(整理)微积分第八章 多元函数的微积分学

第八章多元函数的微积分学
上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。

一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。

多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。

一、教学目标与基本要求
(1)理解多元函数的概念。

(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微
分在近似计算中的应用。

(4)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

(5)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

(6)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。

(7)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。

了解条件极值的概念，会用拉格朗
日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

(8)理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。

(9)熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。

二、教学内容的重点及难点：
重点：
1．多元函数的极限与连续；
2．偏导数的定义；全微分的定义
3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则
4．多元函数的极值与最值的求法
5．二重积分概念，二重积分的计算。

难点：
1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；
2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；
3．由方程组确定的隐函数的求导法则；
4．条件极值的求法
5．对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：
1．多元函数微分学的几个概念的深刻背景；
2．多元复合函数的求导法则的应用；
3．由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数
4．利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；
5．将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念
6．利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。

7. 二重积分概念的深刻背景 8. 二重积分的换元积分法 9. 重积分的实际应用
§8.1多元函数的基本概念
一、内容要点
1． 平面点集 n 维空间 2． 多元函数的概念 3． 多元函数的极限 4． 多元函数的连续性 二、教学要求和注意点
教学要求：
1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

教学注意点：
多元函数的极限与一元函数极限的定义表面上看起来非常相似，但也有不同的地方，要特别提醒学生注意，一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限，但多元函数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线的方向趋于定点，也可以沿着曲线的方向趋于定点，这意味着多元函数的极限较一元函数的极限复杂得多。

说明1：把一元函数的概念推广到多元函数之前必须把多维空间的领域概念解释清楚，因为多元函数许多与一元函数不同的特殊性质是由多维空间中的领域性质决定的。

往往学生自以为已经掌握了多元函数的概念，遇到实际问题还是理解不了。

说明2：多元函数的极限是比较难理解的概念，要分清二重极限与二次极限的区别与两者的关系。

说明3：在多元函数的范围内仍有基本初等函数和初等函数的概念。

一、 平面区域
首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识： 1、
邻域：给定平面内P 0（x 0，y 0）点，和某数δ>0，以P 0点为圆心，为δ半径作圆，该圆内所有点的全体，即})y y ()x x ()y ,x ({2
2
02
0δ<-+-，称为P 0点的邻域，记做：),P (U 0δ，简记)P (U 0；
2、
内点：在平面点集E ，存在P 0的一个邻域)P (U 0，使得E ⊂)P (U 0，则称P 0为E 的内点；
3、 开集：平面点集E 内的所有点都是内点，则称点集E 为开集；
4、
边界点：在平面上，存在某个点P ，在P 的任何邻域内，都含有点集E 的点，又含有不是点集E 的点，则称点P 为点集E 的边界点。

【注】：1、点P 可以在点集E 内，也可以不在。

2、点集E 中孤立在外的点，
称为孤立点，规定，孤立点为边界点。

3、所有边界点组成的集合称为
边界。

5、连通：如果点集E内的任意两点都能用全属于E的折线连接起来，则称E为
连通的。

6、区域：连通的开集称为开区域，简称区域。

称区域连同他的边界为闭区域。

7、有界无界区域：对于平面点集E，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使
D
E，则称为有界区域，否则称为无界区域。

⊂
8、聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集E的点，称P为点集E的
聚点。

【注】：平面点集中点的关系如图,其中：
二、二元函数的极限和连续性
1、二元函数
定义1：设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二z=，其中x，y称为自变量，z称为因变量。

自变量x，y的元函数，记作：)y,x(f
取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。

【注】1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n≥1）；
2、定义1中，当x，y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。

通常
z=为单值函数，但有时侯取值不情况下，这个值是唯一的，这时我们称)y,x(f
是唯一的，这时我们称)y ,x (f z =为多值函数。

如：9z y z 2
22=++。

一般情
况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。

3、二元函数的定义域有两种。

其一：我们规定的定义域，即)
,(y x f z =中，x ，y 的取值范围。

如：⎩
⎨⎧==01
)y ,x (f z ，2y 1,2x 11y ,1x ≤<≤<≤≤，其中的定义
域就是}2y ,2x |y ,x {}y ,x {D ≤≤==。

其二：我们给定的函数)y ,x (f z =，
使得z 有确定取值的（x ，y ）的取值范围。

如：)y x arcsin()y ,x (f z 2
2+==，其定义域为：D={(x ，y)| 1y x 2
2≤+ }。

4、二元函数的图形由上一章的内容可知是一张曲面。

5、两二元函数相等，即)y ,x (g )y ,x (f =⇔定义域相等且起对应法则
也必须相等。

【例】求y x z -=
的定义域。

解：显然要使得上式有意义。

必须满足⎩⎨⎧>≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-0y x
y 0
y 0y x 2。

2、 二重极限
定义2：设P 0(x 0，y 0)为函数)y ,x (f z =定义域D 的聚点，如果当定义域内任意
一点P （P 0除外），以任何方式趋近P 0时，即：0P P →，都有A )P (f →，则称)y ,x (f 在的P 0二重极限为A 。

δ-ε 语言表示：0>ε∀，0>δ∃，
当δ<-+-=<2
0200)y y ()x x (PP 0时，恒有：ε<-=-A )y ,x (f A )P (f ，记：A )y ,x (f lim )P (f lim 0
y y x x P P ==→→→。

三、求极限的方法
1、一元函数求极限的方法及运算法则（除L.hospital 法则外）对多元函数依旧
成立。

如：两个重要极限，等价无穷小法则等等。

〖例〗（1）、xy
tan 10
y 0
x )
xy 1(lim +→→
（2 ）、22220
y 0x y x )
y x (x y lim +-→→ 解：（1）：xy
tan 1
y 0
x )
xy 1(lim +→→=xy
tan xy xy 10
y 0x )
xy 1(lim +→→=xy tan xy lim
0y 0x e →→=1
e =e
（2）：∵ 1y
x y x y x y x y x y x 2
2222222222
2=++≤+-=+- ∴ xy 1xy y
x )
y x (xy 2
222=⋅≤+- 又∵ 0xy lim 0
y 0x =→→
∴ 原极限=0
2、定义中提到任意方式趋近，我们可从中推断出：当我们能找到两条不同的路
径L1，L2，使得0
P P →，但是函数取得的极限却是不同的A ，B 时，则我们称其函数
极限不存在。

