全称量词和存在量词

既是全称命题又是真命题的是________，既是特
称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求
的序号)．
解析：①是全称命题，是真命题；
②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即：
任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在
量词“有的”，是特称命题，是真命题；⑤是特称
命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为
x
)
B．∀x∈N，x≥1 D．∃x∈Q， x∉Q
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1.
故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到
这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；
④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；
⑥存在三角形其内角和大于180°.
2．既是特称命题，又是真命题的是( A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个 x∈ R，使 x2≤ 0 C．两个无理数的和是无理数 1 D．存在一个负数 x，使 >2 x
解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.
)
答案：B
3．下列命题是假命题的是( A．∀x∈R,3 >0 C．∃x∈Z，x<1
出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
[解 ]
(1)依题意可得以下几种不同的表述：
对所有的四边形x，x的内角和为360°； 对一切四边形x，x的内角和为360°； 每一个四边形x的内角和为360°； 任一个四边形x的内角和为360°； 凡是四边形x，它的内角和为360°.
(2)依题意可得以下几种不同的表述： 存在实数 x0，使
成立，求实数a的取值范围．
[解]
(1) 由已知等式 f(x ＋ y) － f(y) ＝ (x ＋ 2y ＋ 1)· x，
令x＝1， y＝0，得 f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以 f(0)＝－2.
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x
＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
③由于－ 1∈ Z，当 x＝－ 1 时， x3<1 成立．
3 所以命题“∃ x0∈ Z， x0<1”是真命题．
④由于使 x2＝3 成立的数只有 ± 3， 而它们都不是有理数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3.
2 所以命题“∃ x0∈ Q， x0＝ 3”是假命题．
[答案]
①③
跟踪练习
1. 判断下列命题的真假． (1)∀x∈{1,3,5},3x＋1 是偶数；
跟踪练习
1. 指出下列命题是全称命题，还是特称命题，
并判断它们的真假．
(1)对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立．
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被
5整除．
(3)对数函数都是单调函数．
(4)∀x∈R，x2－3x＋2＝0.
解： (1) 全称命题，因为 x ＝ 0 时， x2 ＋ x ＋ 1 ＝1≠0，故是假命题． (2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整
(2)两个有理数之间，都有一个有理数； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.
解：(1)一切n边形的内角和都等于(n-2)×180°； (2)任意两个有理数之间，都有一个有理数； (3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.
例题讲解
类型三、全称命题与特称命题的真假判断 [例 3] 给出下列四个命题．
2 ∴x0 －x0＋1＝0 无解，∴是假命题．
(4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
例题讲解
类型四、全称命题与特称命题的应用
[例4]
函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)
－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)的值；
(2)在(0,4)上存在实数x0，使得f(x0)＋6＝ax0
任意三角形内角和为180°.
答案：①②③
④⑤
5．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并
判断真假：
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立； (3)勾股定理．
解： (1) 是全称命题，隐藏了全称量词“所有
的”．∀x∈R，x2≥0.是真命题．
(2)∃x∈R，y∈R,2x－y＋1<0，是真命题．
2.特称命题的否定：
一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，
有下面的结论：特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的
否定綈p：∀x∈M， ¬ p(x)．特称命题的否定是全称
命题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的
否定为“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中， 把存在量词“存在一个”变为全称量词“对所有 的”．
对省略量词的命题怎样否定？ 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全 称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称 命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命 题．如：|x|≥0，实际上是指：∀x∈R，|x|≥0 其否定为：∃x∈R，|x|<0
概念理解
1．命题：“∀x∈R，都有 x2－x＋1>0”的否定 是( ) A．∀x∈R，都有 x2－x＋1≤0 B．∃x0∈R，使 x2 0－x0＋1>0 C．∃x0∈R，使 x2 0－x0＋1≤0 D．以上均不正确
如何判断特称命题的真假呢？ 提示：要判定特称命题“∃ x0∈M，p(x0)”是真命题， 只需在集合 M 中找到一个元素 x0，使 p(x0)成立即可；如 果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个 特称命题是假命题．
概念理解
1．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是( )
A．真命题
x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，
求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只
需m>－4即可．
故存在实数 m ，使不等式 m ＋ f(x)>0 对于任意
属于 M ，有 p(x) 成立”．其中 M 为给定的集合， p(x) 是
一个关于x的命题．
如何判断全称命题的真假呢？ 提示：要判定全称命题“∀ x∈M，p(x)”是真命题， 需要对集合 M 中每一个元素 x，证明 p(x)成立；如果在 集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么这 个全称命题就是假命题．
B．全称命题
C．特称命题 D．不含量词的命题
解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．
答案：B
常见的全称量词有：“所有的”“任意一
个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”
等．
常见的存在量词有：“存在一个”“至少有
一个”“有些”“有一个”“某个”“有的” 命题 全称命题“∀x∈A，p(x)” 特称命题“∃x∈A，p(x)”
1.4 全称量 词和存在量词
一、 全称量 词和存在量词
新课讲解
1．全称量词和全称命题
(1)全称量词： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常 叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)全称命题：
①定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题．
②一般形式：全称命题“对 M中任意一个x，有p(x)
成立”可用符号简记为 ∀ x∈M ， p(x) ，读作“对任意 x
答案：C
2．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(
)
A．不存在x0∈R,2x0>0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x>0 解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题． 答案：D
3 ． (2010· 安徽高考 ) 命题“存在 x∈R ，使得 x2 ＋2x＋5＝0”的否定是________． 答案：对于任意的x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
2 (2)∃x0∈R，x0－6x0－5＝0；
(3)∃x0∈R，x2 0－x0＋1＝0； (4)∀x∈R，|x＋1|>0.
