空间两点间距离公式含详解
2023届福建省安溪一中数学高一上期末复习检测模拟试题含解析
SAB
和△
SAC
的重心，所以
SG1 SM
SG2 SN
,所以 G1G2
/
/ MN
．又因为
M、N
分别为
AB、
AC 的中点，所以 MN//BC，所以 G1G2 / / BC
考点：线面平行的判定定理；线面平行的性质定理；公理 4；重心的性质
点评：我们要掌握重心性质:若 G1 为△ SAB 的重心，M 为 AB 中点，则 SG1 2 SM 1
所以甲组数据的中位数是 45，
由茎叶图可知乙组数据共 9 个数，又 925% 2.25 ，
所以乙组数据的 25%分位数是 35.
故答案为：45；35.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） ；（2）最大值为 2 ，最小值为 1..
【解析】（1）根据最小正周期的计算公式求解出 f x 的最小正周期；
故答案为： 2 .
7 / 12
【点睛】本题考查空间两点的距离公式的运用，考查运算能力，是一道基础题.
14、 4 ##11 33
【解析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.
【详解】因 tan
x
1 2
，则
tan 2x
2 tan x 1 tan2 x
2 1 2
1 (1)2
4 3
，
2
所以 tan 2x 的值为 4 . 3
（2）先求解出
2x
4
的取值范围，然后根据正弦函数的单调性求解出
f
x 在区间
8
,
3 4
上的最值.
【详解】（1）因为 f (x)
2
sin
空间两点间距离公式含详解
一、选择题
1．点 P 22， 33，－ 66到原点的距离是
()
30 A. 6
B．1
33 C. 6
35 D. 6
[答案] B
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是
()
A．|a|
二、填空题 4．已知点A在x轴上，点B(1,2,0)，且d(A，B)＝，则点 A的坐标是____________． [答案] (0,0,0)或(2,0,0) [解析] 设点A坐标为(x,0,0)，
解得x＝0或x＝2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0)．
5．已知点P在z轴上，且d(P，O)＝1(O是坐标原点)， 则点P到点A(1,1,1)的距离是________．
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐 标满足的条件．
[解析] 设 P(x，y，z)， 则 PA＝ (x－2)2＋(y－3)2＋z2， PB＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. ∵PA＝PB， ∴ (x－2)2＋(y－3)2＋z2＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. 化简得 6x－4y－13＝0. ∴点 P 的坐标满足的条件为 6x－4y－13＝0.
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标 系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、 B、C三点在同一条直线上．
[解析] d(A，B)＝ (2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝ 21， d(B，C)＝ (3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝ 21， d(A，C)＝ (3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝2 21， ∴AB＋BC＝AC，故 A、B、C 三点共线．
四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2025届高一上数学期末质量检测试题含解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设 p ： x 2 ， q ： x2 2 ，则 p 是 q 的（）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2．设集合 M x Z x 1 2 , N y N y x2 2x 1, x R ，则（）
3
3
3
3
6
6、B
【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合 B ，利用并集的定义求解即可.
【详解】由一元二次方程的解法化简集合，
B x x x 3 0 x | x 3或 x 0，
A x | 1 x 2 ，
A B x | x 2 或 x 3 ，故选 B.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为 元素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 或属于集合 B 的元素的集合. 7、A 【解析】
1
3 2 1 3
3
，
sin 3cos tan 3 2 3 11
3
故选：B
4、B
【解析】根据函数模型，列出关系式，进而结合对数的运算性质，可求出答案.
【详解】普通列车的声强为 I1 ，高速列车声强为 I 2 ，
解：设由题意
95
10
lg
I1 1012
,
45
10
lg
I2 1012
，
95
则
A. N M C. N M
B. M N
D. M N
3．若
tan
4
5
，则
3sin cos sin 3cos
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析
成都高2025届高二期末考试数学复习试题（三）（答案在最后）一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.设直线l sin 20y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î，，，则由直线可得tan a q =Î，所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕，故选：D2.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,3d =可得(c ∈-⋃，经验证，3c =∈，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.3.若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的）A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =，由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -，结合222a b c =+可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为：22221x ya b+=，由题意b =，a c -=所以2a c ===，c =a =，3b =，所以椭圆方程为：221129x y +=，当椭圆焦点在y 轴上时，同理可得：221912x y+=，故选：B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ，对于B 项把月利润增长指数从小到大排列，计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A 不正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，故B 错误；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C 正确；P （2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）26211C 3C 11==，故D 错误.故选：C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -，则下列结论不正确的是（）A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =，则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据共面向量基本定理判断C ，根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==，||7AC ==，故A 正确；因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=，所以AB AC ⊥，故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--，(4,1,9)AP →=-，所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-，所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内，故B 正确；因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ，显然不成立，故D 错误.