3、杆系结构的有限元法

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图(a)所示平面刚架，第3单元作用有非结点载荷，该单元相应 的杆端力和杆端力矩如图3(b)所示，为V1、V2与M1、M2．构造图 3(c)所示的两种受力状态，这两种状态的组合显然构成原结构的受 力状态，其中Ⅱ状态的位移与内力同原结构对比，结点位移一致， 其他单元内力一致，所以Ⅱ状态的结点载荷就是所要求的等效结点 载荷。
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)

节点坐标值：xi=0, xj=l 节点位移值：挠度vi和转角θi 节点力：弯距 Mi 和剪力 Qi
因此， 单元位移列阵：
e vi 单元载荷列阵： F e Qi
i v j j T
Mi Qj Mj

T
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2求单元刚度阵
单元1的局部坐标与整体坐标一致，其他单元的刚度阵要进行坐标变 换之后，在进行整体刚度阵的组装。
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3建立整体刚度矩阵
4边界条件
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计算结果：
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4.4 刚架的有限元分析
4.4.5 空间刚架结构
3
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4.4 刚架的有限元分析
单元分析：局部坐标系 整体分析：整体坐标系 因此，需要进行坐标转换。

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4.4 刚架的有限元分析
4.4.4 坐标变换（推导过程省略）
-坐标变换矩阵 -节点力 -单元刚度矩阵
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等效结点载荷
单元上的非结点载荷向结点移置时应遵循的静力等效原 则，而静力等效移置的结果是唯一的，载荷移置后的结构与 载荷移置前相比，所有结点位移无变化，且除进行过载荷移 置的单元外，其他单元的内力分布不受影响．本讲虽然没有 构造形函数设定位移模式，不便于依前述静力等效的定义进 行非结点载荷的移置，仍可以根据上述等效移置应获得的效 果方便地构造出等效结点载荷。
4.3 梁的有限元分析
4.3.2 位移模式
广义坐标法建立形函数（两个节点， 四个自由度）
代入单元两个节点的坐标和位 移条件，即可求解四个待定常 数a1～a4：
（
）
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4.3 梁的有限元分析
2 3 dv d v d v 4.3.3 应变 ： M EI 2 Q EI 3 dx dx dx d 2v d 2v 力公式： y 2 E Ey 2 dx dx
y Vi i O
从整体坐标到局部坐标的 坐标变换矩阵[T ]
ui Ui
X
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析 推导：
注意：局部 坐标系下的 应力和应变
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：
④
4 ③ 300mm ① 1 400mm
25kN 3 ② 2 20kN X
Biblioteka Baidu
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析

网格离散 单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程 整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程
因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：
12kN/m
1
2
3
1m
1m
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4.3 梁的有限元分析
4.3.4 应力
4.3.5 单元刚度矩阵
3
单元平衡方程：
Fe k e
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4.3 梁的有限元分析
4.3.6 等效节点载荷

若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点 若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算

uj j x
l
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.2 位移模式

单元位移模式的推导 i
ui
l
uj
j
x

位移模式

形函数
N [ Ni
1 N j ] [(l x j x) ( xi x)] l
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.3 应变

应变分量
拉压直杆只有轴向应变：

几何方程的推导
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.4 应力

应力分量
拉压直杆只有轴向应力：

物理方程的推导
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元刚度矩阵
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4.2 拉压直杆的有限元分析
Y

整体坐标系:OXY 局部坐标系: Oxy
j y i O
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x
X
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
整体坐标系OXY ：节点位移为Ui ,Vi (i , j) 局部坐标系 Oxy： 节点位移为ui ,uj Y 则有：

Vj
uj j
x Uj
4.4.3 单元刚度矩阵 (局部坐标系下)
EA EA l l k e EA EA l l
EA 0 l 12EI 0 l3 6 EI 0 2 k e EA l 0 l 12EI 0 3 l 6 EI 0 l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI 2 l 0 12EI l3 6 EI 2 l 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l 0
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：
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4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)

几何形状：长度l，横截面为A。 材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。 节点：i , j 共2个 局部坐标系：oxy 物理量：挠度v，剪力Q，弯矩M，梁的转角θ
F e N T qx dx

