知识讲解 坐标系与参数方程全章复习与巩固

《坐标系与参数方程》全章复习与巩固
编稿：孙永钊审稿：王静伟
【学习目标】
1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
4. 了解参数方程，了解参数的意义.
5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
【知识络】
【要点梳理】
要点一：向量的有关概念
1．极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线Ox，O为极点，Ox为极轴，选定一个长度单位
和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点P的极坐标
平面上一点P到极点O的距离||OP称为极径?，OP与Ox轴的夹角?称为极角，有序实数对(,)P??
就叫做点P的极坐标。

（1）一般情况下，不特别加以说明时?表示非负数；
当0??时表示极点；
当0??时，点(,)P??的位置这样确定：作射线OP，使xOP???，在OP的反向延长线上取一点P?，使得||OP???，点P?即为所求的点。

（2）点(,)P??与点(,2)k????（kZ?）所表示的是同一个点，即角?与2k???的终边是
相同的。

综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即(,)??，
(,2)k????, (,(21))k??????均表示同一个点.
3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；
③长度单位相同），平面上一个点P的极坐标(,)??和直角坐标(,)xy有如下关系：
直角坐标化极坐标：cos,sinxy??????；
极坐标化直角坐标：222,tan(0)yxyxx??????. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角为?的直线：()R?????或写成???及?????. （2）过(,)Aa?垂直于
极轴的直线：coscosa?????
5. 圆的极坐标方程：
（1）以极点O为圆心，a(0)a?为半径的圆：a??.
（2）若(0,0)O，(2,0)Aa(0)a?，以OA为直径的圆：2cosa???
要点二：参数方程
1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数：
()()xftygt?????，并且对于t的每一个允许值，方程所确定的点(,)Mxy都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系yx,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0Fxy?，
叫做曲线的普通
方程。

要点三：常见曲线的参数方程
1．直线的参数方程
（1）经过定点000(,)Mxy，倾斜角为?的直线l的参数方程为：
00cossinxxtyyt?????????（t为参数）；
其中参数t的几何意义：0MMte?，有0||||MMt?，即||t 表示直线上任一点M到定点0M的距离。

（当M在0M上方时，0t?，M在0M下方时，0t?)。

（2）过定点000(,)Mxy，且其斜率为ba的直线l的参数方程为：
00xxatyybt???????（t为参数，,ab为为常数，0a?）；
其中t的几何意义为：若M是直线上一点，则220||||MMabt??。

2．圆的参数方程
（1）已知圆心为00(,)xy，半径为r的圆22200()()xxyyr????的参数方程为：
00cossinxxryyr?????????（?是参数，R??）；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为cossinxryr???????（?是参数）。

（2）参数?的几何意义为：由x轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程
（1）椭圆22221xyab??（0ab??）的参数方程cossinxayb???????（?为参数）。

（2）参数?的几何意义是椭圆上某一点的离心角。

如图中，点P对应的角为QOx???（过P作PQx?轴，交大圆即以2a为直径的圆于Q），切不可认为是POx???。

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆12222??byax上任意一点可设成(cos,sin)ab??，为解决有关椭圆问题提供了
一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程
双曲线22221xyab??（0a?,0b?）的参数方程为sectanxayb???????（?为参数）。

5. 抛物线的参数方程
抛物线22ypx?(0p?)的参数方程为222xptypt?????（t是参数）。

参数t的几何意义为：抛物线上一点与其顶点O连线的斜率的倒数，即1OP tk?。

【典型例题】
类型一：极坐标方程与直角坐标方程
例1．在极坐标系中，点(,)P??关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线2R?????（）的对称点的坐标是
_______，
【思路点拨】画出极坐标系，结合图形容易确定。

【解析】它们依次是(,2)k?????或(,2)k??????；(,2)k?????；(,2)k??????（kZ?）. 示意图如下：
【总结升华】应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。

举一反三：
【变式】已知点(,)M??，则点M
（1）关于3R?????（）对称点1M的坐标是_______，
（2）关于直线cos0??的对称点2M的坐标为________ 。

