结构力学 位移法典型方程、计算举例

R1P
R2P
MP图
问题是这不是原结构的弯矩图
附加刚臂后结构在荷载作用下的约束力为 R1P、R2P 。若令 R1= - R1P、R2= - R2P ，则：原结构内力是下列两图的叠加: P
qL2/12 PL/8
q
R1P
R2P +
R1
R2
MP图
叠加后 A， B是确定的
A
B
叠加后内力是确定的
变形图
2、力的的叠加
r21θ r22Δ R 2 P 0
r22∆
M1
r11 r12 R1P 0
3i ∆ /L
M2
6i ∆ /L
例题2 求作弯矩图，EI=常数，各杆长L=6m A B C 19 kN
D
E
变形图 19 kN
解：1. 位移法变量：θ B，Δ AH 2.附加约束作MP图，
R2P
如果先作 A 1 图 及 B 1 图 ，则，弯矩图的作法为：
4i
2i
4i
r21 2i
M 1图
r11 8i
2i
4i r22 11i 2i r12 2i 3i
2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
5）最终弯矩图的作法 P
qL2/12
PL/8
q
r11 A r12 B R1 r21 A r22 B R2
即， r11 A r12 B R1P 0
r21 A r22 B R2 P 0
4）R1，R2作用下弯矩图的具体作法
问题：rij的物理意义？
你能验算吗 ？
例题1
16
8
4）位移法方程
r11 C r12 CH R1P 0 r21 C r22 CH R2 P 0
MP
3i 4i
40 64 C CH 23i 23i
5）作M图
M1
3i/L
M2
6i/L
M M P M1 C M 2 CH
先解决 R1P，R2P P
qL2/12 PL/8
A
R1P
qL2/12
- PL/8
q
R1P
R2P
MP图
求出附加刚臂的约束力矩
PL/8
B
0
R2P
0
qL2 PL R1P 12 8
R2 P
PL 8
以下寻求R1R2分别作用在结点A,B时结构的弯矩图 作法
3）如何作R1，R2作用下得弯矩图？ 如果同时作用R1= - R1P、R2= - R2P R1 R2
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
B
C
D
16 kNm
E
8 kNm
0
R2P=0
R2P=0 R1P=8 kNm
VBD
VCE
MP
结点弯矩为什么逆时针画
剪力为什么总是顺时针画
例题1
计算举例
16kNm 16kNm 16kNm
说明：BC杆受两个荷载作用：均布荷载及集中力偶矩，
其弯矩图作法如下：
B C
均布荷载作用
B
B端力矩作用
C
8kNm
叠加即得BC杆的弯矩图。 BD 杆及 CE 杆没有弯矩是因为它没有杆端转角、没有杆端相对 侧移、没有荷载。 BD、CE杆没有杆端剪力，故，取BC杆水平方向力的平衡可得 R2P=0
5. 作M图
6 B i
AH
60 i
18 36 18
M M P M1 B M 2 AH
48
30
例题3
计算举例
G
qL/2 qL2/8
例3．求作弯矩图，EI=常数。 q qL
L F
q C qL
L
等效结构 D L/2 L E L
例题3
计算举例
解：1. 位移法变量：θ B，Δ CH
四、位移法的典型方程
一般地，设结构有 n 个位移法变量 Z 1 , Z 2 , , Z n ，需附加 n 个约束（刚臂或支杆）作出 MP 图。然后，使第 i 个变量有单位的位移（其它变量仍被约束） ，作出 M i 图， i 1, 2, , n 。由 叠加原理，当 n 个变量都产生各自实际的位移（角度或侧移）时，在第 i 个变量处产生的力为：
r11 A
r21 A
在A处的约束力：r11 A r12 B 在B处的约束力：r21 A r22 B
满足A、B处的转角为 A , B ，则 2个附加刚臂约束力矩分别为R1，R2
r12 B
r22 B
r11 A r12 B
r21 A r22 B
这就是位移法的典型方程。
五、位移法的计步骤
1. 确定位移法变量
2. 作MP图，求出R1P、R2P
3.作M1、M 2图，求r11，r21，r12，r22
4.写出位移法方程, 并求解
r11 Z1 r12 Z 2 R1P 0 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
B R 1P E MP图
R2P
附加支杆
R1P 0, R2 P P
D
0 0
0 R1P
P VAD
R1P VBE
求R2P的研究对象
R2P
求R1P的研究对象
P
A
B
C
D P A B
E R2P R1 R2
R1P E
=
D MP图
+
叠加过程就是消去附加约束的过程
3）如何消去两个约束？ 如果同时作用R1= - R1P、R2= - R2P
问题：求rij的物理意义？
三、小结
超静定结构
等价
确定位移法变量
附加刚臂和支杆约束 各杆弯矩不相互传递 作各杆在各自荷载 作用下得弯矩图 确定约束力RiP
刚结点转角，结点线位移 结点没有位移发生
“复原过程”
M P图 叠 加 后 约 束 消 除
“修改过程”
在结点处反作用约束力 RiP Mi 图 分别作结构在-RiP作用下 的弯矩图，i=1,2,…
R2
显然R1与R2相互影响，不清楚各杆 端的转动情况。
办法是： 逐次达到R1、R2 10 在C处附加支杆，在B结点上 作用力矩,使B转角 B ，如图
R1
r11 B
r21 B
r22 CH
20 在B处附加刚臂，在C结点上作 用力使C处产生位移 CH ，如图。
r12 CH
R1
也就是，
P
R1P R2P + MP图
r12 CH r22 CH r11 C r21 C
+
先作B=1及CH=1时的弯矩图
3i 4i 3i r11 2i
M 1图
6i/L
r21
r22
r12
M 2图
3i/L
6i/L
5）作M图的叠加公式
M M P M1 B M 2 CH
5.依M M P M1 Z1 M 2 Z 2作出弯矩图
六、位移法计算应注意的问题
1. 位移法过程中，判断一个杆件有无弯矩的方法是： 1）该杆有无杆端转角 2）该杆有无杆端相对侧移 3）该杆上有无荷载作用 2. 各图中R1P，r11，r12 的方向应保持一致画出
R2P，r21，r22的方向应保持一致画出
2.78
2.09
0.70
位移法原理


