八年级数学上册《第12章-轴对称》总复习教案及经典例题-新人教版

山东省邹平县实验中学八年级数学上册《第１２章轴对称》总复习教案及
经典例题新人教版
一、教学目的与考点分析：
1.本章的课标要求是：(１）图形的轴对称：①探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相互关系；②欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计;③在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化．(２)线段的垂直平分线:了解线段垂直平分线及其性质．（3)等腰三角形:①了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；②了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.
２．本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的.等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫,也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用．
3．本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.难点是等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.
二、教学内容：
(一）、复习三角全等形条件
(二)、教学内容
知识网络图示
基本知识提炼整理
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点,叫做对称点．
２．线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线
3．轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
4.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
二、主要性质
1．如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
３．(1)点P(x，ｙ）关于x轴对称的点的坐标为P′（ｘ，-y)．
（２）点P（x,y)关于y轴对称的点的坐标为Ｐ″(-x，y).
4.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”）.
(２）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
(4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.
(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（６)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
５.等边三角形的性质
（1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
（２）等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴.
(３)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”).
3.三个角都相等的三角形是等边三角形．
4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
四、［例１]如图，在△ABC中,AＢ=ＡＣ,点Ｄ在AC上，且BＤ=ＢC=AD，
求:△ＡＢC各角的度数．
分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A＝∠ABＤ，∠ＡBC=∠Ｃ=∠BDC,•
再由∠BDC=∠A＋∠AＢD,就可得到∠ABC＝∠C=∠BDC=2∠Ａ．
再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话,那么∠ＡBC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷.
解:因为AB=AC，BD=BC=ＡD，所以∠ABC＝∠C=∠BＤC．
∠A＝∠ABＤ(等边对等角）. 设∠Ａ=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2ｘ，
从而∠ABC＝∠Ｃ=∠BＤＣ＝2ｘ．于是在△AＢC中，有
∠Ａ+∠ABC+∠C=x+2x+２ｘ=18０°解得x=36°. 在△ABC中，∠A=35°,∠ABＣ=∠C=７2°.
[例2］在等边三角形AＢC中的AC延长线上取一点Ｅ,以CE为边做等边三角形ＣDE，使它与三角形ＡBC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点，点N为线段BＥ的中点。