〖例〗讨论⎪⎩
⎪⎨⎧+=0
y x xy
)y ,x (f 2
2，0y x 0y x 2
222=+≠+在（0，0）处的极限。

解：取不同路径y=kx ，当x 趋近0时，y 趋近0，但方式不同，
22220x 220kx y 0kx y k
1k
x )k 1(kx lim y x xy lim )y ,x (f lim +=+=+=→→=→= 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

所以我们说函数在（0，0）的极限不存在。

3、 二次极限与二重极限的关系
称))y ,x (f lim (lim 0
0y y x x →→和))y ,x (f lim (lim 0
0x x y y →→为函数)y ,x (f 在点（x 0,y 0）的二次
极限。

【注】二次极限存在不一定二重极限存在，同理二重极限存在不一定二次极限存在。

〖例〗（1）显然有：000)x
1
sin y y 1sin
x (lim 0
y 0
x =+=+→→，但是二次极限不存在。

（2）、上面例题说明⎪⎩
⎪⎨⎧+=0
y x xy
)y ,x (f 2
2，0y x 0y x 2
222=+≠+在（0，0）处的二重极限不存在。

但是其二次极限))y ,x (f lim (lim 0
y 0x →→=))y ,x (f lim (lim 0
x 0y →→=0。

四、函数的连续性及性质
定义3：设P 0是函数)y ,x (f z =定义域D 上的聚点，且D P 0∈，如果：
)y ,x (f )y ,x (f lim 00y y x x 0
0=→→，则称函数)y ,x (f z =在点P 0（x 0,y 0）连续，否则称该点
为不连续点。

【例】：任由上面例题可知⎪⎩
⎪⎨⎧+=0
y x xy
)y ,x (f 2
2，0y x 0y x 2
222=+≠+在（0，0）处是不连续的。

【注】：1、等价定义：函数)y ,x (f z =在点P 0（x 0,y 0）连续⇔
)y ,x (f )y y ,x x (f lim )y ,x (f )y ,x (f lim 00000
y 0x 00y y x x 0
=∆+∆+⇔=→∆→∆→→
（2）、利用多元函数的连续性来解决极限问题。

〖例〗（1）、求极限
1
xy 1xy lim
1
x 1
x +-→→
解：∵ 21x y lim
1
x 1x =+→→，且0)1xy (lim 1
x 1x =-→→
∴ 原极限=0
性质1、（最大值和最小值）若函数)y ,x (f z =在有界闭区域D 上连续，则函数f 在
D 上有界，并且能取得最大值与最小值。

性质2、（介值定理）：设函数)y ,x (f z =在有界闭区域D 上连续，若P 1（x 1，y 1），
P 2（x 2，y 2）∈D ，且)y ,x (f )y ,x (f 2211<，则对任何满足不等式)y ,x (f k )y ,x (f 2211<<的实数k ，总存在P 0（x 0，y 0）点，使得k )y ,x (f 00=。

特别：取得函数可以取得最大值与最小值之间的一切值。

§8.2 偏导数
一、内容要点
1． 偏导数的定义及其计算法
x
y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)
,(),(lim
),(0000000
y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)
,(),(lim ),(0000000
2． 高阶偏导数
二、教学要求和注意点
教学要求：
理解多元函数偏导数的概念，并会求具体多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数，知道多元函数的连续性与偏导数之间的关系。

教学注意点：
在一元函数中，可导的要求比连续的要求更高，即可导必连续，但连续不一定可导。

而对多元函数而元，偏导数存在时，多元函数却不一定连续，这是多元函数与一元函数的本质差别，应让学生举出反例，如
00
),(2
2
222
2=+≠+⎪⎩⎪
⎨⎧+=y x y x y x xy y x f
说明1：多元函数的连续性要给出两种定义，补上精确的定义方式（即用
“ε-δ”语言的定义方式，以便让学生能深刻理解多元函数连续的意义。

说明2：闭区域上连续函数的性质与一元函数的情形几乎完全相同，不必多做解释。

说明3：说明多元函数连续性和偏导数存在没有直接关系，这一点与一元函数的情形是根本不同的，原因是偏导数只有一维的变化概念，极限至少是二维的变化概念。

说明4：混合导数与次序无关的条件在初等函数的范围内是很容易满足的，不必过分强调它的条件。

说明5：在二元函数的情况，函数在某一点可微的几何意义就是曲面在这一点有切平面存在。

说明6：函数在某一点可微可以保证函数在该点的连续性和偏导数存在，但不能保证偏导数在这一点连续，可以举出反例。

说明7：在所有介绍的条件中，偏导数的连续性是最强的。

函数的偏导数在某一点连续可以保证函数在这一点可微、连续和偏导数存在。

一、偏导数概念
偏增量：)y ,x (f )y ,x x (f z 0000x -∆+=∆
)y ,x (f )y y ,x (f z 0000y -∆+=∆
全增量： )y ,x (f )y y ,x x (f z 0000-∆+∆+=∆
定义1：设函数)y ,x (f z =在P 0（x 0，
y 0）的某邻域),P (U 0δ内有定义，)P (U )x x (00∈∆+∀。

若x
)
y ,x (f )y ,x x (f lim
00000x ∆-∆+→∆存在，则称)y ,x (f z =在P 0（x 0，y 0）点关于x 的偏导
数存在，且其极限值为其在该点的偏导数。