适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。 原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。
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4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架
相互独立的两种变形形式 轴向拉压 面内弯曲 因此： 刚架单元＝杆单元＋梁单元


节点位移 轴向位移 横向位移 绕z轴的转角 节点载荷 轴向力 剪力 弯矩

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刚架的有限元分析

4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）
因此，局部坐标系下： 单元节点位移列阵： 单元节点载荷列阵：
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4.4 刚架的有限元分析
局部坐标系:
oxyz 任一节点有三个自由度：轴向拉伸、横 向位移、绕z轴的转角
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4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架 两个坐标系： • 局部坐标系 • 整体坐标系
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4.4 刚架的有限元分析
4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.1 拉压直杆 （单元描述）
几何形状：等截面A,长度为l 载荷q：沿轴线分布 节点：2个 局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系 ox 因此， ui 节点坐标 i 在x轴的坐标： xi , xj 节点位移（自由度） 沿x轴的位移： ui , uj 单元节点位移列阵


工程中常见类型 拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架 （平面和空间）
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4.1 概述
4.1.2 杆系单元


定义 杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。 杆系单元为一维单元。 结构离散 一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺 寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。
F
节点1
单元① 节点2 节点2
单元②
节点3
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4.1 概述
4.1.2 杆系单元

分类

桁架单元：桁架中的杆件 刚架单元：刚架中的杆件

区别：
桁架节点：铰节点
传递力！
刚架节点：刚节点
传递力和力矩！
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4.1 概述
4.1.3 杆系单元的有限元分析
与平面问题和空间问题比较， 基本流程完全相同； 具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。

分析办法：将平面刚架结构扩充到空间刚架结构。

节点位移（自由度）：6个（3个平动位移和3个旋转位移）
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第四章 杆系结构的有限元法
学习要求：
1. 2.
3.
4. 5.
掌握拉压直杆单元和梁单元的单元特性，了解刚架单元的单元特性； 掌握拉压直杆单元和梁单元的单元分析方法，了解刚架单元的单元 刚度矩阵的构成； 掌握平面杆系结构的有限元分析中局部坐标系和整体坐标系之间的 转换方法； 掌握单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的转换关系； 掌握单元节点载荷在局部坐标系和整体坐标系下的转换关系。
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思考题
1.
2. 3.
常见的一维杆系单元有哪些？节点位移与节点力有何不 同？ 平面桁架结构如何进行整体坐标与局部坐标的转化？ 梁单元的适用条件？
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4.3 梁的有限元分析
作业：求如图示中各节点处的单元位移。 梁的参数为：E=200GPa，I=4×10-6m4
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4.3 梁的有限元分析

材料力学基础知识
dv d 2v d 3v 弯曲公式： M EI 2 Q EI 3 dx dx dx d 2v d 2v 应变和应力公式： y 2 E Ey 2 dx dx
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4.3 梁的有限元分析
4.2.5 单元节点等效载荷 （轴向载荷）

集中力 根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上

体力 轴向分布载荷q(x)
推导依据：

面力 按照集中载荷施加在面所在的节点上
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4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析

网格离散 单元分析 整体分析
Y
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第四章 杆系结构的有限元法
章节目录 4.1 概述 4.2 拉压直杆的有限元分析 4.3 梁的有限元分析 4.4 刚架的有限元分析
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4.1 概述
4.1.1 杆系结构

定义 由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构
分类 平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内 空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内
例、平面框架结构的有限元分析 如图所示的框架结构,其顶端受均布力作用,用有限元方法分析该结构的位移。 结构中各个截面的参数都为:E=3.0X1011Pa,I=6.5×10-7m4,A=6.8×10-4m2。
1离散化：
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均布外载的等效计算公式：
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上述分析虽然在平面刚架中进行，对空间刚架也是同样适用的．
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求等效结点载荷的具体方法归结为：按结构力学位移法解 题思想求出该单元的固端力与固端力矩(参考结构力学相 关内容)，将这些固端力与固端力矩反方向作用于结构的 对应结点，即该单元非结点载荷的等效结点载荷。
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