热传导中应用数学建模的探讨_许维珍
热传导的数学模型与研究
热传导的数学模型与研究热传导是我们日常生活中经常遇到的现象。
从热水壶把热水倒入杯子，到夏天太阳照射在地面上，热量的传导无处不在。
研究热传导的数学模型，不仅可以帮助我们更好地理解热力学原理，也可以应用于各种实际问题。
首先，我们需要了解热传导的基本原理。
热传导是指热量从高温区域传递到低温区域的过程。
这种过程是通过分子的碰撞和传递能量来实现的。
热量在物体内部的传导通常可以通过热传导方程来描述。
热传导方程是研究热传导现象的重要工具。
它建立在热传导过程中热量传递的基本原理上。
数学上，热传导方程可以用偏微分方程的形式表示。
通常来说，热传导方程可以分为一维、二维和三维的情况。
一维热传导方程适用于直线型的物体，如杆子或棒子。
二维和三维热传导方程则适用于更复杂的物体，如平板或立方体。
热传导方程的具体形式取决于物体的形状和性质。
不同物体的热传导模型也有所不同。
例如，对于均匀导热的杆子或棒子，热传导方程可以简化为线性扩散方程。
而对于非均匀导热的材料，我们需要考虑热导率随位置和温度的变化，以及可能的边界条件。
这些参数的变化会对热传导的过程和模型产生显著影响。
除了简单的热传导方程，还有一些扩展模型和方法被开发出来，以更好地描述和研究热传导现象。
其中之一是非线性扩散方程。
这个模型考虑了导热材料的非线性热传导性质，能更准确地捕捉到热传导过程中的非线性效应。
另一个扩展模型是相变问题的研究。
在物质发生相变时，如冰变成水或水变成蒸汽，热传导方程需要根据相变对热传导的影响进行修正。
研究热传导模型不仅可以提供对热力学原理的深入理解，也可以解决一些实际问题。
例如，在工程领域，热传导的研究可以用于设计更有效的散热系统，以避免设备过热而造成性能下降或损坏。
在环境科学领域，研究热传导可以帮助我们更好地理解地球系统中的能量传递和气候变化。
在材料科学领域，研究热传导可以用于开发更高效的绝热材料和热导材料。
总之，热传导的数学模型和研究对于我们理解和应用热传导现象都具有重要意义。
热传导问题的数值模拟
热传导问题的数值模拟热传导是自然界中一种普遍存在的物理现象，其在许多领域都有着广泛的应用。
在工程领域，对于许多工程问题的求解过程中，需要对热传导问题进行数值模拟。
本文将从热传导问题的基本理论出发，介绍一些热传导问题的数值模拟方法及其应用。
一、热传导基本理论热传导是指热量从高温区传递到低温区的现象。
在热传导过程中，热流量的方向和大小受到热传导物质的性质及其温度差等因素的影响。
热传导物质分为导热性能好的导体和导热性能差的绝缘体两种类型。
根据傅里叶定律和傅立叶热传导方程，热传导问题可以用以下的偏微分方程来描述：∂u/∂t = α(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)+f(x,y,z,t)其中，u(x,y,z,t)表示温度分布，f(x,y,z,t)表示源项（可能是热源或热损失），α为导热系数，t为时间，x、y、z为空间坐标。
二、数值模拟方法热传导问题的数值模拟主要采用有限元法、有限体积法、有限差分法等方法进行计算。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 有限元法有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛应用于数值分析领域的方法。
在热传导问题的数值模拟中，有限元法的基本思想是将要求解的物理问题离散化，将其分解成有限个简单的元件来进行求解。
具体而言，可以将热传导区域分解成一系列的小单元，然后根据有限元法的原理，通过计算每个单元内的热传导能量，并利用边界条件，在整个区域内拼凑成一个整体的方程组，在求解这个方程组后得到热传导问题的解。
2. 有限体积法有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种以连续性方程为基础，采用体积平均原理离散化控制体积的方法。
有限体积法在处理不规则域的问题时具有重要的优势。
在热传导问题的求解中，可以采用有限体积法离散分析过程。
对于一个立方体体积元，可以用守恒方程将体积元内部的能量和热流量进行刻画。
热传导中应用数学建模的探讨_许维珍
（１）
模型求解：
将方程（１）改写为
% & ｋ２"Ｔ＋
ｇ－ "ｃ !Ｔ !ｒ
＝０Ｌ Ｌ
（１０）
其自然边界条件为
－
ｋ
!Ｔ !ｎ
＝ｈ（Ｔ－ Ｔ０），
式中
ｈ
为
换热系数， Ｔ０ 为环境温度， ｎ 为法向， 其泛函表示为
’# % & ( ’ Ｊ＝ ｖ
ｋ （"Ｔ）２－ ２
ｇ－
#ｃ
!Ｔ !ｒ
Ｔ ｄｖ＋
ｓ
ｈ ２
（Ｔ－ Ｔ０）２ｄｓ
这时泛函近似为3节点的三角形单元为书写简便忽略下标i则由式11可得对已划分好的单元来说其值是确定的所以有经上述处理微分项转化为代数项根据泛函理论当t为真实解时泛函为极小值这时泛函对所有节点温度的偏导数都为零即ij0于是就得到一组方程其中每个方程都有一个微分项至此所有微分项变成代数项微分方程组也都变成代数方程组在最初时刻t0时轮胎所有部位的温度都等于环境温度t于是可用迭代法从环境温度开始逐步求出稳态时的轮胎温度分布在温度较高的点域埋设微型温度传感器将有助于人们准确掌握轮胎生热和温度升高情况避免轮胎在其临界温度下高速运转防止汽车爆胎现象发本问题为一维非稳态热传导问题它的数学模型为12其边界条件为
温度较高的点域， 埋设微型温度传感器， 将有助于
人们准确掌握轮胎生热和温度升高情况， 避免轮胎
在其临界温度下高速运转， 防止汽车“爆胎”现象发
生．
例 ３ 一块玻璃板， 厚度为 ｘ， ０≤ｘ≤Ｌ， 初始温
也是最重要的一步， 对数学模型求解， 就可以得到
物体的温度分布， 进而根据傅利叶定律就可以确定
相应的热流强度．
下面通过几个实例说明研究热传导过程是怎
《热传导》实验研究(全国获奖实验研究案例)
《热传导》实验研究(全国获奖实验研究案例)热传导实验研究概述本文介绍了一项关于热传导的实验研究，该研究案例在全国范围内获得了奖项。
实验旨在探究热传导的基本原理和规律，并提出了一种新的实验方法。
实验目的1. 理解热传导的概念和基本原理；2. 通过实验验证热传导的规律；3. 探索一种简单而有效的实验方法，以便在教学和科研中应用。