记做：
)
y ,x (00x
z
∂∂、
)
y ,x (00x
f ∂∂或者)y ,x (f 00x 、)y ,x (z 00x ，即：
)y ,x (f 00x =x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆)
,(),(lim
00000
同理：)y ,x (f 00y =y
)
y ,x (f )y y ,x (f lim
00000y ∆-∆+→∆
偏导(函)数：如果函数)y ,x (f z =在D 内的每一点（x ，y ）都有偏导数，则称)y ,x (f y 、
)y ,x (f x 为)y ,x (f z =的两个偏导(函)数。

2、偏导数的计算
【注】1、求)y ,x (f z =对x 的偏导数时，将y 视为常数，对x 求导数。

求)y ,x (f z =对y 的偏导数时，将x 视为常数，对y 求导数。

2、偏导数的符号
x z ∂∂、y z
∂∂是一个整体，不像dx
dy 可以看成dy 除以dx 。

【例】（1）、设x y z =
，则求x z ∂∂，y x ∂∂，z
y ∂∂ 解：∵x y
z =
，∴ 视y 为常数，则2x y x z -=∂∂； 又∵z
y
x =
，∴视z 为常数，则
z 1y x =∂∂；
又∵xz y =，∴视x 为常数，则
z z
y
=∂∂。

同时，由上面计算可知
1z y x y x z 1z z 1x
y z y y x x z 2=∂∂∂∂∂∂≠-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂。

尤其注意在不等号的左边表达式是错误的。

（2）、设3
2
32y xy x z +-=在点（1，2）处的偏导数。

，
)2,1(x z
∂∂，)
2,1(y
z ∂∂
解：
24222)2,1()
2,1(-=-=-=∂∂y x x z
；
.34362922)
2,1(=+-=+-=∂∂y x y
z
（3）、设⎪⎩
⎪⎨⎧+=0
y x xy
)y ,x (f 2
2，0y x 0y x 2
222=+≠+。

求f 在（0，0）处的偏导数。

解：因为函数在整个定义域内表达形式不一样，所以在这里我们只能根据定义来求解。

)0,0(x f =00
lim )0,0()0,0(lim
00
=∆=∆-∆+→∆→∆x x
f x f x x )0,0(y f =00lim )0,0()0,0(lim
00
=∆=∆-∆+→∆→∆y
y f y f y y 3、求)y ,x (f z =在P 0（x 0，y 0）的偏导数的方法
〖方法一〗：首先求出其偏导函数)y ,x (f x 、)y ,x (f y ，在代入该点的坐标值（x 0，y 0）。

〖方法二〗：比如求)y ,x (f 00x 时。

通常我们先代入y=y 0，得到),(0y x f ，在对x 求导数得),(0y x f x ，再代入x=x 0。

【例】：)cos()sin(2
2
)1(arctan
),(ππy e y x y x f z xy +-==，求)1,1(x f 。

解：x
e x
f -=)1,(，x x e x f -=)1,(
∴e f x -=)1,1(
4、偏导数存在和函数连续的关系
（1）
例题：⎪⎩
⎪⎨⎧+=0
y x xy
)y ,x (f 2
2，0y x 0y x 2
222=+≠+在（0，0）处的偏导数存在，但不连续。

（2）
例题：y x y x f +=),(，在（0，0）处连续，但是偏导数不存在。

5、几何意义
)y ,x (f 00x 表示：曲面)y ,x (f z =与平面y=y 0相交的曲线C x ，在平面y=y 0内在x=x 0
处的切线斜率。

其中：αtan ),(00==y x f K x x
βtan ),(00==y x f K y y ，如图所示：
一、高阶偏导数
定义：设有函数)y ,x (f z =，称)(22x z x x z ∂∂∂∂=
∂∂，)(22y z
y y z ∂∂∂∂=∂∂为函数的二阶纯偏导数，而称)(),(2x z y y x z y x f xy ∂∂∂∂=∂∂∂=
，)(),(2y
z
x x y z y x f yx ∂∂∂∂=∂∂∂为函数的二阶混合偏导数。

【注】x z
x z x
z ∂∂⋅∂∂≠
∂∂22，x z y z y x z ∂∂⋅∂∂≠∂∂∂2 定理1：若函数)y ,x (f z =的两个混合偏导数在区域D 内连续，则两者相等。

〖证明略〗
【例】：设x
y
y x z =，求22x
z
∂∂，y x z ∂∂∂2。

解：e
y
x x y x
y y x z ln ln +=
=，∴
]ln .[ln ln y x
y x z e y
x x y +=∂∂+。

22x z ∂∂=])ln (.[2
2
ln ln y x y x
y x z e y x x y ++-=∂∂+； )(ln )ln (]11[ln ln 2y
x x y x y y x y x y x z e y
x x y x y ++++=∂∂∂+。

三、综合习题
【94-1】：)y ,x (f z =在点（x 0,y 0）处的偏导数都存在，是)y ,x (f z =在（x 0,y 0）连续的（ ）。

（A ）：充要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）非充分非必要条件。

解：由上面可知，答案是（C ）
【92-1】：⎪⎩
⎪⎨⎧+=0
y x xy
)y ,x (f 2
2，0y x 0y x 2
222=+≠+，在（0，0）处（ ）。

（A ）连续，偏导数存在 （B ）连续，偏导数不存在
（C ）不连续，偏导数存在 （D ）不连续，偏导数不存在 解：由上可知，答案是（C ） 【94-1】y x y x f z e
x
sin ),(-=
=，求
)
1
,2(2π
y
x z ∂∂∂
解：
y
y x y x x z e e x
x 1cos sin .⋅+=∂∂--- )()sin (cos 1)(cos 3222y x y x e y x y e y x y x e y x z x x x -⋅-+-⋅+-⋅-=∂∂∂--- 代入，得
)1
,2(2π
y
x z ∂∂∂=
2
2
e π。