R2P=0 R1P=8 kNm
0
0
MP r21θ 4i θ 3i θ r11 θ 2i θ r12 ∆ 6i ∆ /L
0
1、位移的叠加
r22∆
M1
0

3i ∆ /L
M2
6i ∆ /L
位移法原理


R2P=0 R1P=8 kNm
MP r21θ 4i θ 3i θ r11 θ 2i θ r12 ∆ 6i ∆ /L
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
r11 B
r21 B
r22 CH
即：
r11 B r12 CH R1
r21 B r22 CH
二、有侧移刚架的弯矩图作法
P A θB B C ΔCH
D
E
变形图
解：1）位移法变量：θ
B
，Δ CH ，画出变形图。
2）为使结构各杆在荷载作用下的弯矩不相互传递， 需施加两种约束。
附加刚臂 和 附加支杆 然后作出MP图。由于荷载作用 在水平杆的轴线上且不计轴向 变形，故，弯矩图为零。 P A
附加刚臂
显然R1与R2相互影响，不清楚各杆端 的转动量值大小。
*办法是：逐次达到R1、R2 10 在B处附加刚臂，在A结点上施 加力矩,使A结点转角 A ，如图。
r11 A
r21 A
20 在A处附加刚臂，在B结点上施 加力矩,使B结点转角 B ，如图。
r12 B
r22 B
显然，在A处作用力矩在B处也产生约 束力矩，反之, 在B处作用力矩,在A处也产生约束力矩 叠加右侧2个图，意味着结点A，B同时转动 那么，两次施加的力矩共ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作用时：
VBD
VCE
例题2
计算举例
4.写出位移法方程, 并求解
r11 Z1 r12 Z 2 R1P 0 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
10i B i AH 0 i 5i 19 0 B AH 12
3. r11，r22 均为大于零的值，即施加的单位力与发 生位移的方向协调一致。
七、计算举例
例题1 8 kN/m A B C 4m
16 kNm 16 kN
2m
D
4m
E 等效体系及变形图
EI=常数
例题1
16 kN
解：1）位移法变量：θ C和Δ CH
2）附加约束作MP图，并 求R1P ，R2P
8 kNm R1P=8 kNm 16 kNm
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 B r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
位移法的典型方程
一、无侧移刚架的计算 P B A q D E L/2 L/2 L C L EI= 常数
A
B
1、结构在荷载作用下的位移和变形是唯一确定的，特别的 A， B是唯一确定的；
2、结构内力是位移确定的。
求解思路
“先修改，后复原”
1）位移法变量
A , B
2）附加2个刚臂，使结点不能转动----各杆弯矩不能相互传递 PL/8 qL2/12
并求R1P，R2P
R1P=0 ，R2P= –19 kN
R1P
例题2
计算举例
3i 6i/L r11 2i r22
M2
3.作M1、M 2图，求r11，r21，r12，r22
r21
M1
4i
3i
r12 6i/L 3i/L
分别取结点B的弯矩平衡，得：r11=10i ，r12= –6i/L 分别取横梁为研究对象，得：r21= –6i/L，r22=15i/L2 r21，r22
例题1
计算举例
3)作M1图及M 2图，并求rij , i, j 1,2
掌握变形图，有助于画出弯矩图
r22 B r11
r21 B 4i
3i r11
r22 C
6i/L r12
M1
2i
3i/L
M2
6i/L
取结点C为研究对象： r11 7i, r12 6i / L 取BC杆为研究对象： r21 6i / L, r22 15i / L2
2.附加约束（刚臂和支杆）作MP图，并求R1P、R2P
qL2/8
R1P= qL2/16 R2P= – qL
qL2/8
qL2/16
C R1P MP图
R2P
3.作M1、M 2图，求r11，r21，r12，r22
掌握变形图，有助于画出弯矩图
r21 r22 r11 r12
2i
6i/L 4i 3i r11 2i 3i/L 6i/L r21 6i/L r12 r22