故选：D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为80706090+=+，因此平均数不变，即70X =，设其他48个数据依次为1248,,,a a a ，因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ，()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ，()250751004001004000s -=--=-<，∴275s <，故选：D ．7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =.如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB = ，()0,4,2CP = ，()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ （其中AB 为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（）A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ∈(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ，∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,===b a c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠，∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选：B.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ，求出A B ⋃的概率判断C ，由公式()()()P AB P A P B =判断D ．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，事件A 含有的基本事件有：16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56，共12个，事件B 含有的基本事件有：11,14,15,21,31,41,51，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A 正确；基本事件15发生时，事件,A B 均不发生，不对立，B 正确；事件A B ⋃中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此19()20P A B =，C 正确；123()205P A ==，7()20P B =，()0P AB =()()P A P B ≠，,A B 不相互独立，D 错．故选：ABC ．10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等，1AB =，2BC BE ==，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ；利用空间两点间距离公式即可判断选项B ；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知：,,BA BC BE 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥，故选项A 正确；又MN===∴当2a=时，min||MN=，故选项B正确；当MN最小时，,,2a M N=分别是,AC BF的中点，取MN中点K，连接AK和BK，,AM AN BM BN==，,AK MN BK MN∴⊥⊥，AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中，,2BM BN MN===，可得2BK==，同理可得2AK=，由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==，故选项C 正确；2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭，故选项D错误.故选：ABC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C上的点()11,A x y反射后，再经C上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB =，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，圆22:(2)1M x y +-=，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =，则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =，则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =，则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知，数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，进而求离心率范围；B 令(,)P x y ，求得||MP =，结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断；C 由题设123,1PF PF ==，令(,)P x y，进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围；D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =，圆M 中圆心(0,2)M ，半径为1，如下图示，A ：由于02b <<，由图知：当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭，对；B ：当1b =时，令(,)P x y，则||MP =，而224(1)x y =-，所以||MP =，又11y -≤≤，故max ||MP =所以||PQ1+，错；C ：由1224PF PF a +==，若213PF PF =，则123,1PF PF ==，由12(F F ，令(,)P x y ，且2221)(4x y b =-，则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩，所以(0,2]x =，则23b ≤，且02b <<，故0b <≤D ：令(,)Q x y，若12QF =，所以2222(3[(]x y x y +=-+，则222(4)0x b y -+-+=，所以222(3(4)x y b -+=-，Q轨迹是圆心为的圆，而(0,2)M与的距离为，要使点Q 存在，则1|1-≤≤，可得22(1)0b -≤，且02b <<，即1b =，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C ，根据已知得到123,1PF PF ==，设(,)P x y ，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解(0,2]x =为关键；对于D ，问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，则这两条平行线之间的距离是__．【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-，再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，∴2(1)4111m m +-=≠-，解得2m =-，故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=，2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.14.曲线1y =+与直线l ：y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】53124，纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线l 是过定点()24，的直线，利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A （2，4），又曲线1y =+0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r，2=，解得512k =.当直线l 过点B （－2，1）时，直线l 的斜率为()413224-=--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为53124，纟çúçú棼.故答案为：53124，纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：()11233635x =++++＝，方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝＝，可以出现点数6；对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>，所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6.