实验原理热传导是指热量从高温物体传递到低温物体的过程。
实验中使用了导热实验器具，通过不同材料的导热性能差异，观察和测量热量传导的速率和方式。
实验步骤1. 准备实验器具和材料：导热实验装置、热源、冷源、不同导热性能的材料；2. 将实验器具组装好，并将热源和冷源分别与导热器件接触；3. 观察不同材料之间的热传导过程，并记录数据；4. 测量热量传递的速率和方式；5. 分析实验结果，总结热传导的规律。
实验结果根据实验数据和观察，我们得出了一些结论：1. 导热性能较好的材料能够更快地传递热量；2. 导热实验器具的设计和材料的选择对热传导速率有重要影响；3. 热传导具有一定的方向性。
实验应用该实验方法可以应用于教学和科研中，有助于学生理解热传导的概念和规律。
同时，该实验方法也可以用于探索新材料的导热性能，为相关领域的科研提供参考。
结论通过这项实验研究，我们深入了解了热传导的原理和规律。
同时，我们提出了一种新的实验方法，能够帮助教学和科研工作更好地应用热传导的知识。
这一研究案例在全国范围内受到了认可，为日后的相关研究提供了基础和参考。
参考文献：[1] 张三，李四，王五. 热传导实验研究. 中国物理学会年会论文集. 20XX.。
热传导的机制和数学模型
热传导的机制和数学模型热传导是我们日常生活中常见的现象，它涉及热量从高温区域向低温区域的传递过程。
热传导的机制可以用分子动力学解释，同时也可以通过数学模型进行描述。
首先，我们来了解热传导的机制。
热传导主要是通过分子之间的碰撞和能量传递来实现的。
在一个固体中，分子之间存在着相互作用力，当一个分子具有较高的热能时，它会与周围的分子发生碰撞并将部分热能传递给它们。
这样，热能就会从高温区域向低温区域传导。
在液体和气体中，热传导的机制与固体有所不同。
在这些介质中，分子之间的距离较大，分子的运动更加自由。
热能的传递主要通过分子的扩散来实现。
当一个分子具有较高的热能时，它会通过碰撞和扩散将热能传递给周围的分子，随着时间的推移，热能会逐渐从高温区域向低温区域传导。
除了分子动力学的解释，热传导还可以通过数学模型进行描述。
热传导的数学模型基于热传导方程，也称为热方程。
热方程描述了热量在空间和时间上的分布。
它是一个偏微分方程，可以用来计算热传导的速率和温度分布。
热方程的一般形式如下：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度，t是时间，∂T/∂t表示温度随时间的变化率，∇²T表示温度的梯度。
α是热扩散系数，它与物质的热导率和密度有关。
通过求解热方程，我们可以得到热传导的数学模型。
这些模型可以用来预测物体的温度分布和热传导的速率。
在工程和科学领域中，这些模型被广泛应用于热传导问题的研究和解决。
除了热方程，还有其他一些数学模型可以用来描述特定条件下的热传导。
例如，斯托克斯方程可以用来描述流体中的热传导，它结合了流体动力学和热传导的特性。
此外，还有一些更复杂的数学模型，可以用来研究非线性热传导、相变热传导等特殊情况。
总之，热传导是热量从高温区域向低温区域传递的过程，它涉及分子之间的碰撞和能量传递。
热传导的机制可以通过分子动力学解释，并可以通过数学模型进行描述。
热方程是热传导的基本数学模型，它可以用来计算热传导的速率和温度分布。
热传导现象研究
热传导现象研究热传导是指热量通过固体、液体或气体中的分子和原子之间的相互碰撞传递的过程。
它是热量从高温区域向低温区域的传输方式之一。
热传导现象在生活中无处不在，对于我们理解能量传递和热力学过程有着重要的意义。
在本文中，我们将深入探讨热传导现象的研究。
一、热传导的基本原理热传导的基本原理可以通过固体中的分子振动和传递来解释。
当一个物体的一部分加热时，其分子会加速振动，并与附近的分子发生碰撞，将热能传递给它们。
这种传递过程会持续进行，直到整个物体的温度达到平衡。
二、热传导的数学模型为了更全面地研究热传导现象，科学家们发展了一系列数学模型来描述和预测热传导过程。
最著名的数学模型之一是傅里叶热传导定律。
该定律描述了热传导速率与温度梯度之间的关系，可以用以下公式表示：q = -k∇T其中，q是单位时间内通过单位面积的热量传递率，k是物质的热传导系数，∇T是温度梯度，表示单位长度内的温度变化。
傅里叶热传导定律为我们提供了量化热传导过程的工具，使得我们可以更好地理解和研究热传导现象。
三、热传导的影响因素热传导的速率受到多个因素的影响。
其中最重要的因素之一是物质的热导率，它描述了物质导热能力的大小。
不同物质的热导率不同，因此它们的热传导速率也会有所不同。
此外，热传导还受到温度差、材料的几何形状以及边界条件等因素的影响。
四、热传导的应用领域热传导现象的研究对于许多应用领域都有重要的意义。
例如，在工程领域中，我们需要了解材料的热导率以设计更高效的导热材料。
此外，在建筑领域中，研究热传导现象可以帮助我们设计更节能的建筑结构。
在电子领域，了解热传导现象对于设计更好的散热系统也非常重要。
五、热传导的改进和挑战虽然我们已经取得了对热传导现象的深入理解，但仍然有一些挑战需要克服。
一方面，我们需要研究更复杂的物质和结构，以更准确地描述热传导的过程。
另一方面，我们还需要发展新的材料和技术来改进热传导的性能，以满足日益增长的能源需求和环境保护要求。
热传导的数学模型与实际问题解析
热传导的数学模型与实际问题解析热传导是一个关于热能在物质中传递的过程的基本概念。
在许多实际问题中，热传导的数学模型可以帮助我们理解和解决各种与热相关的工程和科学问题。
本文将就热传导的数学模型及其在实际问题中的应用展开详细讨论。
一、一维热传导模型对于一维热传导，可以使用傅立叶热传导定律来描述。
该定律表达了热传导速度与温度梯度的关系，即热流密度等于热导率乘以温度梯度。
根据这一定律，我们可以推导出一维热传导方程，即热传导问题的基本方程。
二、热传导方程的解析解热传导方程是一个偏微分方程，可以使用分离变量法、拉普拉斯变换等方法求解。
在某些特殊情况下，我们可以得到热传导方程的解析解。
例如在均匀介质中的稳态热传导问题中，可以得到温度分布的解析解为线性函数。
这些解析解为我们解决实际问题提供了方便。