§8.3 全微分
一、内容要点
1． 全微分的定义；
2． 全微分在近似计算中的应用 二、教学要求和注意点
教学要求：
1． 理解全微分的概念， 2． 会求全微分，
3． 了解全微分存在的必要条件和充分条件， 4． 了解全微分形式的不变性，
5． 了解全微分在近似计算中的应用。

教学注意点：
要求学生对全微分的原始定义
)(),(),(0000ρo y B x A y x f y y x x f +∆+∆=-∆+∆+
有很好的理解。

在一元函数中，可导与可微是等价的。

但对多元函数而言，可微一定可导，可导却不一定可微。

另外，还要让学生知道，但对多元函数而言，可微一定连续。

判断全微分存在的充分条件是偏导数连续。

说明：复合函数的求导是微分运算中的最基本的法则，务必熟练应用。

一、概念
定义：设),(y x f z =在P （x ，y ）的某邻域U 内有定义，对
)(),(1P U y y x x P ∈∆+∆+∀，若：
)
(),(),(0000ρO Y B x A y x f y y x x f z +∆+∆=-∆+∆+=∆，其中
2
2)(）
（y x ∆+∆=ρ，A ，B 为与x ∆，y ∆无关的常数，则称),(y x f z =在P （x ，y ）点的全微分存在，或者称其在该点是可全微分的，记其全微分为dz ，且
y B x A dz ∆+∆=。

同一元函数类似，在这里规定，x dx ∆=，y dy ∆=，即：Bdy Adx dz +=。

二、概念的关系
定理1：可微函数一定连续。

（〖注〗：不连续的函数一定不可微。

）
证明：设),(y x f z =在P （x ，y ）处可微分，则：)(ρO Y B x A z +∆+∆=∆ ∴0000))((lim lim 0
00
=+⋅+⋅=+∆+∆=∆→∆→∆→∆→∆B A O y B x A z y x y x ρ
∴),(y x f z =在P （x ，y ）处连续。

定理2：可微函数的偏导数一定存在，且dy z dx z dy y
z
dx x z dz y x +=∂∂+∂∂=
证明：设),(y x f z =在P （x ，y ）处可微分，则，
)
(),(),(0000ρO Y B x A y x f y y x x f z +∆+∆=-∆+∆+=∆，对
)(),(P U y y x x ∈∆+∆+∀，因为A 、B 与x ∆、y ∆无关，所以令0=∆y ，上式
依然成立。

既)(0),(),(x O x A y x f y x x f z ∆++∆=-∆+=∆
∴ x
z
A A x x O A x z x x ∂∂==+=∆∆+=∆∆→∆→∆0)(lim lim
00
同理：令0=∆x ，得到：y
z
B ∂∂=。

∴ dy y
z dx x z dz ∂∂+∂∂=
【注】（1）、讨论函数),(y x f z =在P （x ，y ）处是否可微的方法： 若：2
2
lim
y
x y
z x z z y x y z ∆+∆∆-∆-∆→∆→∆=0，则),(y x f z =在P （x ，y ）处可微分。

否则不可微分。

【例】：讨论⎪⎩
⎪⎨⎧+=0
y x xy
)y ,x (f 2
2，0y x 0y x 2
222=+≠+在（0，0）处是否可微分。

解：由前面可知：)y ,x (f x =)y ,x (f y =0 ∴ 2
2)0,0()0,0(y x y
x y f x f z y x ∆+∆∆∆=
∆-∆-∆
∴ ∞=∆+∆∆∆=∆+∆∆-∆-∆→∆→∆→∆→∆2
3220
02
2
0)
(lim
lim
y x y x y
x y
z x z z y x y x y x ，该极限不存在。

∴ ),(y x f z =在（0，0）处不可微。

（2）、证明函数不可微的一些特殊方法：
1、 函数不连续一定不可微；
2、 如果一个偏导数不存在，则不可微。

上面例题的证明方法2：因为函数在（0，0）点不连续，所以肯定不可微。

定理3：若函数的偏导数连续，则函数可微分。

证明：),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆
),(),(),(),(y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=， 由Lagrange 中值定理：
),(),(y y x f y y x x f ∆+-∆+∆+=x y y x x f x ∆∆+∆+),(1θ ),(),(y x f y y x f -∆+=y y y x f y ∆∆+),(2θ，其中1,021<<θθ ∵ 偏导数连续
∴ ),(),(lim 10
0y x f y y x x f x x y x =∆+∆+→∆→∆θ
),(),(lim 20
0y x f y y x f y x y x =∆+→∆→∆θ，
11),(),(αθ+=∆+∆+y x f y y x x f x x 22),(),(αθ+=∆+y x f y y x f y y
其中，0lim 10
0=→∆→∆αy x ，0lim 20
0=→∆→∆αy x
代入：y x y y x f x y x f z y x ∆+∆+∆+∆=∆21),(),(αα
由于：0lim
2
2
210
0=∆+∆∆+∆→∆→∆y
x y
x y x αα
∴ )(),(),(ρO y y x f x y x f z y x +∆+∆=∆ ∴ 函数可微。

〖综合〗：函数在（x ，y ）点的关系
〖例题〗：1、⎪⎩
⎪⎨⎧++=0
)1sin()(),(2
22
2y x y x y x f ，002
2
22=+≠+y x y x ，在（0，0）点可微，偏导数存在，但是偏导数不连续； 2、33),(y x y x f +=在（0，0）点；
3、⎪⎩
⎪⎨⎧+=0
y x xy
)y ,x (f 2
2，0y x 0y x 2
222=+≠+在（0，0）。