综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为：乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求得22b a的范围，从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-，当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式，此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤，从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）228870x y x y +--+=，D 在圆M 内；（2）43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可；（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；【小问2详解】由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径=5r ，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a ▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b 合计▓▓（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004（2）35（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96【解析】【分析】（1）利用频率＝100%⨯频数样本容量，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．【小问1详解】由题意可知，样本容量n ＝8500.16=，∴b ＝250＝0.04，第四组的频数＝50×0.08＝4，∴508202416a ＝----＝.y ＝0.0410＝0.004，x ＝1650×110＝0.032．∴a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004．【小问2详解】由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）＝93155=．∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．【小问3详解】∵[50，70）的频率为：0.160.320.48+＝，[70，80）的频率为0.4，∴中位数为：0.50.48701070.50.4-+⨯=，平均数为：550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝．方差为：()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣＝．19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB DC ，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明：//BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析；()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，利用三角形中位线性质得出12EG CD =，因为底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ，得出四边形ABEG 为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出//BE 平面PAD ；()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标，进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解：()1证明：在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，图象如下：G 和E 分别为PD 和PC 的中点，∴EG //CD ，且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =∴AB //CD ，且12AB CD =，∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ,()0,2,0D ，()002P ,,，()1,1,1E ，()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点，设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥，得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩，令1c =，则3a =-，则()3,0,1n =- ，取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ，则二面角F AD C --的平面角α满足：cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.21.已知O 为坐标原点，()120F -，，()220F ，，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线.E （1）求曲线E 的方程；（2）过点()220F ，的直线l 与曲线E 交于A B ，两点，求+ OA OB 的取值范围．【答案】（1）()2211.3y x x -=≥（2）[)4∞+，【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点P 的轨迹是双曲线的右支，求出,a b 的值，即得；（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数m 的范围，将所求式等价转化为关于m 的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -，，()220F ，，且动点P 满足12122PF PF F F -=<，由双曲线的定义知：曲线E 是以12F F ，为焦点的双曲线的右支，且2c =，1a =，则2223b c a =-=，故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，直线l 与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l 方程为：2x my =+，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---，2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意：()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩，解得：210.3m ≤<OA OB +=====，令2131t m =-，因210,3m ≤<故1t ≤-，而OA OB +== ，在(],1t ∞∈--为减函数，故4OA OB +≥ ，即OA OB + 的取值范围为[)4∞+，.22.如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±，过椭圆1C 上一点P （2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQ NR 的取值范围.【答案】（1）12-（2）11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >，由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线PA 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+，即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++，又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得23n x -±=，所以1Q R x NQ NR x ====，又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即29<，所以1121019NQNR+<<，所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。