三、数值解法与计算模拟然而，大多数情况下，热传导方程很难得到解析解。
这时我们可以使用数值解法来求解热传导问题。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
这些数值方法可以得到近似解，帮助我们揭示实际问题中的热传导机理。
另外，计算模拟也是解决热传导问题的重要方法。
通过建立复杂的数值模型，我们可以模拟热传导在不同材料、结构和边界条件下的行为。
这种模拟方法在工程设计和科学研究中发挥着重要作用。
四、热传导问题的应用热传导问题在许多领域都有重要应用。
例如，在建筑工程中，我们需要了解建筑物的保温性能，来设计合适的隔热材料和结构。
在电子设备设计中，我们需要研究电子元件的散热问题，以确保设备的正常运行。
在材料科学中，了解材料的热传导性能对材料的性能和应用具有重要影响。
五、热传导过程中的优化与控制最后，热传导问题还可以通过优化与控制方法得到更好的结果。
例如，在工业生产中，我们需要优化工艺条件以提高热传导效率和能源利用率。
此外，在实际工程中，我们还可以通过控制边界条件、热源位置等手段来实现精确的温度控制。
综上所述，热传导的数学模型在解决实际问题中起着重要作用。
稳态热传导的数学模型与应用
稳态热传导的数学模型与应用随着现代经济的快速发展和人们对舒适生活的日益追求，热能的传导已经成为一个重要的研究领域。
热传导作为一个物理问题，涉及到许多重要的科学原理，其数学建模是了解热传导规律的关键。
在本文中，我们将介绍稳态热传导的数学模型与应用。
一、热传导的基本概念热传导是指能量在物质中的传递过程，也叫热传递。
它是由介质中更高温度地区向低温度地区传播，以达到温度均衡的过程。
热传导是指温度的差异在物体内部的传递，它能够衍生出恒温恒流、传热方程等重要参数。
二、稳态热传导数学模型的建立稳态热传导是指介质中的温度场和热流量场不随时间变化而保持不变的状态。
基于此，我们可以建立稳态热传导数学模型。
对于一维情况（例如在一个圆柱体内部），通过考虑一个长度为 L 的棒，用 x 表示位置，该棒内部的温度 T(x) 可通过热传导方程式表示为：$$\frac{d}{dx}(k(x)\frac{d}{dx}T(x))=0$$其中，k(x)是热导率。
对于稳态情况下的一维热传导，我们可以假设介质均匀、不可压缩且存在对称性，则上式可简化为：$$ \frac{d^2T(x)}{dx^2} =0 $$此时， T(x) 的导数为常数，即可求得稳态热传导的数学模型，即：$$ T(x) = \alpha x + \beta $$其中，α和β是常数，由边界条件和恒温定律给出。
三、稳态热传导在工程中的应用稳态热传导模型在工程领域中有广泛应用。
我们可以通过数学模型来分析材料的热传导特性并优化设计，以节约用能，提高传热效率。
例如，对于保温的材料，我们需要计算它的热导率，以此判断其保温效果，从而选择最合适的保温材料。
这时候，稳态热传导数学模型便在设计中发挥了不可替代的重要作用。
通过分析传热过程，我们可以选择热导率低、保温效果好的保温材料。
另外，稳态热传导模型还可以用于建筑隔热、芯片散热等传热问题的研究。
在这些应用中，我们可以通过研究热传导过程，设计更加高效的散热装置或改进建筑的隔热材料。
数值计算在热传导问题中的应用研究
数值计算在热传导问题中的应用研究随着科技的进步和计算机技术的发展，数值计算在各个领域的应用越来越广泛。
在热传导问题中，数值计算也扮演着重要的角色。
本文将对数值计算在热传导问题中的应用进行研究和探讨。
一、热传导问题简介热传导问题指的是在固体、液体或气体中，热量通过传导方式传输的过程。
在实际应用中，我们常常需要解决热传导问题，比如热传导材料的设计、热交换设备的优化等。
数值计算能够提供一种有效的方法来解决这些问题。
二、热传导方程热传导问题可以通过热传导方程来描述。
热传导方程是一个偏微分方程，它描述了温度随时间和空间的变化关系。
在数值计算中，我们需要将热传导方程离散化为差分方程，从而求解数值解。
三、数值计算方法在热传导问题中，常用的数值计算方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法中，有限差分法是最常用且易于实现的一种方法。
它将求解域离散化为有限个节点，并通过差分近似来计算节点上的温度值。
四、数值计算的步骤数值计算热传导问题的一般步骤包括：确定求解域、建立离散网格、设置边界条件、离散化热传导方程、迭代求解差分方程、分析结果等。
在每个步骤中，我们需要根据具体问题的特点来选择适当的数值计算方法和参数。
五、数值计算的优势相比传统的解析方法，数值计算在热传导问题中具有以下优势：首先，数值计算可以处理复杂的几何形状和边界条件，而解析方法常常只能求解简单情况；其次，数值计算可以快速获得数值结果，从而加快了热传导问题的求解过程；此外，数值计算还可以对不同参数进行敏感性分析和优化设计，从而帮助我们更好地理解热传导问题。
六、数值计算在热传导问题中的应用案例1. 热传导材料的设计：数值计算可以帮助我们设计高效的热传导材料。
通过数值模拟不同材料的热传导性能，我们可以评估其热导率、温度分布等参数，并选择合适的材料用于特定的应用场景。
2. 热交换设备的优化：在热交换设备的设计中，数值计算可以帮助我们优化其热传导性能。
通过数值模拟不同结构和材料的热传导过程，我们可以找到最优的设计方案，提高热交换设备的效率。
热传导中应用数学建模的探讨_许维珍
热传导中应用数学建模的探讨_许维珍热传导是热学中的一个基本概念，指的是物体内热量的传递过程。
在实际应用中，我们常常需要对热传导进行建模和分析，以便更好地理解和控制热传导过程。
数学建模则是将实际问题抽象成数学模型，并利用数学方法进行分析和求解的过程。
本文将探讨在热传导中应用数学建模的一些思路和方法。
首先，热传导过程可以用热传导方程进行描述。
热传导方程是一个偏微分方程，可以通过对物体内各点温度的关系进行推导得到。
一般情况下，热传导方程是一个二阶偏微分方程，其中包含了物质的热传导性质、温度分布及其变化率等因素。
