知识讲解 坐标系与参数方程全章复习与巩固

《坐标系与参数方程》全章复习与巩固

编稿：孙永钊审稿：王静伟

【学习目标】

1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.

3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

4. 了解参数方程，了解参数的意义.

5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

【知识络】

【要点梳理】

要点一：向量的有关概念

1．极坐标系

平面内的一条规定有单位长度的射线Ox，O为极点，Ox为极轴，选定一个长度单位

和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点P的极坐标

平面上一点P到极点O的距离||OP称为极径?，OP与Ox轴的夹角?称为极角，有序实数对(,)P??

就叫做点P的极坐标。

（1）一般情况下，不特别加以说明时?表示非负数；

当0??时表示极点；

当0??时，点(,)P??的位置这样确定：作射线OP，使xOP???，在OP的反向延长线上取一点P?，使得||OP???，点P?即为所求的点。

（2）点(,)P??与点(,2)k????（kZ?）所表示的是同一个点，即角?与2k???的终边是

相同的。

综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即(,)??，

(,2)k????, (,(21))k??????均表示同一个点.

3. 极坐标与直角坐标的互化

当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；

③长度单位相同），平面上一个点P的极坐标(,)??和直角坐标(,)xy有如下关系：

直角坐标化极坐标：cos,sinxy??????；

极坐标化直角坐标：222,tan(0)yxyxx??????. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程：

（1）过极点倾斜角为?的直线：()R?????或写成???及?????. （2）过(,)Aa?垂直于

极轴的直线：coscosa?????

5. 圆的极坐标方程：

（1）以极点O为圆心，a(0)a?为半径的圆：a??.

（2）若(0,0)O，(2,0)Aa(0)a?，以OA为直径的圆：2cosa???

要点二：参数方程

1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数：

()()xftygt?????，并且对于t的每一个允许值，方程所确定的点(,)Mxy都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系yx,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0Fxy?，

叫做曲线的普通

方程。

要点三：常见曲线的参数方程

1．直线的参数方程

（1）经过定点000(,)Mxy，倾斜角为?的直线l的参数方程为：

00cossinxxtyyt?????????（t为参数）；

其中参数t的几何意义：0MMte?，有0||||MMt?，即||t 表示直线上任一点M到定点0M的距离。（当M在0M上方时，0t?，M在0M下方时，0t?)。

（2）过定点000(,)Mxy，且其斜率为ba的直线l的参数方程为：

00xxatyybt???????（t为参数，,ab为为常数，0a?）；

其中t的几何意义为：若M是直线上一点，则220||||MMabt??。2．圆的参数方程

（1）已知圆心为00(,)xy，半径为r的圆22200()()xxyyr????的参数方程为：

00cossinxxryyr?????????（?是参数，R??）；

特别地当圆心在原点时，其参数方程为cossinxryr???????（?是参数）。（2）参数?的几何意义为：由x轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

（1）椭圆22221xyab??（0ab??）的参数方程cossinxayb???????（?为参数）。

（2）参数?的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点P对应的角为QOx???（过P作PQx?轴，交大圆即以2a为直径的圆于Q），切不可认为是POx???。

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆12222??byax上任意一点可设成(cos,sin)ab??，为解决有关椭圆问题提供了

一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

双曲线22221xyab??（0a?,0b?）的参数方程为sectanxayb???????（?为参数）。

5. 抛物线的参数方程

抛物线22ypx?(0p?)的参数方程为222xptypt?????（t是参数）。

参数t的几何意义为：抛物线上一点与其顶点O连线的斜率的倒数，即1OP tk?。

【典型例题】

类型一：极坐标方程与直角坐标方程

例1．在极坐标系中，点(,)P??关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线2R?????（）的对称点的坐标是

_______，

【思路点拨】画出极坐标系，结合图形容易确定。

【解析】它们依次是(,2)k?????或(,2)k??????；(,2)k?????；(,2)k??????（kZ?）. 示意图如下：