【答案】(1) 由图知：3MODDOM????????,23MOx??????，所以
12(,2)3Mk??????；
(2) 直线cos0??即2k?????，所以2(,2)Mk??????或2(,2)Mk??????（kZ?）
例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

(1) 2540?????；(2) 53cos4sin?????；
(3) 523cos????； (4) tansec?????.
【思路点拨】依据关系式222cos,sin,xyxy?????????，对已有方程进行变形、配凑。

【解析】（1）方程变形为(1)(4)0?????,
∴1??或4??，即221xy??或2216xy??，
故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得3cos4sin5??????,即3450xy???，
故原方程表示直线3450xy???。

(3) 变形为23cos5?????, 即22235xyx???，
整理得22(3)145xy???，
故原方程表示中心在(3,0)?，焦点在x轴上的双曲线22(3)145xy???。

（4）变形为2sintanseccos????????,
∴22cossin?????,即20xy??,
故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线2yx?。

【总结升华】极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式
222cos,sin,xyxy?????????，把极坐标方程中的,??用ｘ、ｙ表示。

举一反三：
【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线. (1)2sin???；
(2)242?????????, 其中R??；
(3)21cos???? (4) cos()3?????
【答案】：
(1)∵2sin???，∴22sin????即222xyy??, 故原方程表示是圆22(1)1xy???. (2)
∵242?????????, ∴(2)(2)04????????，
∴(2)()04??????，∴2??或4????，
∴224xy??或0xy??
故原方程表示圆224xy??和直线0xy??. (3)由21cos????，得2cos?????
即222xyx???，整理得24(1)yx??
故原方程表示抛物线24(1)yx??.
(4) 由cos()3?????得13cossin22?????, ∴
213cossin22???????，即221322xyxy???
故原方程表示圆22131()()444xy????. 【变式2】圆的直角坐标方程220xyy???化为极坐标方程为_______________. 【答案】将cos,sinxy??????代入方程得
2222cossinsin0sin?????????????.
例3.求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是3?；（2）过点(5,)4P?，并且和极轴垂直。

【思路点拨】数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为?的直线为()R?????.过点(,)Aa?垂直于极轴的直线为coscosa?????；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标
方程。

【解析】（1）由图知，所求的极坐标方程为()3R?????；
（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为cos5cos4????，即52cos2???.
（方法二）由图知，所求直线的方程为522x?，即52cos2???. 【总结升华】抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.
举一反三：
【变式1】已知直线的极坐标方程为22)4sin(?????，则极点到该直线的距离是______。

【答案】：22。

（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：1xy??，则原点（极点）到该直线的距离是
1222d??；
（方法二）直线22)4sin(?????是将直线22sin???绕极点顺时针旋转4?而得到，易知，极点到直线的距离为22。

【变式2】解下列各题
（1）在极坐标系中，以(3,)6C?为圆心，半径为1的圆的方程为_____，
平行于极轴的切线方程为_____；（2）极坐标系中，两圆cos???和2sin???的圆心距为______ ；
（3）极坐标系中圆2cos()3?????的圆心为________。

【答案】（1）（方法一）
设(,)P??在圆上，则||1PC?，||OP??，||3OC?，||6POC?????，由余弦定理得21923cos||6??????????
即26cos()806????????，为圆的极坐标方程。

其平行于极轴的切线方程为5sin2???和1sin2???。

（方法二）圆心(3,)6C?的直角坐标为333(,)22，
则符合条件的圆方程为22333()()122xy????，
∴圆的极坐标方程：22333(cos)(sin)122????????
整理得2(33cos3sin)80?????????，即26cos()806????????.
又圆22333()()122xy????的平行于（x轴）极轴的切线方程为：52y?或12y?，
即5sin2???和1sin2???
（2）（方法一）cos???的圆心为1(,0)2，2sin???的圆心为(1,)2?，∴两圆圆心距为52. （方法二）圆cos???即22xyx??的圆心为1(,0)2，
圆2sin???即222xyy??的圆心为(0,1)，
∴两圆圆心距为52. （3）（方法一）令03????得3????，∴圆心为(1,)3??。