2022-2023学年宿迁市数学高一上期末达标检测试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1． “对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定形式为（） A.对任意x ∈R ，都有20x < B.不存在x ∈R ，都有20x < C.存在0x R ∈，使得200x ≥D.存在0x R ∈，使得200x <2．函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的零点为（ ）A.1B.2C.(0,1)D.(2,0)3．定义运算,,a a b a b b a b<⎧⊕=⎨≥⎩，若函数()22x xf x -=⊕，则()f x 的值域是（）A.[)1,+∞B.()0,∞+C.(]0,1D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．定义在R 上的函数()()2xf xg x =⋅，()()142xg x g x -=⋅-，若()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，则一定为正数的是A.()()120g g --B.()()120g g -C.()()122g g -D.()()223g g -5．各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥P ABC -的侧棱长为a ，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.22a π B.22a π C.23a πD.23a π6．在空间直角坐标系O xyz -中，已知球A 的球心为()1,0,0，且点()1,4,5B -在球A 的球面上，则球A 的半径为（） A.4 B.5 C.16D.257．已知三条不重合的直线m ，n ，l ，两个不重合的平面α，β，有下列四个命题： ①若m n ，n ⊂α，则m α；②若l α⊥，m β⊥，且l m ，则αβ∥； ③若m α⊂，n ⊂α，m β，n β，则αβ∥； ④若αβ⊥，m αβ=，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥.其中正确命题的个数为A. B. C.D.48．已知3log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，若角α的终边经过点()1,22P ，则()()cos f f α的值为（）A.14B.14-C.4D.-49．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2D.3(,3)210．已知30.60.6log 3,0.6,3a b c ===，则（ ）A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a11．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4，随变量x 变化的数据如下表：x 1 2 4 6 8 10 12 y 1 16 29 55 81 107 133 159 y 2 1 9 82 735 6567 59055 531447 y 3 1 8 64 216 512 1000 1728 y 42.0003.7105.4196.4197.1297.6798.129其中关于x 近似呈指数增长的变量是（ ） A. B. C.D.12．函数f (x )=tan π2-3x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是（） A.πππ5π212212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z ) B.πππ5π212212k k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，(k ∈Z ) C.π2πππ63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k ∈Z ) D.π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z ) 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________14．若集合2{|(1)320,}A x a x x x R =-+-=∈有且仅有两个不同的子集，则实数a =_______；15．在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑M ABC -中, MA ⊥平面ABC , 2MA AB BC ===,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____ 16．函数232x x --的定义域是______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数21()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数 （1）求a 的值；（2）当[2,4]x ∈时，2()log ()f x x k <+恒成立，求实数k 的取值范围 18．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()222f x x x =-+.（1）求()f x 在0x >时的解析式； （2）若()215222xf a a x -≤++-，在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围. 19．函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的一段图象如下图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到y g x 的图象.求直线6y =与函数()()y f x g x =+的图象在30,2π⎛⎫⎪⎝⎭内所有交点的横坐标之和. 20．如图，在几何体ABCDEF 中，平面ABCD ⊥平面ABFE ．正方形ABFE 的边长为2，在矩形ABCD 中，2BC AB =（1）证明：AF CE ⊥； （2）求点B 到平面ACF 的距离 21．已知函数2()21f x x ax a =++-.（1）若()f x 的图象恒在直线1y =-上方，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.22．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v (单位：千米/小时)和车流密度x (单位：辆/千米)满足关系式：()50,02060,20120140x v k R kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y (单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1、D【解析】全称命题的否定是特称命题，据此得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题，则“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定形式为：存在0x R ∈，使得200x <.故选：D.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题. 2、B【解析】根据函数()f x 的图象和零点的定义，即可得出答案.【详解】解：根据函数()f x 的图象，可知()f x 与x 轴的交点为()2,0， 所以函数()f x 的零点为2. 故选：B. 3、C【解析】由定义可得()2,02,0x x x f x x -⎧<=⎨≥⎩，结合指数函数性质即可求出.【详解】由定义可得()2,0222,0x xxx x f x x --⎧<=⊕=⎨≥⎩，当0x <时，()2xf x =，则00221x <<=，当0x ≥时，()2xf x -=，则00221x -<≤=，综上，()f x 的值域是(]0,1. 故选：C. 4、A【解析】()()121f g =()()()2420f g g ==()()()138312f g g ==- ()f x 在区间[)1+∞，上为增函数，()()()()1321002f fg g ∴-=--> 即()()1200g g --> 故选A点睛：本题运用函数的单调性即计算出结果的符号问题，看似本题有点复杂，在解析式的给出时含有复合部分，只要运用函数的解析式求值，然后利用函数的单调性，做出减法运算即可判定出结果 5、D【解析】因为侧棱长为a 的正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：3a ；所以球的表面积为：4π232a ⎛⎫⎪⎝⎭=3πa 2 故答案为D ．点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径． 6、B【解析】根据空间中两点间距离公式,即可求得球的半径.【详解】球A 的球心为()1,0,0,且点()1,4,5B -在球A 的球面上, 所以设球A 的半径为R 则222455R AB ==++=.故选:B【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式的简单应用,属于基础题. 7、B 【解析】当在平面内时,，①错误；两个平面的垂线平行,且两个平面不重合,则两个平面平行,②正确；③中,当时,平面可能相交,③错误；④正确.故选B.考点：空间线面位置关系. 8、A【解析】先通过终边上点的坐标求出cos α，然后代入分段函数中求值即可. 【详解】解：因为角α的终边经过点()1,22P所以()2211cos 3122α==+所以()31cos 13f log α==- 所以()()1cos 4f f α=故选A.【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，分段函数的计算求值，属于基础题. 