分数次偏积分微分方程配置方法及紧差分方法

分数次偏积分微分方程配置方法及紧差分方法分数次微积分方程在模拟许多复杂的实际现象中已经变得越来越重要,例如物理,化学,生物,金融,材料力学,环境科学等.因为这类方程常常带有弱奇异项,所以不能明确求得这类方程的解析解.这就促使我们想找到最佳的数值方法对这类方程进行数值逼近.本文主要采用正交样条配置方法,拟小波配置方法及紧差分方法分别对三种不同的分数次方程进行数值求解.首先是采用正交样条配置方法解时间分数次子扩散方程.其次是采用拟小波配置方法解空间变分数次对流扩散方程.最后采用紧差分方法解分数次发展型方程.本文主要分为五个章节.第一章主要介绍一些特殊的函数以及分数次方程的一些基本定义和性质.第二三四章是本论文的主要内容.正交样条的优点就是概念简单,广泛的适用性以及算法容易实现.另外一个优点就是它的超收敛性.在第二章中首次用正交样条配置方法研究二维的多个扩散项的时间分数阶子扩散方程的数值解.时间方向采用有限差分法,空间方向使用正交样条配置方法,得到全离散格式.然后给出了全离散格式的稳定性和误差估计的分析.最后用数值结果验证了理论分析的收敛阶和所给数值格式的有效性.我们知道小波函数是一种具有良好局域性特点的有限能量函数,小波方法能够很好的分析函数的局域性特征.在第三章中我们采用了拟小波配置方法解半线性空间变分数次对流扩散方程,空间方向采用拟小波配置方法,时间方向使用向后欧拉格式,积分项采用复合梯形公式进行逼近.给出了全离散的数值格式.为了延长计算的时间,我们对积分项中的空间一阶导数用拟小波配置方法再次进行数值逼近,构造了另外一种数值格式,我们定义为双拟小波数值方法,时间方向仍采用向后欧拉格式,并且也给出了双拟小波配置方法全离散的数值格式.我们给出了数值例子,数值结果证明了所给数值方法的有效性.交替方向隐式
法是一类计算高维偏微分方程的有效数值方法,它能够把多维问题降维,分解成连续解几个一维问题.紧差分格式利用网格内部的节点构造,既不破坏格式的结构,又能够保证未知函数的系数矩阵为三对角矩阵的特点.并且空间收敛阶是四阶.第四章采用了交替方向(ADI)紧致差分方法解二维分数次发展型方程.时间方向采用交替方向的Crank-Nicolson格式,空间方向采用紧差分格式,积分项用二阶卷积求积公式进行逼近.对交替方向紧致差分格式的稳定性和收敛性进行了严格的证明,数值例子证明了数值方法的有效性.。