马尔科夫预测法

马尔科夫预测案例

一、 市场占有率的预测

例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为：

3202402403601806036060180N ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费

者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。

（1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。

解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。

用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：

0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为：

00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =⋅=

1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ⎛⎫

⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P === 3

k =时,

()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。

从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.

由于转移概率矩阵P 是正规矩阵，因此P 有唯一的均衡点μ。由本例可知，

()0.50.250.25μ=。由定理可知，()0lim 0.50.250.25k k p P μ→∞

⋅==，即随着时间的推移，三个厂家的市场占有率逐渐趋于稳定。当市场达到均衡状态时，各厂家的市场占有率分别为50%、25%和25%。

由表可以看出，第三个月时，市场已经基本达到均衡状态，此时，各厂家的市场占有率与均衡状态时的市场占有率的误差已不足千分之一。

例2：飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由于产品质量、价格、经营管理水平、服务态度、质量等因素影响，每月订户都有变化。根据8、9月份的变化，预测本年后三个月各厂家的用户占有率。

（1

）调查目前的用户占有及变动情况 8月1日的订户到9月1日发生变化的情况 表7.5 8、9月各厂订户

9月份四厂总用户为1839，各厂家的用户占有率分别为：0.292,0.280,0.226,0.202①初始状态向量

S(0)=（0.292 0.280 0.226 0.202）

（2）计算用户转移概率

飞跃厂、金星厂同理可以计算得到凯歌厂。将以上计算结果写成矩阵就是8~9月的一步转移概率矩阵P

（3）预测

若本年后三个月各月之间用户阵移概率不变，则可以采用（7.5）式的数学模型预测。

10月各厂的用户占有率为S(1)=S(0)·P

0.881 0.055 0.037 0.027

=（0.292 0.280 0.226 0.202）0.049 0.889 0.032 0.030

0.043 0.048 0.875 0.034

0.039 0.065 0.037 0.859

=(0.289 0.289 0.225 0.197)

11月各厂用户占有率为S(2)=S(1)·P

0.055 0.037 0.027

= (0.289 0.289 0.225 0.197) 0.049 0.889 0.032 0.030

0.043 0.048 0.875 0.034

0.039 0.065 0.037 0.859

=(0.286 0.297 0.224 0.193)

12月各厂用户占有率为S(3)=S(2)·P= (0.286 0.297 0.224 0.193)·P

=(0.284 0.303 0.223 0.190) 预测结果表明，如果各厂家占有用户的变化依上述规律进行，到该年底，原来用户占有率比较接近的四个厂家将产生很大差异。金星厂的用户占有率将明显高于其他厂，由9月份的第二位跃进居第一位，而英雄厂则大大低于其他厂。

二、人力资源预测

例：某高校为编制师资发展规划，需要预测未来教师队伍的结构。现在对教师状况进行如下分类：青年，中年，老年和流退（流失或退休）。根据历史资料，各

类教师（按一年为一期）的转移概率矩阵为：0.80.1500.0500.750.20.05000.80.20001P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

目前青年教师400人，中年教师360人，老年教师300人。试分析3年后教师的结构以及为保持编制不变，3年内应进多少硕士和博士毕业生充实教师队伍。

解：设目前的教师结构为()04003603000n =，则一年后教师结构为：

()1032033031298n n P ==，流退人员98人，为保持编制不变，第一年学校需进98人，此时青年教师为320+98=418人。教师结构为：

()1*4183303120n =。

两年后教师结构为：()()21*4183303120334310316100n n P P =⋅==

第二年流退100人，因此第二年需进100名硕士和博士毕业生，此时青年教师为

334+100=434人。教师结构为()2*4343103160n =。

三年后教师结构为：()()32*4343103160347298315100n n P P =⋅==

第三年流退100人，因此第三年需进100名硕士和博士毕业生，此时青年教师为

347+100=447人，教师结构为()3*4472983150n =。

综上所述，3年内需进硕士和博士毕业生298名。三年后教师结构为：青年教师447人，中年教师298名，老年教师315名。

三、项目选址问题

例：某汽车修理公司在北京市有甲、乙、丙3个修理厂，由于公司注重对员工的技术培训，树立顾客至上、信誉第一的理念，采用先进管理模式，所以公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。对客户的调查显示，

客户在甲、乙、丙3个修理厂之间的转移概率为：0.80.200.200.80.20.20.6P ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

由于公司的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。

试分析应选择那个维修厂。

解：由于20.680.320.320.160.200.160.160.480.52P ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

的所有元素都大于0，所以P 是正规矩阵。

因此P 存在唯一的概率向量()123μμμμ=。