可逆矩阵

§3 可逆矩阵

若方阵 A 的逆阵存在，则称 A 为非奇异方阵或可逆方阵。

一、可逆矩阵的定义及性质

定义3.1 设A ∈Mn （F ）, 若存在同阶矩阵B ，使AB=BA=E ，则称A 为可逆矩阵，B 为A 的逆矩阵，简称为A 的逆，记为B= A-1 。

如果A 是可逆矩阵，那么A 的逆是唯一的。这是因为当B ，C 都是A 的逆时，有AB=BA=E=AC=CA ，

B=BE=B （AC ）= （BAC=EC=C 。

可逆矩阵的性质：

1 、 =A ；

2 、如果A 可逆，数λ≠0 ，那么( A)-1= A-1 ；

3 、如果A 可逆，那么,A T 也可逆，而且( AT )-1=( A-1)T ；

4 、如果A ，B 皆可逆，那么AB 也可逆，且(AB) -1=B-1A-1 。

两个n 阶矩阵A 与B 的乘积AB=E 时，一定有BA=E ，从而A ，B 互为逆矩阵。

二、矩阵的标准形

定义3.2 如果矩阵A 经过有限次行（列）初等变换变为矩阵B ，就称A 行（列）等价于 B 。如果矩阵 A 经过有限次初等变换变为 B ，就称矩阵 A 等价于矩阵 B ，记为

。

矩阵的行等价（列等价、等价）满足如下定律：

1 自反律；

2 对称律如果那么；

3 传递律如果，，那么，。

在数学中，把具有上述三条规律的关系称为等价关系。因此矩阵的等价是一种等价关系。定义3.3 一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，同时，没有一个非零行出现在全零行的下方，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。

定理3.2 任何一个矩阵A 都行等价于一个阶梯形矩阵。

定义3.4 一个阶梯形矩阵，如果它的每一非零行的首元素是1 ，且首元素所在列的其余元素全是零，就称为简化阶梯形矩阵。

定理3.3 任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。

定理3.4 任何一个非零矩阵A ∈Mm ×n （F ）可经过有限次初等变换化为下面形似

的矩阵：= ,

1 ≤r ≤min(m,n), 它称为矩阵A 的标准形。

因此每个矩阵A 与它的标准形等价。

推论3.5 任意一个非零矩阵A ∈Mm ×n （F ），一定存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使

PAQ= ，

其中，是A 的标准形。

推论3.6 设A ，B ∈Mm ×n （F ）,A 与B 等价的充要条件是AB 有相同的标准形。三用行初等变换求逆矩阵

定理3.7 设A 为n 阶矩阵，下列叙述等价：

1 、A 是可逆阵；

2 、A 行等价于单位阵E ；

3 、A 可表示为一些初等矩阵的乘积。

四矩阵方程

当A 可逆时可用矩阵的逆求解矩阵方程AX=B 。设A 为n 阶可逆阵，X ∈Mm ×n （F ）, B ∈Mm ×n （F ）, 则对AX=B 两边左乘A -1 ，有X= A-1B 。由于A -1 （A ，B ）= （E ，A-1 B ）而A-1 可表示为一些初等矩阵的乘积，所以把分块矩阵（A ，B ）进行行初等变换时，在把子块A 变为E 的同时，子块B 也就变为A-1 B ，这就是要求的X 。当然也可以有 A 先求出A -1 ，再作矩阵乘法A-1B 。

在解矩阵方程XA=B 时，则要右乘A-1 ，既X=B A-1 。或者通过解方程ATX T = BT 。先求出X T ，然后就可以求出X 。