求证:三角形CNM为等边三角形。

分析由已知易证明△ADC≌△BＥC，得ＢE＝AD，∠EBC=∠ＤＡＥ,而M、N分别为ＢE、AD的中点,于是有BN=AM,要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=ＣN,∠ＭＣN＝60o，所以要证△NBC≌△MAC,由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAＣ
证明:∵等边△AＢC和等边△ＤCＥ，
∴ＢC=AC，ＣD＝ＣE,(等边三角形的边相等)
∠BCA=∠ＤCE=6０ｏ（等边三角形的每个角都是６０）
∴∠BCE=∠DＣA ∴△BＣＥ≌△ＡCD(ＳAS)
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等)
BE=ＡD （全等三角形的对应边相等）
又∵ＢＮ=21BE ，AM ＝2
1AD(中点定义) ∴BN=AM ∴△NBC ≌△ＭA Ｃ(ＳAS)
∴CM=CN(全等三角形的对应边相等) ∠AC Ｍ＝∠ＢC Ｎ（全等三角形的对应角相等) ∴∠MCN=∠ACB ＝6０o
∴△MCN 为等边三角形（有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形)
专题总结及应用
一、用轴对称的观点证明有关几何命题
例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知:在△ＡBC 中，∠C=90°,∠Ａ=３0°，如图所示．
求证：ＢC=2
1AB.
证明:如图所示．
作出△A ＢＣ关于AC 对称的△AB ′Ｃ.
∴ＡB ′＝AB.
又∵∠CAB=３0°,∴∠B ′=∠B=∠Ｂ′AB=６0°.
∴AB=ＢB ′=AB ′
又∵AC ⊥B ′B,
∴B ′Ｃ=BC ＝
21B Ｂ′=21ＡB. 即ＢC=
21AB ．
例2 如图所示,已知∠ACB=9０°,CD 是高,∠A ＝30°.求证ＢＤ＝4
1AB.
证明：在△ABC 中,∠ACB=90°，∠Ａ=３0°,
∴BC=21AB ，∠B ＝6０°. 又∵CD ⊥BA,
∴∠BDC=90°，∠BCD=30°.∴BD=2
1BC. ∴B Ｄ＝
21·21AB=4
1AB. 即B Ｄ=41A Ｂ． 二、有关等腰三角形的内角度数的计算
例3 如图所示,AB=ＡC,ＢC=BD=ED=EA,求∠A 的度数．
(分析）图形中有多个等腰三角形,因而有许多对相等的角，设定其中的某个角,再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.
解:∵AB=A Ｃ，BC ＝BD=E Ｄ＝EA,
∴∠ＡＢC=∠Ｃ＝∠ＢDC,
∠ABD=∠BED ，∠A=∠ＥD Ａ.
设∠A=α，则∠ＥDA ＝α,∠ABD ＝∠ＢE Ｄ=2α，
∠A ＢC ＝∠C=∠BDC=3α(根据三角形的外角性质).
在△A ＢＣ中,∠A=α,∠AB Ｃ＝∠ACB=3α,
由三角形内角和可得α+３α＋3α=1８0°,
∴α=
7180︒,∴∠A=7
180︒． ∴∠A 的度数为7180︒. 例4 如图所示，在△ＡBC 中,D 在ＢC 上,若A Ｄ=ＢD,ＡB ＝AC=CD ，求∠B ＡＣ的度数.
解：∵AD=BD,ＡB=ＡＣ=CD，
∴∠B＝∠Ｃ=∠ＢＡD，∠ＣAＤ=∠CDA.
设∠B=∠C=∠BＡD=α，
则∠ＣAD=∠CDA=2α,∠BAC=3α．
在△ABC中,∠ＢAC=3α,∠B=∠Ｃ＝α,
∴3α+α＋α=180°，
∴α=36”,∴3α＝1０8°，即∠BAＣ=1０8°．
∴∠BAＣ的度数是108°．
三、作辅助线解决问题
例５如图所示,∠B＝９0°，ＡD=AB=BC，DE⊥AＣ.求证BE=DC.
证明:连接ＡE.
∵ＥD⊥AＣ，∴∠ADE＝90°.
又∵∠B=90°,∴在Rt△ABE和Rt△ＡDE中,
∴Ｒt△ＡBＥ≌Rt△ADE(ＨL)，∴ＢE=ED．
∵AＢ=BC,∴∠BAC＝∠Ｃ.
又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=９0°．
∴∠C=4５°.∴∠DEC=45°.
∴∠Ｃ=∠DEC＝∠４5°.
∴ＤE＝DC,∴BE=ＤC．
例6 如图所示,在△ABC中，AB=AC,在ＡB上取一点E,在AC
延长线上取一点F,使ＢE=CF，EF交ＢＣ于G．求证ＥＧ=FG.
证明：过Ｅ作ＥM∥AC,交BC于点M，
∴∠EＭB=∠ＡCＢ,∠ＭEＧ=∠Ｆ．
又∵AＢ=AC，∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠ＥMB，∴EB=EＭ.
又∵BＥ=CF,∴EM=FＣ.
在△MEＧ和△ＣFG中，
∴△MEG≌△ＣＦG（AAS）．
∴EＧ＝ＦＧ.
例7 如图所示，在△ABC中,∠B=60°，AB=4，BC=２．求证△ＡBC是直角三角形．(分析)欲证△AＢC是直角三角形,只需证明∠BCA=90°即可.
证明:取AB的中点D,连接CD．
∵ＢC=2，AＢ=4,∴BC=BD＝AＤ＝2．
∴∠BＣD=∠ＢDC.
又∵∠B=６0°,∴∠BＣＤ＝∠ＢDC＝60°.
∴ＤC=BD＝DA.∴∠Ａ＝∠DCA.
又∵∠ＢDC是△DＣA的一个外角,
∴∠BDC=∠Ａ+∠DＣＡ=60°.
∴∠Ａ=30°，
∴∠BCＡ＝180°-∠B-∠A=180°-6０°-３0°=９0°∴△AＢC是直角三角形.。