阀控液压缸传递函数模型应用与建模误差分析

阀控液压缸传递函数模型应用与建模误差分析
郭洪波;李磊;水涌涛;及红娟
【摘要】根据建立的通用阀控液压缸传递函数模型,分析了非对称缸的最低液压固有频率与传递函数模型中液压缸固有频率的关系,给出了在阀控液压缸在工程设计中可供选择的最低液压固有频率理论计算公式及其经验公式;给出了阻尼比ζh、阀系数Kq和Kc的选取与工程计算方法.传递函数模型的建模误差分析结果表明,描述阀控非对称缸的滑阀流量方程和液压缸连续性方程不能同时满足且与最低液压固有频率的工作点不在同一个位置上,进一步揭示了阀控液压缸传递函数模型适用范围的局限性.
【期刊名称】《流体传动与控制》
【年(卷),期】2017(000)005
【总页数】5页(P16-20)
【关键词】阀控液压缸;数学模型;液压固有频率;建模误差
【作者】郭洪波;李磊;水涌涛;及红娟
【作者单位】北京航天长征飞行器研究所北京 100076;北京航天长征飞行器研究所北京 100076;北京航天长征飞行器研究所北京 100076;北京航天长征飞行器研究所北京 100076
【正文语种】中文
【中图分类】TH137
阀控液压缸是液压伺服系统常见的驱动机构形式。

动力机构的动特性往往制约着整个系统的性能，所以分析动力机构的动特性，其数学模型是分析和设计该类系统的基础。

非对称缸因其具有结构简单、工作空间小等特点，被大量引入液压伺服系统中。

特别是非对称伺服阀的出现，已为生产厂家和许多用户所接受，引起了人们对阀控非对称缸，特别是非对称阀控制非对称缸静、动态特性研究的关注[1-4]。

阀控对称缸传递函数模型是在假定活塞处于中位做微量运动时，对阀和液压缸的特性运用开环线性化方法得到的简化模型。

由于阀控非对称缸的特殊之处，在建立动态方程时作了诸多简化和近似处理，所以描述其动态特性的传递函数模型具有很大近似性[5-8]。

这不仅仅表现在滑阀流量方程的小偏差线性化以及其它未建模动态上，还表现在描述阀控非对称缸的滑阀流量方程和液压缸连续性方程不能同时满足且与最低液压固有频率的工作点不在同一个位置上。

另外，随着工作条件和运动工况的变化，阀控非对称缸的主要性能参数也会随之改变。

如何恰当地计算和合理确定这些参数是应用传递函数模型进行系统分析和工程设计时需要注意的问题。

本文针对上述问题进行了初步探讨，供进一步研究参考。

1 阀控液压缸通用数学模型
1.1 阀口的面积梯度
阀控非对称缸的原理简图如图1所示。

假设伺服阀的功率阀芯为零开口四通滑阀，它与液压缸无杆腔相连的节流窗口1、4的面积梯度为w1和w4，且有w1=w4；与有杆腔相连的节流窗口2、3的面积梯度分别为 w2和 w3，且有 w2=w3。

节
流窗口2、3与1、4的面积梯度之比为w2w1=n。

非对称液压缸活塞杆侧的作用面积A2与活塞面积A1之比为n1。

图1 阀控非对称缸原理简图
1.2 负载压力、负载流量与液压缸两腔压力
根据液压缸稳态时的力平衡方程，定义动力机构的负载压力[9]为：
假定：（1）节流窗口处的流动为紊流，液体压缩性的影响在阀内予以忽略；（2）伺服阀为理想零开口四通阀；（3）供油压力 pS恒定不变。

根据图1中符号的定义，并假设回油压力p0=0。

经推导可得液压缸两腔压力p1
和p2为：
定义稳态时的负载流量为：qL=q1，则有：
1.3 活塞的力平衡方程
活塞的力平衡方程为（不计非线性摩擦力）
式中，m为活塞和负载的总质量；
Bc为活塞和负载的粘性阻尼系数；
K为负载的弹簧刚度；
FL为作用在活塞上的任意时变外负载力。