（方法二）圆2cos()3?????即23xyy??的圆心为13)2?，即(1,)3??.类型二：参数方程与普通方程互化
例4．把参数方程化为普通方程
(1) ????????2cos2sinyx (R??，?为参数)；（2）??????????cossincossinyx (R??，?为参数）；（3）????????????ttyttx1211 (1t?,t为参数)；（4
）????????????2221211ttyttx (t为参数).
【思路点拨】
（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
（2）利用三角恒等式进行消参；
（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的
办法；或把t用x表示，反解出()tfx?后再代入另一表达式即可消参；
（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把t换成2t而已，因而消参方法依旧，但需要注意x、y的范围。

（1）∵222cos2212sin32sinyy???????????，把sinx??代入得232yx??；【解析】
又∵|sin|1??,|cos2|1??, ∴||1x?,13y??, ∴所求方程为：
223yx???(11x???,13y??)
(2)∵22(sincos)12sincosx????????,把sincosy???代入得212xy??.
又∵sincos2sin()4x????????，1sincossin22y?????
∴||2x?,1||2y?. ∴所求方程为21122yx??(||2x?,1||2y?).
(3) （法一）：1211111tttxyttt??????????,
又2(1)21111txtt?????????，2(1)222211tytt????????, ∴所求方程为10xy???(1x??,2y?).
（法二）：由11txt???得11xtx???,
代入1222(1)11111111xtxxyxxtxxx????????????????,
∴10xy???（余略）.
(4) 由2211txt???得2101xtx????, ∴11x???,由221tyt??
得221tyt??,
当0t?时，0y?；当0t?时，22||2||||112||ttytt????，从而||1y?. 法一
:224222222222222212124(1)()()111(1)(1)ttttttxytttt?????????? ?????，
即221xy??（11x???），故所求方程为221xy??（11x???）
法二: 由2211txt???得211xtx???，代入221tyt??
得2(1)111tytxxx??????，即1ytx??
∴再将1ytx??代入2211txt???得
221()11()1yxxyx?????，化简得221xy??. 【总结升华】
1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。

2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x、y的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三：
【变式1】化参数方程为普通方程。

（1）(2)2(1)xttyt?????????(t为参数) ；（2）???????????22t1t2yt12x（t为参数）.
【答案】：（1）由2(1)yt??得12yt??，代入(2)xtt??化简得222yx???. ∵0t?, ∴22(1)11xttt????????
,2(1)2yt????.
故所求方程为222yx???（1x?，2y??）
（2）两个式子相除得ytx?，代入221xt??得22222221xxyxyx????，即222xyx??. ∵2201xt???，故所求方程为
222xyx??(0x?). 【变式2】（1）圆3sin4cos()4sin3cosxy????????????为参数的半径为_________ ；
（2）参数方程|cossin|221(1sin)2xy??????????????()20????表示的曲线为（）。

A、双曲线一支，且过点)21,1(
B、抛物线的一部分，且过点)21,1(
C、双曲线一支，且过点)21,1(?
D、抛物线的一部分，且过点)21,1(?【答案】：
（1）2222(3sin4cos)(4sin3cos)xy?????????
22229sin24sincos16cos16sin24sincos9cos??????????????? 91625???
其中15sin()[5,5]x??????，25sin()[5,5]y??????，∴半径为5。

（2）y2sin12cos2sin21)2cos2(sinx22????????????，且
0|2sin2cos|x?????，因而选B。

【变式3】（1）直线l: 3cos201sin20xtyt??????????(t为参数)的倾斜角为（）。

A、20
B、70
C、160
D、20?
（2）?为锐角，直线31cos()232sin()2xtyt?????????????????的倾斜角（）。

A、?
B、2???
C、2???
D、???23
【答案】：
（1）1sin203cos20ytxt??????????，相除得
1tan20tan1603yx?????，∴倾斜角为160，选C。

（2）31cos()232sin()2xtyt?????????????????，相除得
23tan()tan()122yx??????????，
∵),2(2??????，∴倾角为???2，选C。