【例】设e y x z 2
2+=，（1）求dz ； （2）求)2,1(|dz
解：x y x e
z y x x 2)(2
12
1222
2⋅+⋅⋅=-+ y y x e
z y x y 2)(2
12
1222
2⋅+⋅⋅=-+ ∴ )()
(2
1
222
2ydy xdx y x e
dz y x +⋅+⋅=-+
∴ )2(5
1
5
)2,1(dy dx dz e +=
【例】求xyz u =的全微分 解：
yz x u =∂∂，xz y u =∂∂，xy z
u
=∂∂ 显然这三个函数在空间中任意一点（x ，
y ，z ）点军连续，∴xyz u =在每一点均可微，其全微分：
xydz xzdy yzdx dz ++=。

§8.4 多元复合函数的求导法则
一、内容要点
1．复合函数的中间变量均为一元函数的情形
设),(v u f z =，)(),(t v t u ψϕ==，则)](),([t t f z ψϕ=，且
dt
dv
v z dt du u z dt dz ∂∂+
∂∂=
2．复合函数的中间变量均为多元函数的情形
设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψϕ==，则)],(),,([y x y x f z ψϕ=，且
x v
v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂ y
v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形
设),(v u f z =，)(),,(y v y x u ψϕ==，则)](),,([y y x f z ψϕ=，且
x u
u z x z ∂∂∂∂=
∂∂ dy
dv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 二、教学要求和注意点
教学要求：
1． 会求复合函数的中间变量均为一元函数的情形
2． 理解并会求复合函数的中间变量均为多元函数的情形
3． 会求复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 教学注意点：
多元复合函数的求导法则实际上是一元复合函数求导法则的推广，都是所谓的链锁法则，要求学生掌握其本质，重点要掌握和理解复合函数的中间变量均为多元函数的情形。

在具体求导时，最好能画出变量之间关系的树形图。

一、全导数
定理1：设)(x u φ=，)(x v ϕ=在点x 处可导，),(v u f z =在x 对应的点（u ，v ）处有连续的偏导数。

则一元函数))(),((x v x u f z =在点x 处可导，称其为全导数。

且
dx dv v z dx du u z dx dz ⋅∂∂+⋅∂∂=或者dx
dv
v f dx du u f dx dz ⋅∂∂+⋅∂∂=……公式（1）。

称公式（1）为全导数公式。

证明：由于),(v u f z =有连续的偏导数，则),(v u f z =可微。

∴ dv v
f
du u f dz ∂∂+∂∂=，又u ，v 关于x 可导。

从而dx x du )(φ'=，dx x dv )(ϕ'=。

代入可得：dx
dv
v f dx du u f dx dz ⋅∂∂+⋅∂∂=。

【例】：（1）、v u y =，x u cos =，x v 2
sin =，求
dx
dy。

解：
1-⋅=∂∂v u v u
y
，u u v y v ln ⋅=∂∂ 且：x dx du sin -=，x x x dx
dv 2sin cos sin 2==
∴ x x x x x dx
dy
x x cos ln )(cos 2sin )(cos sin 22sin cos 3⋅⋅+-=-
二、复合函数微分法
定理2：设函数),(y x u u =， ),(y x v v =，在点（x ，y ）处有偏导数，函数),(v u f z =在其对应的点处有连续的偏导数，则)),(),,((y x v y x u f z =在点（x ，y ）处有对关于x 和y 的偏导数，且有下列公式：
x
v v f x u u f x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y
v v f y u u f y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂……公式（2） 记忆方法：如图
〖注〗：连线相乘，分线相加。

【例】v
u y =，y x u +=2，2
3y x v +=，求
x
z ∂∂ 解： )
2ln()2()2)(3(21
ln 22
2
31
321y x y x y x y x u u vu x
v v z x u u z x z y x y
x v v +++++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+-+-
【注】在实际解题过程中，我们防止出现不便，所以一般习惯有以下记号：
1f u
z
=∂∂，2f v
z
=∂∂，其中1，2是根据题设),(v u f z =中，u 和v 在函数中排在第个来决定，此点务必记清楚。

定理3：设函数),(y x u u =， ),(y x v v =，在点（x ，y ）处有偏导数，函数
),,,(v u y x f z =，则：函数),,,(v u y x f z =在点（x ，y ）处也有偏导数。

且：
14131v f u f f x
v v f x u u f x f x z +⋅+=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ 24231v f u f f y
v v f y u u f y f y z +⋅+=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ 其中：
1f x f =∂∂，3f u f =∂∂，4f v f =∂∂，1u x u =∂∂，1v x
v =∂∂等等。

记忆方法：如图〖法则〗连线相乘，分线相加。

【注】：1、
x
z
∂∂是二元函数)),(),,(,,(y x v y x u y x f z =关于x 的偏导数。

而x f ∂∂是四
元函数),,,(v u y x f 关于x 的偏导数。

【例】：)(z y x F w ++=，),(y x f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,,g f 有连续的导数或者偏导数。

求
dx
dw
解：令z y x u ++=，
dx
dz dx dy dx du ++=1 又因为
)(x dx
dy
ϕ'=，
)(1x y f x f dx dy y f x f dx dz ϕ'∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂= 又：
)]()(1[)()(x y
f
x f x z y x F dx du u F dx dw ϕϕ'∂∂+∂∂+'+⋅++'=⋅'=。

〖注〗上题中的w 函数是一元函数 【例】设),(x y
x f z =，求
x z ∂∂，y
z ∂∂。

解：
221221)(f x
y f x y f f x z -=-+=∂∂ 同理：
21
f x
y z =∂∂。

【例】：),(y x f 连续偏导数，1)1,1()1,1(==x f f ，2)1,1(=y f ，
)),(),,((y x f y x f f z =，
)
1,1(x z
∂∂ 解：令),(y x f u =，),(y x f v = ∴ ),(v u f z =，
x
v v f x u u f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ ),()),(),,((),()),(),,((1211y x f y x f y x f f y x f y x f y x f f += 其中：y x f f f f ==21, ∴
31211)
1,1(=⋅+⋅=∂∂x z
【例】：),(),,,(y x g z z y x f u ==，求y
x u
∂∂∂2
解：
x
z
f f f x z f dx dy f dx dx f x u ∂∂+⋅+⋅=∂∂++=∂∂3
2132101 =131213131]0[][
g f f g g f f dx
dy
y g dx dx x g f f +=⋅++=∂∂+∂∂+
[]232321213121312),,(),,(),,(g f g f g g f f z y x g z y x f z y x f y
y x u +++=+∂∂
=∂∂∂ =312322113212f g f g g f g f +++ 三、全微分不变性（形式）
设),(v u f z =有连续的偏导数，无论u,v 是自变量还是中间变量，都有：
dv v u f du v u f dz v u ),(),(+=
证明：（1）、当u,v 为自变量时：（由定理1显然成立）；
（2）当u,v 为中间变量时：),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===。