对于一维的热传导过程，可以用以下形式的热传导方程描述：\[\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial ^2 T}}{{\partial x^2}}\]其中，\(T\)表示温度，\(t\)表示时间，\(x\)表示空间坐标，\(\alpha\)表示热扩散系数。
通过对热传导方程进行求解，可以得到物体内各点温度随时间和空间的变化规律。
这就为我们研究物体的热传导性质提供了一个数学模型。
其次，对热传导过程进行数值模拟是研究热传导的常用方法之一、数值模拟的基本思路是将物体划分为若干个小区域，然后对每个小区域进行数值计算，最后得到整个物体的温度分布。
常用的数值方法有有限差分和有限元方法。
有限差分方法将时间和空间进行离散化，然后通过数值逼近来求解热传导方程。
有限元方法则是将物体划分为若干个小单元，在每个小单元内近似求解热传导方程，然后通过组装所有小单元的解来得到整个物体的温度分布。
这些数值方法在实际工程中被广泛应用，可以快速得到物体的温度分布，并且可以进行不同条件下的模拟和优化。
此外，对于复杂的热传导问题，还可以引入辅助变量、辅助方程和辅助条件等来进行建模和求解。
这些辅助变量和辅助方程可以帮助我们更好地描述和分析热传导过程中的其他因素，如辐射传热、相变等。
热传导的数学模型与应用
热传导的数学模型与应用热传导是研究热传输过程的一种方法，它基于物质的热运动，描述了热能在空间中沿着温度梯度传导的过程。
在现实世界中，热传导的应用广泛，例如工程传热、地质传热等。
本文将介绍热传导的数学研究领域及其在应用中的一些方法和技术。
一、一维热传导的数学模型考虑一根长为L的均匀导热杆，其温度分布随时间的变化可以描述为以下偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，u表示温度，k是杆的热导率。
这个方程是著名的热传导方程，它描述了热传导现象的基本规律。
对于一维的情况，我们可以设计一些边界条件来求解这个方程。
例如，假设杆的两端分别接触两个热库，温度分别为$u_0$和$u_L$，则可以给出如下的边界条件：$$u(0,t)=u_0,\quad u(L,t)=u_L$$此外，还需确定初始条件，即$t=0$时的温度分布：$$u(x,0)=f(x)$$为了求解这个问题，我们可以采用变量分离法或者傅里叶变换等数学工具求解上述偏微分方程，进而得到温度分布随时间的变化规律。
这个问题在工程中有很多应用，例如热传导计算、材料热处理等。
二、二维热传导的数学模型对于二维的情况，即热传导在一个平面上进行时，我们需要引入两个空间变量$x,y$，此时热传导方程变为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$同样地，我们还需要给出边界条件和初始条件。
例如，假设平面上存在一个温度分布为$u(x,y,0)=f(x,y)$的初始温度分布，则边界条件可以取如下形式：$$u(x,0,t)=u(x,L,t)=u(0,y,t)=u(W,y,t)=0$$其中，L和W分别表示平面的长度和宽度。
《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》范文
《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》篇一一、引言热传导现象是物理学中常见的重要现象，它在众多领域，如工程热学、材料科学、环境科学等都有着广泛的应用。
对热传导问题的研究，无论是正问题还是反问题，都具有重要的理论价值和实际意义。
本文将重点研究求解热传导正问题和反问题的数值方法。
二、热传导正问题的数值方法热传导正问题是已知热源分布和初始条件，求解温度场分布的问题。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、边界元法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种直接求解偏微分方程的方法，它通过将偏微分方程转化为差分方程来求解。
在求解热传导正问题时，可以将空间离散化为网格，通过离散后的差分方程求解各网格点的温度值。
2. 有限元法有限元法通过将连续的求解域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体，通过对每个单元进行局部近似来求解整体问题。
在求解热传导正问题时，有限元法可以有效地处理复杂的几何形状和材料性质。
三、热传导反问题的数值方法热传导反问题是根据温度场分布反推热源分布或初始条件的问题。
由于反问题的解往往不唯一，因此需要采用特定的数值方法进行求解。
常用的方法包括反投影法、伴随变量法、迭代法等。
1. 反投影法反投影法是通过将温度场分布投影到热源空间，然后通过迭代计算求解热源分布的方法。
该方法在处理反问题时具有较好的稳定性和收敛性。
2. 伴随变量法伴随变量法是通过引入伴随变量，将反问题转化为优化问题，然后通过优化算法求解的方法。
该方法可以有效地处理复杂的反问题，但计算量较大。
四、数值方法的比较与选择对于不同的热传导问题和不同的计算需求，需要选择合适的数值方法进行求解。
在求解热传导正问题时，有限差分法和有限元法都是常用的有效方法；而在求解热传导反问题时，反投影法和伴随变量法具有较好的应用效果。
在实际应用中，还需要考虑计算精度、计算速度、计算成本等因素，综合选择合适的数值方法。
五、结论本文研究了求解热传导正问题和反问题的数值方法，包括有限差分法、有限元法、反投影法和伴随变量法等。
《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》范文
《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》篇一一、引言热传导正问题和反问题是热力学和计算科学领域的重要研究课题。
正问题主要关注于给定初始条件和边界条件下的温度分布预测，而反问题则致力于从已知的温度分布中推断出初始条件或边界条件。
这两类问题在许多工程和科学领域都有着广泛的应用，如材料科学、医学影像和地热研究等。
本文旨在研究求解热传导正问题和反问题的数值方法，包括其理论背景、研究现状以及改进策略。
二、热传导正问题的数值方法1. 有限差分法有限差分法是一种求解热传导正问题的常用方法。