【变式4】在极坐标系中，点π23???????到直线??cos3sin6?????的距离为【答案】1
【解析】先把点(2,)3?极坐标化为直角坐标(1,3)，再把直线的极坐标方程
??cos3sin6?????化为直角坐标方程360xy???，利用点到直线距离公式136113d?????.
【变式5】在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为??????tytx21 (t为参
数),曲线C的参数方程为???????tan2tan22yx(?为参数),试求直线l与曲线C的
普通方程,并求出它们的公共点的坐标. 【答案】C解:∵直线l的参数方程为??????tytx21∴消去参数t后得直线的普通方程为022???yx
①
同理得曲线C的普通方程为xy22?②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(,)1,21(?
例5．已知曲线的参数方程00cossinxxtyyt?????????（0x、0y为常数）。

（1）当t为常数(0t?)，?为参数(R??)时，说明曲线的类型；
（2）当?为常数且(0,)(,)22?????，t为参数时，说明曲线的
类型。

【思路点拨】通过消参，化为普通方程，再做判断。

【解析】（1）方程可变形为00cossinxxtyyt?????????（?为参数，t为常数）
取两式的平方和，得22200()()xxyyt????
曲线是以00(,)xy为圆心，||t为半径的圆。

（2）方程变形为00cossinxxtyyt?????????（t为参数，?为常数）, 两式相除，可得00tan yyxx????，即00()tanyyxx????, 曲线是过点00(,)xy且斜
率tank??的直线。

【总结升华】从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为
参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。

因此在表示曲线的参数方程时，一般应
标明选定的字母参数。

举一反三：
【变式】已知直线l的极坐标方程为24sin(2??）π??，点A的极坐标为
722,4A???????，则点A到直线l的距离为
【答案】522．
【解析】依题已知直线l：2sin24???????????和点
722,4A???????可化为l：10xy???和??2,2A?，所以点A与直线l的距离为
????2222152211d???????．
【变式2】已知圆锥曲线方程为235cos164sin5xtyt????????????。

（1）若t为参数，?为常数，求此曲线的焦点到准线距离。

（2）若?为参数，t为常数，求此曲线的离心率。

【答案】（1）方程可化为25cos134sin56xtyt????????????
消去t,得：23(5cos1)(4sin5)2xy????????
∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为34p?。

（2）方程化为231cos565sin4xtyt????????? ??????，
消去?，得222(31)(65)12516xtyt??????，
∴曲线为椭圆，其中225a?，216b?，29c?，从而35e?。

类型三：其他应用
例6．椭圆)0(12222????babyax内接矩形面积的最大值为
_____________.
【思路点拨】由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐
标就可以用来表示面积，再求出最大值。

【解析】设椭圆上第一象限的点(cos,sin)Pab??，则
2cos2sin2sin22Sababab??????矩形
当且仅当4???时，取最大值，此时点22(,)22Pab. 【总结升华】
利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。

举一反三：
【变式1】求椭圆22143xy??上的点到直线l:2100xy???的最小距离及相应的点P的坐标。

【答案】：设(2cos,3sin)P??到l的距离为d，则
|4sin()10||2cos23sin10|66555d???????????，
（当且仅当sin()16????即3???时取等）。

∴点P到直线l的最小距离为65，此时点(2cos,3sin)33P??，即3(1,)2P。

【变式2】圆222430xyxy?????上到直线10xy???的距离为2的点共有_______个.
【答案】：已知圆方程为22(1)(2)8xy????，
设其参数方程为122cos222sinxy?????????????（[0,2)???）
则圆上的点(122cos,222sin)P??????到直线10xy???的距离为
22|122cos222sin1|211d??????????
|22(sincos)2|2?????，即|2sin()1|14?????
∴sin()04????或sin()14????
又[0,2)???，∴371,,444?????，从而满足要求的点一共有三个.
【变式3】在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为13cos(t)23sinxtyt ì=+?í=-+??为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以
原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
2sin()m,(mR).4prq-=?
(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
【答案】(Ⅰ) ()()22129xy-++=，0xym--=；(Ⅱ) 2m=-32±．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129xy-++=，利用cosx???，siny???将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为()()22129xy-++=,
由2sin()m4prq-=，得sincosm0rqrq--=, 所以直线l的直角坐标方程为
0xym--=. (Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即
()|12m|22，--+=解得2m=-32±。