山东科技大学概率论与数理统计考研真题2017—2019年

一、（20分）在一天中进入某超市的顾客人数ξ服从参数为λ的泊松分布，而进入超市的每一个人以概率p 购买1件商品，以概率1A p -不购买商品，假设顾客是否购买商品是相互独立的，记A A η为一天中顾客在该超市购买商品的件数。

A 1、求η的概率分布；
2、求条件概率{|}p l k ξη==，其中为非负整数；
,k l 二、（20分）设随机向量(,ξηy )的联合密度函数为
,01,1(,)0,
Axy x x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它 1、求常数；
A 2、求,ξη的边缘密度函数，,ξη是否独立？为什么？
3、求概率(1/2P )η<及概率(P 1)ξη+=的值；
11(|22
P ηξ)<= 4、求条件概率),(ηξ三、（20分）设二维随机变量的联合分布函数为
(1)(1),0,0(,)0x y e e if x y F x y else αβ--⎧-->=⎨⎩
>其中0,0αβ>> 与η1、问ξ是否独立？为什么？
2、 求),(ηξ的联合密度函数；
(2)E ξη+、()E ξη及协方差cov(,)ξηξη-+3、 求数学期望；
4、 若0αβ=>，试证明ξη+与/ξη独立。

四、（14分）假设(,)X Y 服从二元正态分布221
(0,2;3,4;2
N -，Z X Y =+//32
1、求数学期望，方差；
EZ DZ
X 与Z 2、问是否相关？是否独立？为什么？
服从参数为n p }{五、（16分）1、随机变量序列n ξn ξ相互独立，的贝努利分布，其中01n p <<，证明}{n ξ服从大数定律，即对任意0ε>有
1
1{|()|)i i P p n ξ}0,(εn
i =n ->→→∞∑。

2、设随机变量n ξξξ,,,21 ,(2)=0.9775,Φ相互独立，且均服从均匀分布
六、（20分）1、设(0.05,0.05)U -（注：(1)0.8Φ=，试利用中心极限定理求1i i = 的近似值。

1200
{||2}P ξ>∑65）
143(3)=0.998Φ12,n ξξξL 为来自均匀分布(0,)U θ的样本，求
n ()ma n 12x{,,,}ξξL ξ的密度函数；ξ= 22、设1,ξ2ξ是来自总2)体(0,N σ122112()()
T ξξξξ+与-=
的样本，统计量2T = 七、（20分）设总体X 具有密度函数()f x (),0,x e x x μμμ--⎧>，μ=⎨≤⎩
未知，12n ,,,X X X 是来自X 的样本。

1、分别求μ的矩估计1ˆμ
和极大似然估计2ˆμ； 2、上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；
3、证明1ˆμ
为μ的相合（一致）估计； 4、问2中得到的两个无偏估计量哪一个更有效？
八、（20分）设总体()2,~σμN X 与都未知， 2σμ，其中12,,,n X X X 为来自总体X 的容量为n 的样本。

1α-下，给出μ的置信区间；1、试在置信水平。