该方法通过将偏微分方程转化为差分方程，从而在空间和时间上对温度场进行离散化处理。
其优点在于计算简单，但需要合适的网格划分和步长选择。
2. 有限元法有限元法通过将连续的求解区域离散化为有限个单元，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
该方法具有较高的求解精度和灵活性，适用于复杂形状和边界条件的问题。
3. 研究现状与改进策略目前，针对热传导正问题的数值方法已经取得了显著的进展。
然而，仍存在一些挑战，如网格划分、计算精度和计算效率等问题。
为了解决这些问题，研究者们提出了多种改进策略，如自适应网格技术、并行计算等。
三、热传导反问题的数值方法1. 反问题的基本理论热传导反问题主要涉及到从已知的温度分布中推断出初始条件或边界条件。
由于缺乏足够的信息，反问题通常具有多解性。
因此，需要采用合适的数值方法和约束条件来求解反问题。
2. 优化算法优化算法是求解热传导反问题的常用方法。
其中，梯度法、最小二乘法和遗传算法等被广泛应用于实际问题中。
这些方法通过不断调整初始条件或边界条件，使得计算得到的温度分布与实际测量值之间的差异最小化。
3. 研究现状与改进策略虽然优化算法在求解热传导反问题中取得了一定的成果，但仍存在一些挑战，如算法的稳定性和收敛性等问题。
为了解决这些问题，研究者们提出了多种改进策略，如引入先验信息、采用多目标优化等。
四、实例分析本部分将通过具体实例分析求解热传导正问题和反问题的数值方法的应用。
热传导模型及其应用研究
热传导模型及其应用研究热传导模型是热传导理论的基础，对材料的热传导性能进行研究，可以帮助我们了解材料的热传导特性、优化材料的热设计等。
本文将探讨热传导模型的相关概念、研究进展以及应用研究领域。
一、热传导模型的概念热传导模型是一种以数学公式为基础，描述物质内部热传导规律的模型。
这种模型通常采用热传导方程式进行描述，即：∇·(k∇T) = ρCp∂T/∂t其中，k为材料的热导率（单位为W/mk），T为物质内部温度，ρ为材料的密度（单位为kg/m³），Cp为材料的比热（单位为J/kgK），t为时间。
该方程式描述了热传导的基本规律，即热从高温区域向低温区域传递，并以一定的速率进行。
二、热传导模型的研究进展热传导模型的研究始于18世纪，当时的科学家尚未发现热传导与热辐射等现象的关系。
直到19世纪初，法国物理学家傅科发现热辐射的性质与热传导存在着本质的联系，同时提出了傅科定律，即热流密度与温度梯度成正比。
此后，热传导模型的研究取得了重大进展。
20世纪初，德国物理学家热因兹提出了热传导方程式，为热传导模型的进一步研究奠定了基础。
随着计算机技术的发展，热传导模型的精度和适用范围也得到了不断提高。
三、热传导模型的应用研究热传导模型在材料研究、能量转化等领域有着广泛的应用。
1. 材料热传导性能研究热传导模型可以帮助研究材料的热传导性能，包括其热阻、热传导系数等指标。
这对于材料的热设计、制造工艺等方面的优化都有着重要的意义。
2. 能量转化系统研究在能量转化系统中，热传导模型也起着重要的作用。
例如，太阳能电池板的工作原理就是将光能转化为热能，再将热能转化为电能，其中的热传导规律需要采用热传导模型进行解析。
类似地，在核燃料棒的热传导分析中，热传导模型也起着至关重要的作用。
3. 温度场研究在一些要求温度控制比较严格的领域，例如微电子器件的制造过程中，掌握温度场变化规律是非常重要的。
热传导模型不仅可以计算物体内部温度分布，还能够对物体表面的热传导情况进行分析。
热传导与热扩散的数学模型分析
热传导与热扩散的数学模型分析热传导与热扩散是物理学中的重要概念，它们描述了热量如何在不同材料中传递和扩散。
而数学模型可以帮助我们更好地理解热传导和热扩散的过程。
本文将通过分析热传导与热扩散的数学模型，来深入探讨这一现象。
一、热传导热传导是指热量在相互接触的物体中由高温区向低温区传播的过程。
那么如何用数学模型来描述这一过程呢？我们可以利用热传导方程来进行分析。
热传导方程的一般形式为：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度的分布，t是时间，∇²是拉普拉斯算子，α是热扩散系数。
这个方程描述了温度随时间变化的规律。
我们可以通过对热传导方程进行求解，得到温度的变化规律。
通过这个模型，我们能够预测热能是如何在材料中传播的。
这对于很多工程领域的设计和计算都有着重要的意义。
二、热扩散热扩散是指热量从高温区向低温区的自发传播，它与热传导紧密相关。
与热传导不同的是，热扩散主要考虑的是热量传递的速度和范围。
数学模型中可以使用扩散方程来描述热扩散的过程。
扩散方程的一般形式为：∂u/∂t = D∇²u其中，u是扩散场的变量，t是时间，∇²是拉普拉斯算子，D是扩散系数。
扩散方程描述了扩散场随时间变化的规律。
通过求解扩散方程，我们可以得到热量在材料中扩散的速度和范围。
这对于热传导现象的进一步研究和应用有着重要的意义。
三、应用实例热传导与热扩散的数学模型在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明。
①焊接过程中的热传导在焊接过程中，熔化金属的高温区域和周围材料的低温区域之间存在热传导现象。
通过建立热传导模型，我们可以预测焊接过程中温度的变化，并优化焊接工艺，以达到更好的焊接质量。
②热电材料中的热扩散热电材料可以将温度差转化为电能。
热扩散的理论可以帮助我们研究热电材料中热量的传递过程，预测热电材料的性能，并为热电转换器的设计提供理论依据。
③热传导模型在城市规划中的应用在城市规划中，合理的热传导模型可以帮助我们分析和设计城市热环境。
热力学中的热传导和热辐射的数学模型
热力学中的热传导和热辐射的数学模型热力学是研究能量转化与传递的科学领域，其中热传导和热辐射作为热能传递的两个重要方式，在热力学中有着重要的地位。
为了准确描述和分析热传导和热辐射的过程，数学模型成为必不可少的工具。
本文将深入探讨热传导和热辐射的数学模型。
热传导（Thermal Conduction）是指热能通过物质内部由高温区向低温区的传递过程。
一维热传导问题可以通过热传导方程进行描述。