9、D【解析】详解】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算. 10、A 【解析】找中间量0或1进行比较大小，可得结果【详解】300.600.60.6log 3log 10,00.60.61,331a b c =<=<=<==>=，所以a b c <<，故选：A .【点睛】此题考查利用对数函数、指数函数的单调性比较大小，属于基础题 11、B【解析】根据表格中的数据，四个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快， 【详解】根据表格中的数据，四个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，符合指数函数的增长特点. 故选：B 12、B【解析】运用整体代入法，结合正切函数的单调区间可得选项. 【详解】由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z )，得ππ212k -<x <π5π212k +(k ∈Z )，所以函数f (x )=tan π2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间为πππ5π212212k k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，(k ∈Z ). 故选:B.【点睛】本题考查正切函数的单调性，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】根据所给的图象，可得到2A =，周期的值，进而得到ω，根据函数的图象过点可求出ϕ的值，得到三角函数的解析式【详解】由图象可知2A =，5212122T πππ=+=， T π∴=， 2ω∴=，∴三角函数的解析式是2sin(2)y x ϕ=+函数的图象过(12π-,2)，把点的坐标代入三角函数的解析式， 22sin[2()]12πϕ∴=-+2,Z 62k k ππϕπ∴-=+∈，又0ϕπ<<，23πϕ∴=，∴三角函数的解析式是22sin(2)3y x π=+. 故答案为：22sin(2)3y x π=+. 14、18-或1.【解析】根据集合A 的子集个数确定出方程解的情况，由此求解出参数a 值. 【详解】因为集合A 仅有两个不同子集，所以集合A 中仅有1个元素， 当10a -=时，23x =，所以23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足要求；当10a -≠时，()()234120a ∆=--⋅-=，所以18a =-，此时方程解为43x =，即43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足要求， 所以18a =-或1， 故答案：18-或1.15、2482ππ-【解析】M ﹣ABC 四个面都为直角三角形，MA ⊥平面ABC ，MA=AB=BC=2， ∴三角形的2 从而可得3，那么ABC 内接球的半径r 2﹣r ）2=r 2+（222 解得：2∵△ABC 时等腰直角三角形， ∴外接圆半径为122 外接球的球心到平面ABC 的距离为2AM=1 可得外接球的半径3故得：外接球表面积为12π. 由已知，设内切球半径为'r ，1221222212222122MAC ABC MA MB B C S S S S ∆∆∆∆=⨯==⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=，()'MAC MBC '11MA S S S S r 33112222r 33ABC ABC MAB S ∆∆∆∆∆∴⋅⋅=+++⋅⨯⨯=⨯++⋅'1r ∴=，内切球表面积为'22441)(12S r πππ===-，外接球与内切球的表面积之和为24π-故答案为：24π-.点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心. 16、[]3,1-【解析】要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（1）1a =- （2）1k >【解析】（1）函数()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，有()()f x f x -=-，代入即可得出a 的值； （2）[2,4]x ∈时，2()log ()f x x k <+恒成立转化为即11x k x x +>--，令12()111x g x x x x x +=-=+---，求()g x 在[2,4]x ∈的最大值即可.【小问1详解】 函数21()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，则函数21()log 1ax f x x -=-为奇函数，有()()f x f x -=-， 即2211log log 11ax ax x x +-=---，解得1a =±，当1a =时，不满足题意，所以1a =-； 【小问2详解】由2()log ()f x x k <+，得221log log ()1x x k x +<+-，即11x k x x +>--， 令12()111x g x x x x x +=-=+---，易知()g x 在[2,4]x ∈上单调递减， 则()g x 的最大值为(2)1g =.又因为当[]2,4x ∈时，2()log ()f x x k <+恒成立， 即11x k x x +>--在[]2,4x ∈恒成立，所以1k >. 18、（1）()222f x x x =++；（2）(,1[1)-∞-⋃-++∞.【解析】（1）利用函数的奇偶性结合条件即得；（2）由题可知221522222x x x a a -++-≤+-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用函数的单调性可求()2max 22292x x x -+-=+，即得. 【小问1详解】∵当0x ≤时，()222f x x x =-+， ∴当0x >时，0x -<，∴()()()222222f x x x x x -=---+=++，又()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()222f x f x x x =-=++， 故当0x >时，()222f x x x =++； 【小问2详解】由()215222x f a a x -≤++-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴221522222x x x a a -++-≤+-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴()22max 1522222x a a x x -+-≥++- 又∵222=++y x x 与2xy -=-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴()221max 922122222x x x --++-=-=++，∴2159222a a +-≥，解得1a ≤-1a ≥-+，∴实数a 的取值范围为(,1[1)-∞--⋃-++∞.19、（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）196π 【解析】(1)由图象可计算得A ωϕ，，；(2)由题意可求()()y f x g x =+，进而可以求出在给定区间内与已知直线的交点的横坐标，问题得解.【小问1详解】由题图知2A =，T π=，于是22T πω==， 将2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得()2sin 2y x ϕ=+的图象. 于是2126ππϕ=⨯=所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【小问2详解】 由题意得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()2sin 22cos 226612y f x g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2122x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为302x π<<，所以23121212x ππππ-<-<- 所以524x π=或38x π=或2924x π=或118x π=，所以，在给定区间内，所有交点的横坐标之和为196π. 20、（1）证明见解析； （2）43【解析】(1)连接BE ，证明AF ⊥平面BEC 即可；(2)由等体积C ABF B ACF V V --=即可求点B 到平面ACF 的距离【小问1详解】连接BE ，平面ABCD ⊥平面ABFE ，且平面ABCD 平面ABFE AB =，又在矩形ABCD 中，有BC AB ⊥，BC ∴⊥平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，AF BC ∴⊥，在正方形ABFE 中有AF BE ⊥，且BC BE B =，BC BE ⊂、平面BCE ，AF ∴⊥平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，AF CE ∴⊥；【小问2详解】设点B 到平面ACF 的距离为d ，由已知有2AB BF ==，4BC =，由(1)知：BC ⊥平面ABFE ，BF ⊂平面ABFE ，BC BF ∴⊥， 从而可得：22AF =224225AC CF ==+=，在等腰ACF 中，底边上的高为：2222(25)322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭1223262ACFS ∴=⨯=，由C ABF B ACF V V --=得，·ACF ABF S d S BC ⋅=，则12244263d ⨯⨯⨯==， 即点B 到平面ACF 的距离为4321、（1）08a <<；（2）1a ≥. 