⇒ )),(),,((y x v y x u f z = ⇒
dy y
z
dx x z dz ∂∂+∂∂=
∵
x v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，y
v
v f y u u f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂
⇒ dy y
v
v f y u u f dx x v v f x u u f dz }{}{
∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= ][][dy y
v dx x v v f dy y u dx x u u f ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=
又∵dy y u dx x u du ∂∂+∂∂=
，dy y
v dx x v dv ∂∂+∂∂= ∴ dv v u f du v u f dz v u ),(),(+=
【例89-1】：设函数),()2(xy x g y x f z +-=，其中函数)(t f 二阶可导，)
,(v u g 具有二阶偏导数，求y
x z
∂∂∂2。

解：
),(),()2(221xy x yg xy x g y x f x
z
++-'=∂∂ )],(),()2(2[212xy x yg xy x g y x f y
y x z ++-'∂∂
=∂∂∂ ),(),(),()2(222212xy x xyg xy x g xy x xg y x f +++-''-=。

【作业】：设)sin ,2(x y y x f z -=，其中),(v u f 具有二阶偏导数，求y
x z
∂∂∂2。

§8.5 隐函数的微分法
一、内容要点
1．由一个方程0),(=y x F 确定的隐函数的导数
y
x F F dx dy
-=；
由一个方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z z =的偏导数z x F F dx z -=∂，z
y F F y z
-=∂∂ 2．由方程组确定的隐函数的导数
二、教学要求和注意点 教学要求：
1． 会求由一个方程确定的隐函数的导数 2．会求由方程组确定的隐函数的导数 教学注意点：
在计算由方程组确定的隐函数的导数时，要注意区分哪些是自变量，哪些是因变量，一般来说，有多少个方程就可以确定多少个因变量，剩下的全是自变量。

说明：隐函数的求导虽然没有很多难点，但产生错误的几率很大。

主要的原因还是运算规则掌握得不好，最好能记住几个求导的公式。

一 隐函数为一个方程的形式
定理1：设),(y x F 在（x 0,y 0）的某个邻域U 内有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，
0),(00≠y x F y ，则在U 内，方程0),(=y x F 确定了唯一的具有连续的导数的函数
)(x f y =，满足)(00x f y =，且y
x
x F F y -
='。

证明：这里仅仅证明y
x
x F F y -
=。

对函数0),(=y x F ，两边关于x 求导数得：⇒='⋅+0x y x y F F y
x
x F F y -
='。

〖补充〗：如果),(y x F 的二阶偏导数都连续，则2
2dx y d 也存在，并且有：
][][22y x F F dx d
dx
dy dx d dx y d -==，
其中
2
][y
y x x
y y
x F dx dF F dx dF F F F dx d
⋅-⋅
=-，y x xy xx x x F F F F dx y x dF dx dF -⋅+==),(
y
x
yy yx y y F F F F dx
y x dF dx
dF -
⋅+==
),(，且因为),(y x F 的二阶偏导数都连续， ∴ yx xy F F =。

代入，整理可得结果]2[12
23
22yy x xy y x xx y y F F F F F F F F dx y d +--==。

【例】方程0sin 21),(=-
-=y x y y x F ，求dx dy 。

解：显然y x y y x F sin 21),(--=，1),(-=y x F x ，且x y x F y cos 2
1
1),(-=，
在平面上任意一点都连续，且0),(≠y x F y ，因此依据定理1，0),(=y x F 确定了一个定义在实数域R 上的连续可导函数)(x f y =，且有：
x
F F dx dy y x cos 22
-=
-=。

定理2：),,(z y x F 在U(P 0)内有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，
0),,(000≠z y x F z ，则由0),,(=z y x F 确定唯一的有连续偏导数的函数
),(y x f z =，并满足),(000y x f z =。

且z x F F x z -=∂∂，z
y F F y z
-=∂∂。

【例】：3
3
3a xyz z =-，求y
x z
∂∂∂2。

解：令3
33),,(a xyz z z y x F --=
xy z F xz F yz F z y x 33,3,32-=-=-=
∴ xy z yz F F x z z x -=-=∂∂2，xy
z xz
F F y z z y -=-=∂∂2 ∴ 2
222)
()2()()(xy z x y
z z yz xy z y z y
z y
x z --∂∂--⋅∂∂+=
∂∂∂，代入已求量，得 2
222242)
()
2(xy z y z xyz z z y x z ---=∂∂∂。

【例02-4】：设),,(z y x f u =具有连续的二阶偏导数，且),(y x z z =有方程：
z y x ze ye xe =-所确定。

求du
解：令y
x
z
ye xe ze z y x F +-=),,(
则11)()(++=++-=-=∂∂-z x e
ze e xe e F F x z z x z z x x z x 1
1
)
(++-=-=∂∂-z y e F F y z z x y x 则dy y
z
f f dx x z f f du )()(323
1∂∂++∂∂+= 代入：得dy z y e f f dx z x e
f f du z y z x )1
1
()11()(32)
(31++-++++=--。