热传导方程的一般形式为：\[ \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2T}}{{\partial x^2}} \]其中，\( T \) 是温度场，\( t \) 是时间，\( x \) 是空间坐标，\( \alpha \) 是热扩散系数。
该方程说明了温度场随时间和空间的变化规律。
为了求解热传导方程，需要确定边界条件和初始条件。
常见的边界条件有第一类边界条件和第二类边界条件。
第一类边界条件是指在边界上给定温度值，例如：\[ T(0,t) = T_A, \quad T(L,t) = T_B \]其中，\( T(0,t) \) 和 \( T(L,t) \) 分别是左端和右端的温度，\( T_A \)和 \( T_B \) 是给定的温度值。
第二类边界条件是指在边界上给定热流密度，例如：\[ -k \frac{{\partial T}}{{\partial x}} (0,t) = q_0, \quad -k \frac{{\partial T}}{{\partial x}} (L,t) = q_L \]其中，\( k \) 是热导率，\( q_0 \) 和 \( q_L \) 是给定的热流密度值。
初始条件是指在初始时刻 \( t = 0 \) 时的温度分布，例如：\[ T(x,0) = f(x) \]其中，\( f(x) \) 是给定的初始温度分布函数。
数学建模在传热学中的应用
数学建模在传热学中的应用从物理学角度讲，热量传递无处不在。
人类从事各项生产及生活过程中，热量传递起到十分重要的作用。
本文通过数学建模相关理论，以传热学定律作为依据，按照相关傅里叶定律概念，并根据热传导过程科学组建模型。
按照有关统计分析的方式方法，注重演绎推理科学运用；同时采取一定假设，着力于平壁导热模型。
标签：数学建模；传热学；应用现阶段自然科学不断发展，工程技术同样取得进步，与此同时，数学建模得到广泛普及与推广。
只有不断加强定量化研究，才能有助于各项学科发展，并为其提供良好的理论及方法。
能量转换利用过程中，热能利用非常普遍，只有注重科学利用热能，才能真正解决当前能源短缺等一系列问题，并真正推动社会不断发展。
一、传热学简介1.传热过程概述在工程建设开展过程中，在固体壁面两侧通常会出现流体热交换现象。
比如说，热量如果位于蒸汽管道，高温蒸汽容易扩散，借助管壁等途径实现热量传递，并使周边空气吸收热量。
对于暖气片来说，热水中含有一部分热量，热量只有送达室内，才能给室内带来温暖。
又如，电冰箱运行过程中，散热片热量也在进行传递。
从传热学角度讲，热量经由固体壁侧逐渐将流体传递至另一区域。
2.导热基本概念温度场主要是指借助温差为热量传递过程提供动力。
无论是哪种传热方法，都与物体温度具有一定关联。
针对任意时刻T，在物体内部，不同点温度分布呈现不同，我们一般称其为此时温度场。
从同一时刻来说，在温度场范围内，如果将温度相同点进行连接，最终构成一条线，则称其为等温线。
对于等温面来说，其中随便一条线可以称之为等温线。
二、平壁稳态导热的数学模型和有关应用1.平壁稳态方面导热数学模型概述在平时生活及工程方面，无论是平壁还是圆筒壁，都是一维导热范畴。
在平壁导热方面，数学模型构建过程中，应明晰稳态导热概念。
在稳态导热情况下，尽管时间逐渐发生变化，但温度场始终不变。
对于平壁两表面来说，如果始终保持温度不变，此时平壁导热过程从性质上讲是一维稳态导热，此时应对平壁表面积予以假定，并假设一定厚度，而其中的热导率本身属于常数，并没有内热源。
热传导的数学模型与实验验证
热传导的数学模型与实验验证在我们的日常生活中，热传导是一种广泛存在且具有重要影响的现象。
无论是煮饭、取暖还是电器工作，热传导都扮演着不可或缺的角色。
为了更好地理解和预测热传导的规律，科学家们开发了各种数学模型，并进行了一系列实验验证。
首先，我们来讨论热传导的基本原理。
热传导是指热量沿着温度梯度从高温区域流向低温区域的过程。
它在实际中遵循热量自然向稳定状态的趋势，即热量总是从高温物体流向低温物体，直到两者达到热平衡。
为了数学建模的目的，我们假设热量的传导速度与温度差成正比。
这个关系可以用Fourier定律来描述，即热流密度与温度梯度成正比。
根据Fourier定律，我们可以推导出热传导的数学模型。
首先，我们需要引入一个重要的物理量——热扩散系数，代表了物质对热传导的响应能力。
热传导的数学模型可以用偏微分方程来表示，其中的温度分布函数随着时间和空间的变化而改变。
对于一维情况，我们可以使用著名的一维热传导方程来描述：∂u/∂t = α∂²u/∂x²在上述方程中，u代表温度分布函数，t代表时间，x代表空间坐标，α代表热扩散系数。
这个方程描述了温度分布随时间变化的规律。
为了验证这个数学模型，科学家们进行了一系列实验。
例如，他们可以通过观察烧杯中的热水在不同时间下的温度分布来收集数据，并与数学模型中的解进行对比。
实验结果表明，数学模型可以较好地预测热传导的规律。
通过不断优化模型参数和改进实验设计，科学家们逐渐提高了对热传导行为的理解和预测能力。
除了一维热传导模型，我们还可以推广到更复杂的情况。
对于二维和三维热传导，我们可以将偏微分方程扩展为二维和三维形式，并使用适当的初始条件和边界条件。
这些扩展的模型可以更准确地描述现实世界中的热传导过程，比如在传热工程、材料科学等领域的应用。
此外，为了进一步提高对热传导的模拟和预测能力，科学家们也使用了其他数值方法，比如有限元法、有限差分法等。
这些方法通过将连续的偏微分方程离散化为差分方程，求解出更精确的近似解。
高温作业专用服装设计
高温作业专用服装设计作者：蒋俊林来源：《艺术科技》2019年第13期摘要：本文以2018全国大学生数学建模竞赛A题为例，研究高温作业专用服装设计。
高温专用服装通常由三层织物材料构成，记I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。
本文考虑两种工作情况：一是环境温度65℃、IV层厚度5.5mm时，确定II层最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃，且超過44℃时间不超过5分钟。
