控制工程基础第九章控制系统非线性问题精品PPT课件

当短倾线倾角为45°时，其斜率k为1, 有
x2
x1
该0式.2表1示x12的曲1 线上的每一点斜率均为1。
如上可做其它斜率的倾线，形成如下图
的斜率分布场。画每根相轨迹时，先找
式中，
n1
2
An
1
ytconstdt
0
2
B n
1
y t sin n td t
0
Yn
A
2 n
B
2 n
n arctan
An Bn
如果非线性环节输出的直流分量等于零， 即 A0 0 ，则
y t A1 cos t B 1 sin t Y1 sin t 1
其描述函数为
x1 x2
x2 0.2x121x2x1
因此
d d 1 2 x x 0 .2 x 1 2 x 2 1 x 2 x 1 0 .2 x 1 2 1 x x 1 2
即
k0.2x12
1x1 x2
所以
x2
x1
0.21x12
k
当短倾线倾角为0°时，其斜率k为0，有
x2 该0式.21表x1 示x12的曲线上的每一点斜率均为0。
X Xoijj 1NNG jG j
9.3 相轨迹法
9.3.1 相轨迹的作图法 9.3.2 奇点 9.3.3 非线性系统的相平面分析
9.3.1 相轨迹的作图法
二阶系统状态空间方程为
dx 1
dt dx 2
dt
f1x1, x2 f2 x1, x2
（1）
将式（1）的两式相除，得 解式（2）可得
（3）自持振荡的相轨迹是封闭曲线。
（4）相轨迹若穿过x轴，必然垂直穿过。
在作相轨迹时，考虑对称性往往能使作图简
化。设方程为 xfx,x 0
当 fx,x fx, x 时，相平面图对称于x轴。
当 fx ,x f x ,x 时，相平面图对称于 x 轴。
2．等倾线法
所谓等倾线是指相平面内对应相轨迹上具 有等斜率点的线。设斜率为k，则
k dx 2 dx 1 相应于不同的k值画不同的等倾线， 则可得到相轨迹切线的方向场。我们 从过初始点的短倾线开始画，连接邻 近的短倾线，依次往后连接，即组成 相轨迹图。显然，等倾线的间隔越密 集，相轨迹的精度越高。
例 非线性方程 x 0 .2 x 2 1 x x 0
设斜率为k，令 x1x, x2x ，则
dx2 dx1
f2x1,x2 f1x1,x2
x2gx1
（2）
以 x1 为横坐标，以 x 2 为纵坐标，便构成分
析系统的相平面。
1．解析法
例 单位质量的自由落体运动。 当忽略大气影响时，单位质量的自由落体运 动方程为 xg
x d xdxd xx dx
dt dx dt dx
所以 x dx g
dx
即 xdx gdx 两边积分，得 x2 2gxC （C为常数）
1．线性化近似方法 2．逐段线性近似法 3．描述函数法 4．相平面法 5．李雅普诺夫方法 6．微分几何和微分代数方法 7．计算机仿真
9.2 描述函数法
9.2.1 定义 9.2.2 饱和放大器 9.2.3 两位置继电特性 9.2.4 死区 9.2.5 三位置继电特性 9.2.6 间隙 9.2.7 利用描述函数法分析非线 性系统稳定性
9.2.1 定义
其输出用基波近似，定义描述函数为
N
ˆ
Y1 X
1
式中，N —— 描述函数； X —— 正弦输入的振幅；
Y 1 —— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
1 —— 输出的傅氏级数基波分量相对正弦
输入的相位移。
设非线性环节的正弦输入为 xtXsi nt
则输出为
ytA0 Ancon stBnsinnt
1
s
2
s
X
1
s X
2
2kX
arcsin
s
s
1
s
2
XX
X
N
Y1 X
1
B1 0 X
2k
arcsin
s
s
XX
1
s
2
X
N
2karcX ssinX s
k
1s2 当 Xs
X
当 Xs
饱和环节
1 N
轨迹
9.2.3 两位置继电特性
两位置继电器可以认为是一种特殊的饱和环节，即
N
Y1 X
1
A
2 1
பைடு நூலகம்
B
2 1
arctan
A1
X
B1
9.2.2 饱和放大器
设 xtXsi nt
当 x s 时， ytkX sin t 当 x s 时， ytks
因为输出为奇函数，所以将y（t）展开成傅氏级数 时，有
An 0
取傅氏级数的基波，得
y1tB 1si n t
式中，
B1
1
2 yts intdt
s 0 , k , k sM
借助饱和环节的描述函数N，可走捷径写出两位置 继电器的描述函数.
N
2k
arcsin
s
s
XX
1
s X
2
2k
s X
s X
4M
X
9.2.4 死区
N k2karcX sinX
1X 2
0
X X
9.2.5 三位置继电特性
N
4M
X
0
12 X
X X
0
4 / 4ytsintdt 0
B1
4
sin 1 s X
0
kX sin t sin td t
/2 sin 1 s
X
ks sin td t
4k
sin 1 s X
0
X
1
cos2t d t
2
s
/2 sin 1
s
X
sin td t
4k
X
arcsin
s
s
2
X2
以x(即 x1）为横坐标，以 x 即( x 2 ）为纵坐
标作相平面图，如下图所示。
相平面图的一些性质
（1）当选择x作为横坐标，x 作为纵 坐标时，在上半平面，由于x的变化率 >0,x增加，相轨迹向右移动，箭头向 右；在下半平面，由于x的变化率<0,x 减小，相轨迹向左移动，箭头向左。
（2）相轨迹的各条曲线均不相交，过 平面的每一点只有一条轨迹。
9.2.6 间隙
N
Y1 X
1
A12 B12 arctanA1
X
B1
N
2h
X
2h X
22
1
2
arcsinX X
h
3X X
7h
2h X
h X
2
2
H H 2
N arctan
X
X arcsinX h 3X 7h
2
X
X
2h
h
2
X X
9.2.7 利用描述函数法分 析非线性系统稳定性
控制理论基础
(
2010年
控制系统的非线性问题
9.1 概述 9.2 描述函数法 9.3 相轨迹法 9.4 李雅普诺夫稳定性方法
9.1 概述
9.1.1 典型的非线性类型 9.1.2 分析非线性系统的方法
9.1.1 典型的非线性类型
1．饱和
2．间隙
3．死区
4．继电特性
5．库伦摩擦力
9.1.2 分析非线性系统的方法