【解析】(1)根据给定条件可得2211x ax a ++->-恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.【小问1详解】因函数2()21f x x ax a =++-的图象恒在直线1y =-上方，即R x ∀∈，2221120x ax a x ax a ++->-⇔++>， 于是得280a a ∆=-<，解得08a <<，所以实数a 的取值范围是：08a <<.【小问2详解】 依题意，(0,)∀∈+∞x ，()222121010f x x ax a a x x -++-≥⇔≥≥-+⇔， 令11x t +=>，22212(1)11241x t t x t t---==+-+， 令函数1()24g t t t=+-，(1,)t ∈+∞，1212,(1,),t t t t ∀∈+∞<， 1212121212111()()22()(2)g t g t t t t t t t t t -=+--=--，而121t t <<，即120t t -<，12120t t ->， 则有12()()0g t g t -<，即12()()g t g t <，于是得()g t 在(1,)t ∈+∞上单调递增，因此，1t ∀>，()(1)1g t g >=-，即22111x x ->-+，从而有22111x x --<+，则1a ≥， 所以实数a 的取值范围是1a ≥.22、（1）(0,80]；（2）最大值约为3250辆/小时，车流密度约为87辆/千米.【解析】（1）把120,0x v ==代入已知式求得k ，解不等式40v ≥可得x 的范围（2）由（1）求得函数y xv =，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得【详解】解：（1）由题意知当120x =(辆/千米)时，0v =(千米/小时)， 代入60140k v x =--得060140120k =--，解得1200k =所以50,020120060,20120140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当020x <≤时，5040v =≥，符合题意；当20120x <≤时，令12006040140x-≥-，解得80x ≤，所以2080x <≤ 综上，080x <≤答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(0,80]. （2）由题意得，50,020120060,20120140x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩当020x <≤时，50y x =为增函数，所以20501000y ≤⨯=，等号当且仅当20x成立；当20120x <≤时， 12002020(140)2800606060140140140x x x y x x x x x x --⎛⎫⎡⎤=-=-=+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦ 28002800602060160(140)140140x x x x ⎧⎫⎛⎫⎡⎤=+-=--+⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎩⎭6016060(1603250⎡≤-=-≈⎢⎣ 即3250y ≤，等号当且仅当2800140140x x-=-，即14087(20,120]x =-≈∈成立. 综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87.答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解。
2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期期中联考数学检测试卷(含解析)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期期中联考数学检测试卷.1. 已知集合{}{2,1,0,1,2,A B x y =--==∣，则A B = （ ）A. {}2,1,0,1,2--B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2D. {}1,2【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的运算法则即可.【详解】{{}0B x y x x ===≥∣∣；{}0,1,2A B ∴⋂=故选：C.2. 命题“0m ∃>，20m +<”的否定是（ ）A. 0m ∀≤，20m +<B. 0m ∀≤，20m +≥C. 0m ∀>，20m +≥ D. 0m ∀>，20m +<【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断即可.【详解】命题“0m ∃>，20m +<”的否定是“0m ∀>，20m +≥”.故选：C.3. 设命题p ：x ∀∈R ，2420x x m ++≥（其中m 为常数），则“命题p 为真命题”是“12m >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由全称量词命题为真命题，求出m 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题p 为真命题，得1680m ∆=-≤，解得2m ≥，显然{|2}m m ≥1{|}2m m >，所以“命题p 为真命题”是“12m >”的充分不必要条件..4. 已知幂函数a y x =的图象过点()9,3，则a 等于（ ）A. 3B. 2C. 32D. 12【答案】D【解析】【分析】直接将点的坐标代入解析式，即可求出参数的值.【详解】因为幂函数a y x =的图象过点()9,3，所以93a =，即233a =，则21a =，解得12a =故选：D5. 已知0x ≥，2y >，且11112x y +=+-，则x y +的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】A【解析】【分析】将所求式子变形为()()121x y x y +=++-+，利用“1”的代换结合基本不等式求解.【详解】0,2x y ≥>Q ，10x ∴+>，20y ->，则()()121x y x y +=++-+()()1112112x y x y ⎛⎫⎡⎤=++-++ ⎪⎣⎦+-⎝⎭2133512y x x y -+=++≥+=+-，当且仅当2112y x x y -+=+-，即1,4x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为5.故选：A.6. 若函数()()2222422x x x x f x m --=+-++有且只有一个零点，则实数m 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6.【分析】根据偶函数的性质结合题意得()00f =即可求解.【详解】由题函数定义域为R ，关于原点对称，又由于()()()2222422,x x x x f x m f x ---=+-++=故()f x 为R 上的偶函数，由于()f x 只有一个零点，因此()00f =，故2420m -⨯+=，解得6m =，故选：D.7. 甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员甲说：“冠军是李亮或张正”乙说：“冠军是林帅或张正”丙说：“林帅和李亮都不是冠军”丁说：“陈奇是冠军”．结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（ ）A. 林帅B. 李亮C. 陈奇D. 张正【答案】C【解析】【分析】根据选项依次判断四人的推断结果即可.【详解】对A ，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A 错误；对B ，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B 错误；对C ，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C 正确；对D ，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D 错误.故选：C8. 已知函数()321()1m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ）A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】B根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m ，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.