启发每个人思维的数学小书摘录

启发每个人思维的数学小书莉莉安·李伯

1.首先

先来一个很简单的问题

假设你可以选择下面两个工作的一个

工作1：起薪为年薪1000美元，然后每年加薪200美元

工作2：半年薪500美元，每六个月加薪50美元

此外，两个工作在其他各方面都相同，那么一年之后你觉得哪个工作会更好呢？

半年前半年后整年统计

第一年工作1 500 500 1000

工作2 500 550 1050

第二年工作1 600 600 1200

工作2 600 650 1250

第三年工作1 700 700 1400

工作2 700 750 1450

第四年工作1 800 800 1600

工作2 800 850 1650

2.假设你有一张大约0.1毫米厚的纸巾，现在把另一张相同的纸巾放在它上面，这两张纸巾的厚度0.1×2=0.2毫米，现在再放上两张相同的纸巾，总共是4张，厚度是0.1×4=0.4毫米，继续重复以上步骤，每次将纸巾的数量加倍，因此，第一次你会有一张纸巾，第二次2张，第三次4张，第四次8张，第五次16张，每次都将纸巾的数量加倍，请问，重复32次，折叠纸巾有多高？

纸巾数量厚度（毫米）

第一次 1 0.1

第二次 2 0.2

···

第二十九次268435456 26843545.6

第三十次536870912 53687091.2

第三十一次1073741824 107374182.4

第三十二次2147483648 214748364.8

214748364.8毫米=214748米，这个高度，相当于24个珠穆朗玛峰，662个埃菲尔铁塔！

关于直觉，希望我们能清楚解释下面两点

（1）我们的直觉有些是对的，有些是错的，想要确定哪些是对的，哪些是错的，唯一的途径，就是跟着直觉，并且验证其结果

（2）科学家和数学家们也都有直觉，并且，一些最好的构想往往都来自他们的直觉，但是，在直觉被检验和复检之前，这些想法并不能够成为令人尊敬的科学和数学。

这就是T.C和科学家们之间一个最本质的区别。T.C.认为，他可以一直依赖直觉，只要他们很准的话，但事实却是，每个个别的直觉都必须经过检验，以及复检！

而实验，往往被认为是最“实际”的办法：“如果你按照执行的话，一定能够得到正确的答案。”

这确实是正确的，但是在这个问题里，你可以非常简单的看出，将纸巾叠到214748米，是不切实际的，就算是真的这样尝试，你也一定会撞到天花板！总之，关于什么才是“实际”

的方法，在你确认真正的问题之前，别太有把握自己知道。

最后，关于计算的方法。在这个问题里，如我们所见，这是目前为止最好的办法。所以，千万别说，“数学不切实际，只有用自己的手处理问题，才是实际可行的”，这通常是对的，但并非永远都是对的！如果你认为这些计算乏味冗长，我们就必须指出：

（1）至少它们没有像叠一张张纸巾那么累人

（2）还有一个更简单的方法，可以很快得到答案，但是，你必须多懂一点数学，才会知道。也就是数学里称作对数的一章。

请记住，做任何事情，都需要通过一点点努力，例如开车，游泳······只要最后的成果是值得的，为什么要逃避那一点点的努力呢？毕竟，只有死亡，才是唯一不用努力的方法！3.假设有一条紧紧环绕着地球赤道的钢环。现在你将它移走，并且从某一处切开，再接上一段10米长的钢条，那么，现在这个新钢环周长比原来多了10米，然后你再重新把他放回到赤道上，这条新的钢环和地球之间有多大的空隙？

假设，你要进行徒步环绕赤道的旅行，另外，假设你有180厘米，那么你的头会比脚，多走了多少距离？

也许你会对下面这个说法感到惊讶，当你行走时，你的头，其实比你的脚要走的更远一些！也许你认为这不符合“常理”，但是，请仔细看看下面的图，应该可以清晰明白地告诉你，这个想法完全合理

寓意：你的头要比你的脚走得远些

4.你应该可以清晰地察觉到，前面提到的有关圆的公式，是一种“代数”

也许你也可以从这猜出，代数和算术之间存在一个差异，就是，在算术里面，我们一次只解决某一个特定的问题，但是在代数里面，我们会提供一个可以解决某一类型多种问题的一般性适用法则。

因此，我们会明白一个长方形长4厘米，宽2厘米，那么它的面积为8平方厘米，这就是算术。但是当我们写A=ab（1），也就意味着，我们必须将长方形的长a，乘以宽b，才能找到任何长方形的面积A，这就是代数。

换句话说，代数比算术更一般化，但也许，你会说，这差异其实并不明显，因为在算术里，也同样具有一般性法则，只不过它们不像（1）那样，是通过字母的形式表现的，而是利用文字描述，因此，在代数中，我们会说，A=ab，而在算术里，我们通常会说，“要算出任意一个长方形的面积，只要将长乘以宽就可以了”你可能还是觉得，代数只不过是一种便利的缩写，而不是什么新鲜事。

不过事实是，这不仅仅是便利缩写的问题。当一个公式，比之前更加复杂的时候，通过这种便利的符号法则，我们就可以一眼看出，许多有趣的事实，但要从一大段复杂的文字叙述看出来，是相当困难的。

同时，更进一步的说，当我们学习运用这些公式时，会发现，我们几乎可以轻松自如的解决问题，但如果采用其他方式处理，就得花费许多精力思考，这相当于，当我们学会开车，我们就可以轻松自在地“兜风”，而不是走得精疲力尽。

因此，如果我们越精通数学，生活就会越简单，因为它是一个工具，可以帮助我们处理那些徒手无法解决的难题。所以，数学可以强化我们的头脑，我们的手和脚，让我们每一个人，

都能变成“超人”

也许你会说“我不喜欢每次都搭车，我喜欢走路，我也喜欢说话，我不喜欢抽象的符号。”而我们的回答是：当然，请尽情地走路和说话，但是，当你遇到工作难题的时候，请一定帮助自己准备好，所有可能需要用到的工具，不然，你可能会发现，要完成它，不是一件容易的事。

因此，如果你想当工程师，建造桥梁或其他的东西，你必须精通数学，如果你想计算出，从现在开始存多少钱，才能在年老的时候过得更舒适，那就使用公式吧。

如果你想算出，当你借钱，或使用分期付款的时候，你应该付多少利息，也请你使用公式。