1.4 阀的流量方程
滑阀的线性化流量方程可表示为：
式中，Kq和Kc分别为阀的流量增益系数和流量压力系数。

1.5 液压缸连续性方程
非对称液压缸两腔的流量连续性方程为：
式中，
Cic为液压缸的内泄漏系数，
Cec液压缸活塞杆处的外泄漏系数。

1.6 传递函数及方块图
对式（6）、式（7）和式（8）进行拉普拉斯变换，可得到阀控液压缸的方块图，如图2所示。

当系统负载为惯性负载和粘性负载，无弹性负载时，有K=0。

同时考虑到，可得
输出量为y的动态特性方程为：
式中，Kce=Kc+Ctc，
图2 阀控非对称缸方块图
上述阀控非对称缸传递函数式（9）是通用的。

根据n和n1取值的不同，式（9）适用于不同类型的阀控液压缸系统。

2 传递函数模型应用与建模误差分析
阀控非对称缸的传递函数模型和方块图是在做了许多简化和近似的条件下推导出来的，随着工作条件和运动工况的变化，阀控非对称缸的主要性能参数也会随之改变。

恰当地计算和合理确定这些参数是应用该传递函数模型进行系统分析和工程设计时需要注意的问题。

2.1 液压固有频率ωh的确定
如图1所示，液压缸活塞杆连接一个等效质量为m的惯性负载，便构成了一个液压-弹簧-质量系统。

活塞处在不同的位置时，该系统的固有频率是不相同的。

液压缸的作用可认为是一个具有较大刚度的线性弹簧。

其总的刚度等于各腔受压缩液体产生的液压弹簧刚度之和。

总的液压弹簧刚度Kh可表示为
忽略液压缸的死容积和阀到液压缸两腔的管路容积的影响，则有：
由式（11）～式（13）可得：
由式（14）可求得当Kh取最小值时，
此时，液压弹簧刚度Kh的极小值Khmin为：
因此系统的最低液压固有频率为：
由以上分析可以看出，非对称缸的最低液压固有频率出现在位置处，将小于按式（10）所计算的液压缸固有频率值，也就是说前述所推导的阀控液压缸（对称阀控制对称缸除外）的传递函数不是基于最低液压固有频率的。

在阀控液压缸的工程设计中，为充分保证系统的稳定性，推荐使用式（17）所表示的最低液压固有频率，也可采用如下经验公式：
值得注意的是，非对称缸两腔由受压缩液体产生的液压弹簧刚度相等的位置并不与液压缸的最低液压固有频率位置相重合。

这一点与对称缸的情况（在行程的中间位置）不同。

2.2 阻尼比ζh的选取
阻尼比ζh随着工况的改变会发生很大的变化，是一个难以确定的软量。

考虑到在零位区域工作时非线性摩擦能提供附加的阻尼，当阀开口增大时，通过阀的流量增加也会增大阻尼比，而按ζh表达式计算的数值往往偏小，所以ζh的选取要综合
考虑阀控非对称缸的工作条件和工况，依据实际经验确定。

一般情况可取为
ζh=0.1～0.2。

2.3 阀系数Kq和Kc的计算
对于阀控非对称缸的应用场合，阀系数不仅与稳态工作点的负载有关，而且会随着活塞运动方向的变化而改变。

其中流量增益的变化会造成系统不同运动方向开环增益的不同，引起两个方向动特性不对称，所以计算出不同方向的阀系数对分析和设计系统是非常必要的。

通常按照伺服阀厂家提供的样本和测试曲线可以很容易确定阀控对称缸时的阀系数：空载流量增益通常可表示为工作压力下空载流量与额定电流之比，即压力增益可查伺服阀样本，通常表示为流量-压力系数按式K=KKc0q0p0计算。

