
m
ˆ0
ˆ v q
说明：
①
ˆv q0
ˆ0,其中ˆ0：电子系的平均密度
② 证实：存在电子密度起伏即等离子体振荡。
b) 分别激发的准粒子，例：屏蔽电子，极化 子。
III. 看成元激发的重要性－作用
4. 金属中有相互作用电子气体的一种 集体效应 ——元激发：等离子激元 （等离子体集体振荡量子）。
I. 电子系的电子数密度算符用来描述固 体中电子气体（电子数）的密度起伏
ˆrvˆrvˆrv
其傅立叶变换
ˆv 1 aˆv vaˆv,是集体激发
振荡频率：
2＝
0
4 e
m
2
0
③ 式中不能出现 h ，是经典频率
等离子体频率：
2＝
PL
4 e2
m
0
④ 元激发稳定。
⑤ 对于良导体： hP0L : 10eV
⑥ 是纵振荡——只涉及电场的散度。
⑦ 因为电导过程驰豫时间 1 0 1 2秒 ， p 1 0 1 6秒 － 1
即 p ? 1 ，故可略去阻尼力表明：等离子 体振荡是没有碰撞的情况下存在的一种集体 运动。
2. 单电子近似的困难：
因为晶体中电子－电子的二体库仑相互 作用很强，故：
I. 体系会显示集体效应——出现元激发。
II. 体系能量有相关能部分。
3. 元激发
I. 体系的能量靠近基态的低激发态，往 往可以看成是独立基本激发单元（就 是元激发或准粒子）的集合。
II. 元激发大体分两类：
a) 集体激发的准粒子，例：声子，磁振子， 等离子体激元。
互
作
用
确
实
已
经
用
去
了0
q
q
的
c
长
波部分——这是长程作用。
只
剩
下
q
q
的
c
短
波
成
分
—
—
这
是
短
程
作用。
故：电子系中电子－电子之间的二体
库仑相互作用只存在剩下的短程作用
部分——这就是屏蔽库仑作用。
∆ 由于电子运动的关联效应（电子系的密度起
伏），感生出相关空穴，电子将排斥开周围
其他电子而形成一个随这个电子运动的正电