【详解】由题可知：函数()321()1m f x m m x-=--是幂函数则2112m m m --=⇒=或1m =-又对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-所以函数()f x 为(0,+∞)的增函数，故2m =所以7()f x x =，又()()f x f x -=-，所以()f x 为R 单调递增的奇函数由0a b +<，则a b <-，所以()()()f a f b f b <-=-则()()0f a f b +<故选：B 【点睛】本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如()()()()()121212120,0->-⋅->⎡⎤⎣⎦-f x f x f x f x x x x x ，属中档题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 已知,,,a b c d ∈R ，且,0a b c d >>>，则下列结论中正确的是（ ）A. ac bc> B. ac bd > C. 33a b > D. 22a c b d+>+【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A ，B ，D ，可根据不等式的基本性质进行判断；对于选项C ，可根据函数的单调性进行判断.【详解】对于选项A ：由不等式的基本性质“若,0a b c >>，则ac bc >”可知，选项A 正确；对于选项B ：可取1,2,3,1a b c d =-=-==，则有3,2ac bd =-=-，此时ac bd <，所以选项B 错误；对于选项C ：因为函数3y x =在R 上单调增加，且a b >，所以33a b >，故选项C 正确；对于选项D ：因为c d >，所以22c d >，又因为a b >，所以22a c b d +>+，所以选项D 正确；故选：ACD.10. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在线段1AD 和11B C 上（含端点），则下列命题正确的是（ ）A. MN 长的最小值为1B. 三棱锥M BNC -的体积为定值C. 有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直D. 当点M 、N 为线段中点时，则MBN △为等腰三角形【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，根据面与面之间的距离，即可说明MN 长的最小值；对于B ，根据三棱锥的体积公式，再结合线线和面面之间的距离公式，即可判断；对于C ，根据垂直关系，寻找直线MN 与1AD 垂直的充要条件，即可判断；对于D ，建系，利用空间中两点间的距离公式即可判断.【详解】对于A ，由点M N 、所在线段分别在两个平行平面11AA D D 、11BB C C 上，且为异面直线，其间距最小值为异面直线的距离，即两个平面间的距离，即MN 长的最小值为1，A 对；对于B ，由13M BNC BNC V S h -=⋅⋅ ，其中h 表示M 到平面BNC 的距离，显然h 为定值1，而BNC 的中，底BC 与BC 边上的高均为定值1，由此可知BNC 面积为定值，综合上述，四面体MNBC 的体积为定值，B 对；对于C ，点N 在平面11AA D D 上的射影N '的轨迹为线段11A D ，NN '⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1NN AD '⊥，则1MN AD ⊥的一个充要条件1MN AD '⊥，当射影N '位于线段11A D 上的任意位置时，过N '作1AD 的垂线，所得垂足记为M ，则1MN AD '⊥，根据以上垂直关系可知，NN MN N '''= ，NN '、MN '⊂平面MNN '，所以1AD ⊥平面MNN '，MN ⊂平面MNN '，从而1MN AD ⊥.于是这样的直线MN 不唯一，C 错；对于D ，以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示空间直角坐标系，当M 、N 分别为1AD 、1BC 的中点时，则()1,1,0B 、11,0,22M ⎛⎫⎪⎝⎭、1,1,12N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，BM ==，同理可得MN =，BN =，此时，BMN 为等腰三角形，D 对.故选：ABD.11. 已知函数32()21x f x x =-+，若x ∀∈R ，2()()20f x x f m x -+-+>恒成立，则（ ）的A. 函数()1f x +是奇函数B. 函数()1f x -是增函数C. x ∀∈R ，220x x m -+>是真命题D. m 可以为0【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义、复合函数的单调性，逐项分析判断即可.【详解】函数32()21x f x x =-+的定义域为R ，对于A ，3211()21x x f x x -+=++，332112()[()1]21112x x x x f x x x f x --+=-=---+-+=-+++，函数()1f x +是奇函数，A 正确；对于B ，函数21x y =+R 上单调递增，则函数221x y =+在R 上单调递减，而3y x =在R 上单调递增，因此函数()f x 在R 上单调递增，函数()1f x -是增函数，B 正确；对于C ，x ∀∈R ，22()()20()1[()1]f x x f m x f x x f m x -+-+>⇔-+>--+2()1()1f x x f x m ⇔-+>-+，因此2220x x x x m x m ->-⇔-+>，x ∀∈R ，220x x m -+>是真命题，C 正确；对于D ，由选项C 知，440m ∆=-<，解得1m >，D 错误.故选：ABC【点睛】思路点睛：涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知幂函数()()22333m m f x m m x +-=--在()0,∞+上是减函数，则m 的值为___________．【答案】1-【解析】【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案.【详解】()f x 是幂函数，所以2331m m --=，解得1m =-或4m =，当1m =-时，()3f x x -=，在()0,∞+上递减，符合题意；在当4m =时，()17f x x =，在()0,∞+上递增，不符合题意，舍去.综上所述，m 的值为1-.故答案为：1-.13. 计算：()0ln 2πelg 252lg 2+-+=________．【答案】1【解析】【分析】由指数与对数的运算性质求解即可.【详解】()0ln 2πe lg 252lg 2+-+()122lg 5lg 2=+-+321=-=故答案为：114. 如图，已知棱长为b 的正方体1111ABCD A B C D -，顶点A 在平面α内，其余顶点都在平面α同侧，且顶点1,,A B C 到平面α的距离分别为2,4，则b 等于_______．【答案】【解析】【分析】证明BD ⊥平面1A AC ，进而可得平面1A AC ⊥平面α，即可根据C ，1A 在平面α的射影E ，F 与A 共线，利用锐角三角函数求解.【详解】设AC BD O = ，显然O 是AC 的中点，因为平面ABCD A α= ，C 到α的距离为4，所以O 到α的距离分别为2，而B 到α的距离为2，因此//BO α，即//DB α，设平面ABCD l α= ，所以//BD l ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，1AA ，AC ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，因此有l ⊥平面1A AC ，而l α⊂，所以平面1A AC ⊥平面α，平面1A AC ⋂平面l α=，A l ∈，所以C ，1A 在平面α的射影E ，F 与A 共线，显然1114,,,CE A F AC AA b AA AC ====⊥，如图所示：由11ECA CAE CAE A AF ECA A AF ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠，111cos ,sin A F CE ECA A AF AC AA ∠=∠=，由221221624cos sin 112ECA A AF b b b ∠+∠=⇒+=⇒=（负值舍去），故答案为：【点睛】关键点点睛：根据//BO α，即//DB α，设平面ABCD l α= ，根据线线垂直证明BD ⊥平面1A AC ，因此有l ⊥平面1A AC ，即可得平面1A AC ⊥平面α，利用投影共线，即可根据锐角三角函数求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知集合{}2120A x x x =+-≤，311B x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭．（1B 中的元素，并说明理由；（2）若全集U =R ，求A B ⋂，()U A B ⋃ð．【答案】（1不是集合B 中的元素，理由见解析（2）{41A B x x ⋂=-≤<-或}23x ≤≤，(){}43U A B x x ⋃=-≤≤ð【解析】【分析】（1）求出集合B ，根据元素与集合的关系判断可得出结论；（2）求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂，利用补集和并集的定义可得出集合()U A B ⋃ð.【小问1详解】不是集合B 中的元素，理由如下：由311≤+x 可得321011x x x --=≥++，解得1x <-或2x ≥，所以，{1B x x =<-或}2x ≥B .