一、两个方程的方程组
定理3：设),(000y x v v =在P 0(x 0，y 0，u 0，v 0)的某个邻域U 内有连续的偏导数，其中0),,,(),,,(00000000==v u y x G v u y x F ，并且F ，G 的雅可比行列式：
0≠∂∂∂∂∂∂∂∂=v
G v F u G
u
F J ，则方程组：⎩⎨⎧==0
),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定了两个连续的偏导数：),(y x u u =，
),(y x v v =，且),(000y x u u =，),(000y x v v =，其中
x u ∂∂，x
v
∂∂（或者
y v y u ∂∂∂∂,）可由对⎩⎨
⎧==0
G F 两边关于x （或y ）求偏导数后，建立方程组，得出公式：课本P42。

（证明略）。

【例】：设02
2≠+v u ，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+0
02
22
2v u xy uv y x ，求x v x u ∂∂∂∂,。

解：由题目要求可知，u 、v 为x 的函数。

所以就题设两个方程对x 求偏导数得：⎩⎨
⎧=+-=--+0
220
)(2x x x x vv uu y uv v u x ⇒
)(2422v u uy xv u x ++=
，)
(242
2v u yv
xu v x +-=。

〖注〗：从上面的解题过程我们发现，在学习本节内容时，不要求死记公式，一定要
掌握本质内容，这样解题更加得心应手。

【例99-1】：设)(),(x z z x y y ==由方程0),,()(=+=z y x F y x xf z 和所确定，其中F 和f 分别具有一阶的连续导数以及一阶连续的偏导数，求
dx
dz。

解：)(y x xf z +=两边关于x 求导数：
）＋（
x x f x f z dx
dz
y 1'⋅'+='= 对0),,(=z y x F 两边关于x 求偏导数：
0='+'+x z x y x z F y F F
对上面两个方程可以解出x x y z '',得：
z
y x y F f x F F f x F f x f dx dz '+'
-'+=)(。

§8.6 偏导数的几何应用
一、内容要点
1． 空间曲线的切线与法平面 2． 曲面的切平面与法线 二、教学要求和注意点 教学要求：
2． 会求空间曲线的切线与法平面
2．会求曲面的切平面与法线 教学注意点：
在计算空间曲线的切线与法平面时，关键是要求出其切向量；在计算空间曲面的切平面与法线时，关键是要求出其切平面的法向量。

说明1：用位置向量（即向径）表示曲线虽然不属教学大纲的范围，但是运动学中常用的方法，对物理专业的学生特别重要，所以不但要讲而且要讲透。

对位置向量的方向和大小要作出物理解释。

说明2：在计算曲面法线和切平面的时候，一般都直接用偏导数来计算法向量，自然地认为切平面是存在的。

这是因为一般曲面方程都是用初等函数来表示的，而初等函数在它们的定义域内都有连续的偏导数，因此一定可微，既切平面一定存在。

一、空间曲线的切线及法平面。

1， 参数方程形式：
设曲线方程Г：⎪⎩
⎪
⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,且0})(t z ),(t y ),(t x {000≠'''
求Г在P 0{x(t 0),y(t 0),z(t 0)}的切线及法平面（与切线垂直切过P 0的平面称为Г在P 0 点的法平面）
解：求割线 P 0P 的方程。

P 0(x 0,y 0,z 0),设t 对应的增量∆x,∆y,∆z. 且P(x 0+x,y 0+y,z 0+z) ∴ P 0P 的方程：
x x x ∆-0=y y y ∆-0=
z
z z ∆-0
分子分别乘以∆t ，则
t
x x x ∆∆-0=t y y y ∆∆-0=t z
z z ∆∆-0
令0→∆t 得：
)('00t x x x -=)('00t y y y -=)
('00t z z z - —— 切线方程 称{ x ´(t 0),y ´(t 0),z ´(t 0 ) }
∆为Г在对应点的切向量。

注：求出切向量即可由点向式方程求出切线方程，再由S 为法平面的法向量写出法平面方程（点法式）
Г的法平面：x ´(t 0)(x-x 0)+y ´(t 0)(y-y 0)+z ´(t 0 )(z-z 0)=0
【例】：求⎪⎩⎪⎨⎧===t
c z t t b y t a x 2
2cos cos sin sin 在t=4π
处的切线及法平面
解：切点：P 0=(2a ,2b ,2
c
),切向量S ={a,0,-c}.
∴切线方程：a a x 2-=02b y -=c c z --2 法平面：a(x-2a )-c(z-2c
)=0
【例】 (92-I),曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==32t z t y t x 的所有切线中，与平面π：x+2y+z=4平行的切线有（ ）
（A ）不存在 （B ）只有一条 (C)只有二条 (D)三条
解：切向量S ＝)}(),(),({t z t y t x '''＝{１，-2t,32
t } ∵ S
//π ∴ S n ⊥
∴ 1+2(-2t)+32
t =0 ⇒t=1或t=3
1。

∴ 满足条件的为二条
2、(一般曲线方程)，柱面交线Г：⎩
⎨⎧==)()
(x z z x y y 0)}(),({00≠''x z x y ,求它在x 0对应点的切线
及法平面。

解：Г：: ⎪⎩
⎪
⎨⎧===x x x z z x y y )()
(切向量S ＝)}(),(,1{00x z x y ''
∴ 切线方程：
1
x x -＝)(x y'00y y -＝)('00x z z z - 法线方程：（x-x 0）+)(0x y '(y -y(x 0))+ )(0x z ' (z-z(x 0))=0
3、一般方程Г：⎩
⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，J=),()
,(z y G F ∂∂0≠=
z y z y G G F F 。

则：y=y(x), z=z(x)，则切向量：},,1{x x z y S ''=
其中)(),(x z x y x x '' 可由方程两边对x 求导，解出y ´（x ）,z ´（x ）即可。