二是环境温度80℃时，确定II、IV层最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃时间不超过5分钟。
针对情况一：根据已知条件，用电学类比热学，建立基于电学的热力方程式的防热服外表温度变化模型。
使用基于遗传算法和非线性规划的函数寻优算法，得到II层最优厚度10.7842mm。
针对情况二：采用电热类比的优化模型，通过理论推导和数值实验分析环境温度、工作时间等参数对II层厚度、IV层厚度等状态的影响。
确定环境温度、工作时间和服装固定厚度系统参数，使II、IV层厚度及假人皮肤外侧温度尽量小。
结合约束条件，使用遗传算法进行最优解逼近，求得II、IV层最优厚度分别为13.4739mm、3.7435mm。
关键词：热传递方程;有限差分法;电热类比;遗传算法;非线性规划的函数寻优算法模型假设：（1）外界环境到人体皮肤表面的热传递过程是一维的。
（2）外界环境与防热服外表面之间的热对流和热辐射忽略不计。
（3）空隙层之间的热对流忽略不计。
（4）防热服各层材料间及防热服与皮肤间的温度分布连续且存在梯度。
（5）初始情况下，服装中各层温度为37℃。
（6）空隙层中温度分布处于稳态。
II层最优厚度优化模型：本文中，将防热服两侧初始温度差类比初始电压值，最终温度差类比终止电压值，任意时刻t防热服上温度差比作任意时刻t电容上电压值，防热服各层材料热阻之和比作电容中充电电源电阻，比热容比作电容。
偏微分方程在热传导问题中的数学建模
偏微分方程在热传导问题中的数学建模热传导是物质内部热量的传递过程。
在许多实际问题中，我们需要对热传导进行建模和分析，以便更好地理解和解决相关的工程和科学问题。
而偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，其中热传导问题常常用到的偏微分方程是热传导方程。
热传导方程是一个描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它的一般形式是：∂u/∂t = α∇²u其中u是温度场，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
我们可以通过对热传导方程的数学建模，来研究和解决与热传导相关的问题。
下面，我们将以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个长方形的金属棒，它的一端被加热源加热，另一端与环境接触。
我们想要研究金属棒内部的温度分布随时间的变化情况。
首先，我们需要确定金属棒的几何形状和初始条件。
假设金属棒的长度为L，宽度为W，高度为H。
我们可以将金属棒划分为若干个小的立方体单元，每个单元的边长为Δx，Δy，Δz。
这样，我们可以用一个三维网格来表示整个金属棒。
接下来，我们需要确定边界条件。
在这个例子中，我们假设金属棒的一端被加热源加热，另一端与环境接触。
因此，我们可以将加热源处的温度设为一个常数T1，而环境温度设为另一个常数T2。
这样，我们就确定了边界条件。
然后，我们可以利用有限差分法来离散化热传导方程。
我们可以用u(i,j,k)来表示网格点(i,j,k)处的温度。
根据有限差分法的思想，我们可以将热传导方程离散化为以下形式：u(i,j,k,t+Δt) = u(i,j,k,t) + αΔt((u(i+1,j,k,t)-2u(i,j,k,t)+u(i-1,j,k,t))/Δx² + (u(i,j+1,k,t)-2u(i,j,k,t)+u(i,j-1,k,t))/Δy² + (u(i,j,k+1,t)-2u(i,j,k,t)+u(i,j,k-1,t))/Δz²)其中Δt是时间步长。
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ｋ
!Ｔ !ｙ
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＋ｇ（ｒ，ｔ）
（５）
在柱（ 圆柱） 坐标系（ｒ，’，ｚ）内， （１）可变为
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! !)
ｋ !Ｔ !*
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＋ｇ（ｒ，ｔ）
（６）
在球坐标系（ｒ，+，,）内， （１）可变为
% & -ｃ
由于通过行函数单元上任何一点的温度 Ｔ 可
用其点上的来表示， 即有
ｎｉ
) Ｔｉ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ Ｎｉｊ（ｘ，ｙ，ｚ）Ｔｉｊ（ｔ）Ｌ Ｌ
（１１）
ｊ＝１
式中 ｉ 为下标， 第 ｉ 个单元， ｎｉ 为第 ｉ 个单元的 节 点 数 ， Ｎｉｊ 为 第 ｉ 个 单 元 ｊ 个 节 点 的 形 函 数 ， Ｔｉｊ 为 第 ｉ 个单元 ｊ 个节点的温度．
·２８·
这时泛函近似为
ｍ
)*’# % &( ’ + Ｊ＝ ｉ＝１
ｖｉ
ｋｉ （"Ｔｉ）２－ ２
ｇｉ－
$ｉｃｉ
!Ｔｉ !ｔ
Ｔｉ ｄｖ＋
ｓｉ
ｈｉ ２
（Ｔｉ－ Ｔｉ０）２ｄｓ
式中 ｍ 为单元数，
２
２
２
% & % & % & （"Ｔｉ）２＝
!Ｔｉ !ｘ
＋
!Ｔｉ !ｙ
＋
!Ｔｉ !ｚ
２
% & 现以式中的第二项 !Ｔｉ !ｙ
摘 要： 建立数学模型是解决实际问题的一种重要的有效方法， 它是数学应用的主要思想方法．热传导 是生产和生活中普遍存在的物理现象， 应用数学模型对热传导现象中的温度分布、热流强度进行分析， 对 控制和改进热量传递的方法和技术措施， 有着重要的意义．文章就用数学建模探讨了一些较为复杂的热传 导过程， 以进一步说明数学建模的应用．
% & 的， 所以有
!Ｔ !ｙ
２
Ｔ-
0
. .
１
1 1
.
1
＝［Ｔ１，Ｔ２，Ｔ３］ｇｋｙｇ
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.
.２
1 1 1
.
1
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1
Ｔ..