解：(1)∵3× 1＋1＝4,3× 3＋1＝10,5× 3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x2 0－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x2 0－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0，
新课讲解
1．全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定， 有下面的结论：全称命题 p ： ∀x∈M， p(x)，它的否 定 綈 p ： ∃ x0∈M ， ¬ p(x0) ．全称命题的否定是特称 命题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为 “至少存在一个正方形不是矩形”．其中，把全称 量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”．
2．存在量词和特称命题
(1)存在量词：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通
常叫做存在量词，并且符号“∃”表示．
(2)特称命题： ①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题． ②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使 p(x0) 成立”可用符号简记为 ∃ x0∈M ， p(x0) ，读作 “存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
等．
①所有的x∈A，p(x)成立 表述方 法 ②对一切x∈A，p(x)成立 ③对每一个x∈A，p(x)成立 ①存在x∈A，使p(x)成立 ②至少有一个x∈A，使p(x)成立 ③对有些x∈A，使p(x)成立
④任选一个x∈A，使p(x)成立
⑤凡x∈A，都有p(x)成立
④对某个x∈A，使p(x)成立
⑤有一个x∈A，使p(x)成立.
①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1；
3 ③∃x0∈Z，x0 <1； 2 ④∃x0∈Q，x0 ＝3.
其中是真命题的是 ________(把所有真命题的序号 都填上)．
[解析]
①由于∀x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.
所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． ②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立． 所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
2 x0＝x0 成立； 2 x0＝x0 成立；
至少有一个 x0∈R，使
对有些实数 x0，使 x2 0＝x0 成立； 至少有一个 x0∈R，使 x2 0＝x0 成立； 对某一个 x0∈R，使
2 x0＝x0 成立．
跟踪练习
1. 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)n边形的内角和等于(n－2)×180°；
如x＝0，y＝2时：2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0
成立．
(3) 这是全称命题，所有直角三角形都满足勾
股定理．
即 ∀ Rt△ABC ， a ， b 为直角边长， c 为斜边长，
a2＋b2＝c2.是真命题．
例题讲解
类型一、全称命题与特称命题的判定 [例 1] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，
∴要使在(0,4)上存在 x0 使 f(x0)＋6＝ax0 成立，只 4 4 需在(0,4)存在 x0 使 a＝x0＋ ＋1.而 x＋x＋1≥4＋1＝5， x0 等号当且仅当 x＝2 时成立． 故所求的取值范围 a≥5.
跟踪练习
1. 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数 m，使不等式 m＋ f(x)>0对于任意
并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； 1 (2)存在一个 x0∈R，使 ＝0； x0－1 (3)存在一组 m、n 的值，使 m－n＝1； (4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}．
[解]
(1)是全称命题． 因为∀ x∈N,2x＋1 都是奇数，
所以该命题是真命题． 1 (2)是特称命题．因为不存在 x0∈R，使 ＝0 成 x0 － 1 立，所以该命题是假命题． (3)是特称命题．当 m＝4，n＝3 时，使 m－n＝1 成 立，所以该命题是真命题． (4)是特称命题．存在 A＝{3}，使 A {1,2,3}成立， 所以该命题是真命题．
除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x
＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述
[例 2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角
和 为 360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题
“∀x∈S，p(x)”．
(2) 设 q(x) ： x2 ＝ x ，试用不同的表达方法写
x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个
实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
二、 含有一 个量词的命题 的否定