【例】:求⎩⎨⎧=+-=++4
5323222z y x z y x 在（1，1，1）处的切线及法平面方程。

解：对方程两边求导得：⎩
⎨⎧=+-=++05'323
'2'22z y zz yy x 代入：（1，1，1）得到：
⎩⎨
⎧-=+-=+2
'5'31'2'2x x x x z y z y 解之得：16
1)1(',169)1('-==
z y }16
1
,169,1{-=S 且可取切向量为：S ={ 16,9,-1}
∴ 切线方程：1
1
91161--=
-=-z y x ∴ 法平面方程：16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0
二、曲面的切平面及法线
若曲面∑上过P 0点的所有切线都在同一个平面上，则称该平面为曲线在P 0点的切平面，切平面的法向量称为曲面∑在P 0点的法向量，称垂直于切平面且过P 0点线为曲面∑在P 0点法线。

1.一般方程：F （x,y,z ）=0
设F （x ，y ，z ）=0在P 0(x 0,y 0,z 0)处有连续导数且0)}(),(),({000≠P F P F P F z y x ， 则曲线∑=F(x ，y ，z)=0在P 0的法向量为：n
=)}(),(),({000P F P F P F z y x 解：设Γ：⎩⎨
⎧==)
()
(t y y t x x 为过向量P 0点且在∑上的任意一条曲线，则Γ在P 0点的法向量为：
s
={x '(t 0)，y '(t 0)，z '(t 0)}。

又因为Γ在∑上。

∴F （x(t)，y(t)，z(t)）=0两边对t 求导有：
x F ·x '(t)+ y F ·y '(t)+ z F ·z '(t)=0
令t=t 0得
)()()()()()(000000t z P F t y P F t x P F z y x '⋅+'⋅+'⋅⇒0)}(),(),({000=⋅S P F P F P F x x x
取n
=)}(),(),({000P F P F P F z y x
∴任一曲线的切向量s 都垂直于固定向量n
，且在同一平面上。

∴n
为∑在P 0点法线
∴切平面方程：0)()()(000=-⋅+-⋅+-⋅z z F y y F x x F z y x 法线：
)(0o x P F x x -=)(00
P F y y y -=)
(00P F z z z -
2.显函数的曲面：z=f(x ，y)，(x f ，y f 连续且不同时为0)则法向量n
={-x f ，-y f ，1}或{x f ，
y f ，-1}
注：取0n
={-n
f
x ，-n
f y ，n
1}∆}cos ,cos ,{cos γβα称γβαcos ,cos ,cos 为n
的方向余
弦。

且0n
的方向向上。

即0cos >γ
【例】：①(94-I)求曲面32=+-xy e z z
在点（1，2，0）的切平面方程。

②（00-I ）求曲面x 2
+2y 2
+3z 2
=21在点（1，-2，2）的法线方程.
解：①令F （x ，y ，z ）=32-+-xy e z z ，则n =（2y ，2x ，z
e -1）代入（1，2，0），n
={4，
2，0}切平面：4(x-1)+2(y-2)=0，即2x+y-4=0。

②令F （x ，y ，z ）=21322
22-++z y x ，则n
=)2,2,1(6z}4y {2x -⌝⌝={2，-8，12}又可取
n={1，-4，6}得： 法线：
11-x =4
2-+y =62
-z 【例】：(03-I)求曲面z=x 2
+y 2
与平行于x-y+2z=0的切平面方程
解：令F （x ，y ，z ）=2z -y x +，⇒n
={2x 0，2y 0，-1}
220x =420y =1
1--⇒x 0 =1，y 0=2。

∴ n
={2,4,-1}，z 0=5。

P 0(1，2，5) ∴ 切平面方程：2x+2y-z=0
§8.7 多元函数极值
一、内容要点
1． 多元函数的极值及最大值、最小值 2． 条件极值 Lagrange 乘数法 二、教学要求和注意点
教学要求：
1． 理解多元函数极值和条件极值的概念， 2． 掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元
函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

3． 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

教学注意点：
实际问题一般总要受到多个因素的制约，因此有必要研究多元函数的极值与最值问题。

最值点可能在区域的内部，也可能在区域的边界上，因此，求函数的最值时，要求出它在区域内部的所有极值以及在边界上的最值，再加以比较，从中找出函数在整个区域上的最值；研究条件极值的基本方法是将条件极值转化为无条件极值，即所谓的Lagrange 乘数法。

说明1：多元函数的极值从定义的角度来比较与一元函数的情形没有区别，但在确定极值点的过程中，需要考虑得更多一点，因为在这里自变量变化的范围是多维的。

说明2：极值的充分条件可以通过下一节的泰勒公式来说明。

说明3：关于条件极值只强调方法和计算过程。

一、无条件极值
1、在上学期已知：讨论一元函数极值时：极值点−−
→←不等
驻点 极值点可能是导数为0的点或导数不存在的点，∴极值点−−→−不等
驻点，驻点
−−→−不等极值点，y=x 3在x=0点为驻点但非极值点。

2、二元函数极值（推广）：
若对∀P ∈U （P o ）。

都有f （P ）<f （P o ）则称f （P o ）为f 的一个极小值。

Po 为极小值点，极小值和极大值统称为极值点。

定理1：（必要条件）设z=f （x ，y ）的偏导数存在，（x 0，y 0）为f （x ，y ）的极值点，则
x f （x 0，y 0）=y f （x 0，y 0）=的点为f （x 0，y 0）的驻点。

证明：不妨设（x 0，y 0）为极大值，即∀（x ，y ）∈U （P o ）都有f （x ，y ）<f （x 0，y 0），
对于y=y 0，x ≠x0，则f （x ，y 0）<f （x 0，y 0），即f （x 0，y 0）是一元可导函数f （x ，y 0）的极大值点，从而x f （x 0，y 0）=0。

同理：f （x 0，y 0）=0。

【注】：极值点−−
→←不等
驻点 〖反例〗：（1）f （x ，y ）=xy ，（0，0）是其驻点，但非其极值点。

（2）极值点可能是驻点，也可能是偏导数不存在的点。