11
/３ 2
经上述处理， 微分项转化为代数项， 根据泛函
理论， 当 Ｔ 为真实解时， 泛函为极小值， 这时泛函对
所有节点温度的偏导数都为零， 即 !Ｊ ＝０， 于是就 !Ｔｉｊ
得到一组方程， 其中每个方程都有一个微分项
为了建立数学模型， 必须先了解一下热传导的 一些知识， 由文〔２〕〔３〕可知：
·２６·
由于温度不均匀， 热量从温度高的地方向温度
低的地方转移， 这种现象叫作热传导．在热传导问
题中研究的是温度分布 Ｔ（ ｒ， ｔ） ， 即在某一时刻 ｔ， 物
体内各点的温度分布， 它是空间位置与时间的函
数， 当温度场随时间变化时， 这时的导热叫非稳态
第 ２４ 卷 第 ４ 期 ２００８ 年 ７ 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ２４ Ｎｏ． ４ Ｊｕｌ． ２００８
热传导中应用数学建模的探讨
许维珍
（ 福建交通职业技术学院 基础部， 福建 福州 ３５０００７）
热传导是普遍存在的物理现象， 对人们的生产 和生活实践有着广泛而深刻的影响．因此， 掌握控 制和改进热量传递的方法和技术措施， 无论对国民 经济建设还是改善人民生活都具有重要的意义．在 热传导中建立数学模型分析温度分布或热流强度， 来指导控制和改进热量传递的方法和技术措施， 是 本文探讨的目的．文〔１〕探 讨 了 几 个 简 单 的 一 维 稳 态热传导的数学建模过程， 为了更进一步的说明数 学建模的应用， 本文就用数学建模探讨更为复杂的 热传导过程．
轮胎使用寿命延长， 需要计算分析轮胎在滚动中的
温度分布， 试建立数学模型加以分析．
模型假设：
（ １） 热量的传播过程只有传导 ， 忽略对流和辐
射的作用；
（ ２） 轮胎热传导系数、比热容等物性参数视为
常数；
（ ３） 将轮胎形状视为轴对称， 忽略轮胎周向变
形和胎面花纹沟的影响；
（ ４） 轮胎内部产生的热量， 即内热源 ｇ（ｒ，ｔ）等于
温度较高的点域， 埋设微型温度传感器， 将有助于
人们准确掌握轮胎生热和温度升高情况， 避免轮胎
在其临界温度下高速运转， 防止汽车“爆胎”现象发
生．
例 ３ 一块玻璃板， 厚度为 ｘ， ０≤ｘ≤Ｌ， 初始温
（ ２） 组织的光热性质不变， 即 ｋ，5，ｃ 不随生物组
织的温度、水分、蛋白质和脂肪含量的变化而变化．
模型构成：
在上述假设的条件下， 激光诱发的组织的热效
应 所 对 应 的 生 物 热 传 导 ， 遵 循 着 柱 坐 标（ｒ，6，ｚ）下 的
导热微分方程（６）， 因皮肤组织的 Ｔ 不随 7 变化， 所
料导热系数．
由傅利叶定律知道， 要计算物体的热流强度，
除了要知道物体材料的热传导系数外， 还必须知道
物体的温度分布， 为求得温度分布， 必须首先建立
描 述 温 度 场 一 般 性 规 律 的 微 分 方 程— — — 即 导 热 微
分方程．仿照扩散问题， 应用热传导定律和能量守
恒定律， 可得均匀物体内含有热源的各向同性物体
导热， 当温度场不随时间变化时， 叫稳态导热； 热传
导的起源是温度的不均匀， 温度不均匀的程度可用
温度梯度!Ｔ（ ｒ， ｔ） 表示， 热传导的强弱可用热流强
度 ｑ（ ｒ， ｔ） ， 即单位时间通过单位等温面的热流量．根
据实验结果， 热传导现象所遵循的热传导定律， 是
傅 利 叶 定 律 ｑ（ ｒ， ｔ） ＝－ ｋｇ!Ｔ（ ｒ， ｔ） ｗ／ｍ２， 式 中 ｋ 是 材
. . . . . .
!Ｎ２ !ｙ
.
.
!Ｎ .
.
.
３
!ｙ .
. /
0
1
1
1
1
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1
ｇ1
1 1
!Ｎ１ ， !Ｎ２ ， !Ｎ３ !ｙ !ｙ !ｙ
1
1
1
1
1
1
1
2
Ｔ-
0
. .
１
1 1
$Ｔ.
1
.
1
.
1
.２ 1
.
1
.
1
Ｔ..
11
/３ 2
上式中间两个矩阵相乘所得结果为一个 ３ 阶
矩阵， 记为 ｋｙ， 对已划分好的单元来说， 其值是确定
组织对激光辐射的热响应 ， 即 温 度 分 布 Ｔ（ｒ，ｚ，ｔ）， 再
利用下面的式子来定量分析皮肤组织的损伤程度．
’ｔ
>（ｔ）＝Ａ ｅｘｐ %－ Ｅ ＲＴ（ｒ，ｚ，ｔ）&ｒｔＬ Ｌ
（９）
０
其中 Ｒ 是普适气体常数， Ａ 和 Ｅ 是比例系数，
对于皮肤组织， 它们是确定的．
因 为 当 ０ ≤?ｐ０．５３ 时 ， 组 织 不 会 损 伤 ； 当
!Ｔ !ｔ
＝
１ ｒ２
! !ｒ
ｋｒ２ !Ｔ !ｒ
＋
１ ｒ２ｓｉｎ.
! !/
% & % & ｋｓｉｎ0
!Ｔ !1
＋
１ ｒ２ｓｉｎ２2
! !3
ｋ
!Ｔ !4
＋ｇ（ｒ，ｔ）
（７）
以上这些导热微分方程是描写物体的温度随
空间、时间变化的一般性关系式， 在推导过程中没
有涉及导热过程， 它们有无数个解， 为了完整的描
０．５３≤@ｐ１ 时， 组织发生可逆损伤； 当 A≥１ 时， 组
·２７·
织发生不可逆损伤， 因此， 只要求出温度分布 Ｔ（ｒ，ｚ，
ｔ）， 根据公式（９）， 就可方便计算出组织的损伤 程 度．
依据这结果， 就可尽量优化激光治疗的参数， 达到
最佳的治疗效果．
例 ２［５］ 为 了 降 低 轮 胎 在 滚 动 中 的 生 热 ， 使 得
（１）
模型求解：
将方程（１）改写为
% & ｋ２"Ｔ＋
ｇ－ "ｃ !Ｔ !ｒ
＝０Ｌ Ｌ
（１０）
其自然边界条件为
－
ｋ
!Ｔ !ｎ
＝ｈ（Ｔ－ Ｔ０），
式中
ｈ
为
换热系数， Ｔ０ 为环境温度， ｎ 为法向， 其泛函表示为
’# % & ( ’ Ｊ＝ ｖ
ｋ （"Ｔ）２－ ２
ｇ－
#ｃ
!Ｔ !ｒ
Ｔ ｄｖ＋
ｓ
ｈ ２
（Ｔ－ Ｔ０）２ｄｓ
若 ｋ 为常数且没有内热源时， 方程（２）成为扩散
方程或傅利叶方程
!Ｔ（ｒ，ｔ） ＝%"２Ｔ（ｒ，ｔ）
（３）
!ｔ
在稳态条件下， 方程（３）简化成拉普拉斯方程
!Ｔ（ｒ，ｔ） ＝０
（４）
!ｔ
在直角坐标系（ｘ，ｙ，ｚ）下， （１）可变为
# $ % & % & &ｃ
!Ｔ !ｔ
＝
! !ｘ
ｋ
!Ｔ !ｘ
＋
! !ｙ
也是最重要的一步， 对数学模型求解， 就可以得到
物体的温度分布， 进而根据傅利叶定律就可以确定
相应的热流强度．
下面通过几个实例说明研究热传导过程是怎
样应用数学建模的．
例 １［４］ 医院里常用激光治疗皮肤病及体内组