将阀控非对称
缸阀系数的表达式与阀控对称缸阀系数的表达式相比较，可以计算出以对称缸时的阀系数来表达的非对称缸情况下的阀系数。

比如当xv＞0时的流量增益和流量-压力系数可表示为：
同样也可求出当xv＜0时的流量增益和流量-压力系数：
当系统采用非对称伺服阀时，可利用厂家提供的两对阀口的不同流量曲线计算相应的阀系数。

如果厂家没有提供详细的流量曲线，可以先参照与大流量一对阀口额定流量规格相同的对称伺服阀，求出Kq0和Kc0，然后应用前述公式计算出非对称
阀控制非对称缸时的阀系数。

2.4 阀控液压缸传递函数模型建模误差分析
由于阀控非对称缸的特殊之处，在建立动态方程时作了诸多简化和近似处理，所以描述其动态特性的传递函数模型具有很大的近似性。

这不仅仅表现在滑阀流量方程的小偏差线性化以及其它未建模动态上，还表现在描述阀控非对称缸的滑阀流量方
程和液压缸连续性方程不能同时满足且与最低液压固有频率的工作点不在同一个位置上。

下面对此进行初步探讨。

在得出滑阀流量的线性化方程过程中，应用了q1A1=q2A2这个关系。

由于压缩
流量的影响，这个关系仅在液压缸特定位置才能满足。

下面推导满足这个条件时，液压缸活塞应处的位置。

考虑液压缸两腔的压缩流量：
式中，qs1为液压缸无杆腔的压缩流量；
qs2为液压缸有杆腔的压缩流量。

当 xv＞0时，由式（1）和式（2）有：
当 xv＜0时，由式（1）和式（3）有：
由式（20）和式（21）以及油源供油压力为常值的假定，有：
由式（18）和式（22），可进一步得到：
这时若要满足关系式q1A1=q2A2，则液压缸两腔的压缩流量必须满足如下条件：则由式（19）、式（23）和式（24），得到：
忽略液压缸的死容积和阀到液压缸两腔的管路容积的影响，则由式（12）、式（13）和式（25）可得到：
式中，ys0为满足滑阀流量线性化方程时液压缸活塞所处位置。

在推导液压缸流量连续性方程过程中，假设液压缸活塞在V10=V20=V0处做微量运动，则由式（12）和式（13）可得到：
式中，yc0为推导流量连续性方程时液压缸活塞所处稳态工作点位置。

另外，由式（15）可知，液压缸最低液压固有频率出现在位置处。

由式（15）、式（26）和式（27）可见，对于阀控非对称缸来说，由y0、ys0和yc0所确定的三个工作点并不重合。

但是对于对称阀控制对称缸，这三个工作点重合为一点，即液压缸的中间位置。

由以上分析可以看出，阀控非对称缸的传递函数模型具有很大的不准确性。

这种不准确性不单单表现在滑阀流量方程小偏差线性化时的截断误差和其它未建模动态上，还表现在描述阀控液压缸的滑阀流量方程和液压缸连续性方程不能同时满足且与最低液压固有频率的工作点不在同一个位置上（对称阀控制对称缸除外）。

3 结语
根据建立的通用阀控液压缸传递函数模型，分析表明非对称缸的最低液压固有频率值小于传递函数模型中液压缸固有频率值，亦即阀控液压缸（对称阀控制对称缸除外）的传递函数不是基于最低液压固有频率的，同时给出了在阀控液压缸的工程设计中可供选择的最低液压固有频率理论计算公式及其经验公式。

给出了阻尼比ζh、阀系数Kq和Kc的选取与工程计算方法。

通过对阀控液压缸传递函数模型建模误差的分析，结果表明描述阀控非对称缸动态特性的传递函数模型具有很大的近似性。

不仅仅表现在滑阀流量方程的小偏差线性化以及其它未建模动态上，还表现在描述阀控非对称缸的滑阀流量方程和液压缸连续性方程不能同时满足且与最低液压固有频率的工作点不在同一个位置上。

上述建模误差分析对深入分析阀控液压缸传递函数模型的适用范围具有较为重要的理论意
义。

参考文献
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