【小问2详解】且{}()(){}{}212034043A x x x x x x x x =+-≤=-+≤=-≤≤，所以，{41A B x x ⋂=-≤<-或}23x ≤≤，又因{}12U B x x =-≤<ð，故(){}43U A B x x ⋃=-≤≤ð.16. 设奇函数()2e ln e 1f x b x =-++，（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈ ）.（1）求()f x 的定义域和b ；（2）1e ,11e x -⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，求函数()f x 的值域.【答案】（1）1b =-，定义域为{}|1x x ≠± （2）(),1∞-【解析】【分析】（1）根据题意整理可得()1ln 11x f x b x -=+++，进而可求定义域，根据奇函数的定义和性质分析求解；（2）由（1）可知()2ln11f x x =-+，换元令211t x =-+，结合函数单调性求值域即可.【小问1详解】因为()2e 11ln e ln e ln 1111x x f x b b b x x x ⎛⎫--=-+=+=++ ⎪+++⎝⎭，为令101x x ->+，可得1x ≠±，可知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±；因为()f x 是奇函数，则()010f b =+=，解得1b =-，可得()1ln 1x f x x -=+，则()()11ln ln ln1011x x f x f x x x-++-=+==+-，即()()f x f x =--，可知()f x 是奇函数.综上所述：1b =-.【小问2详解】由（1）可知()12lnln 111x f x x x -==-++，令211t x =-+，则ln y t =，因为211t x =-+在1e ,11e -⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，当1e 1ex -=+时，e t =；当1x =时，0t =；可知()0,e t ∈，即()0,e t ∈且ln y x =在定义域内为增函数，则ln e 1y <=，所以()f x 的值域为(),1∞-.17. 已知函数2()(1),R f x x a x a a =-++∈.（1）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（2）若()20f x x +≥在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）3a ≤+.【解析】【分析】（1）将不等式因式分解，对参数a 进行讨论即可；（2）恒成立问题用分离参数的方法，然后利用基本不等式求解即可.【小问1详解】()0f x <,即()210x a x a -++<，即()()10x x a --<，当1a <时,原不等式解得1a x <<;当1a =时，原不等式无解;当1a >时,原不等式解得1x a <<;综上所述：当1a <时，原不等式的解集为{1}x a x <<∣；当1a =时，原不等式的解集为∅；当1a >时，原不等式的解集为{1}xx a <<∣.【小问2详解】()20f x x +≥,即()210x a x a --+≥，即()21a x x x -≤+，()110x x ∞∈++∴-> ，21x x a x +∴≤-，由题意可知只需2min1x x a x ⎛⎫+≤ ⎪-⎝⎭即可,令()()2,1,1x x g x x x ∞+=∈+-，则()21333,1g x x x =-++≥+=-当且仅当21,1x x -=-即1x =时，等号成立.min ()3g x ∴=，3.a ∴≤+18. 已知()21axb f x x +=+是定义在()2,2-上的函数，且()00f =，()112f =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明；（3）求函数()f x 在[]1,1-上的值域.【答案】（1）()21x f x x =+； （2）()f x 为奇函数，证明见解析；（3）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据()00f =，()112f =求出,a b 的值即可求函数解析式；（2）根据奇偶性的定义证明即可；（3）证明函数()f x 在[]1,1-上的单调性，从而可求解.【小问1详解】因为()00f =，()112f =，所以0122b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得1,0a b ==，所以()21x f x x =+.【小问2详解】()21x f x x =+的定义域为()2,2-，关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==-=-+-+,所以()f x 为奇函数.【小问3详解】设1211x x -£<£，则()()()()221212112212222212121111x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()12212112212222121211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++.因为1211x x -£<£，所以2212211210,0,10,10x x x x x x -<->+>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[]1,1-上单调递增.又()()111,122f f -=-=，所以函数()f x 在[]1,1-上的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19. 对于正整数n ，如果()*k k N ∈个整数12k a a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2n k =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n =【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时，根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =；当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <；当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”，故n n f g ≤.综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
河北省唐山市遵化市2022-2023学年数学高一上期末学业质量监测试题含解析
为奇函数
由题知 ，
，即
在 上单调递减
在 上单调递减
解得不等式的解集为
（3） ， 在 上单调递减
在 上，
问题转化为 ，即 ，对任意的 恒成立
令 ，即 ，对任意 恒成立
则由题知 ，解得 或 或
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.
18、（1） ；（2）见解析
【解析】（1）由题意得 ，结合不等式恒成立，建立m的不等式组，从而得到实数 的取值范围；
（2）)令 得： 即 ，对m分类讨论即可得到函数 的零点情况.
【详解】（1）由题意得，
，
当 时，
∴ ，又 恒成立，则
解得：
(2)令 得： 得：
,则 .
由图知：
当 或 ，即 或 时，0个零点；
A. B.
C. D.
5．要得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝cos2 的图象（）
A.向左平移 个单位长度B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度
6．如图， 水平放置的直观图为 ， ， 分别与 轴、 轴平行， 是 边中点，则关于 中的三条线段 命题是真命题的是
A.最长的是 ，最短的是 B.最长的是 ，最短的是
17、（1）见解析（2） （3） 或 或
【解析】（1）根据条件赋值得 ，根据奇函数性质得 ，再根据单调性定义得减函数，（2）利用单调性化简得 ，结合定义区间得 ，解方程组得结果，（3）即 ,再根据单调性得 ，化简得关于a恒成立的不等式，根据一次函数 图像得 ，解得实数 的取值范围.
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点()1,1,2A 和()2,0,2B -间的距离为__．【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】AB =故答案为2y 10-+=的倾斜角为______．【正确答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ=，又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk =，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为__________．【正确答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8球体的表面积体积4．经过点(3,2)A -且斜率为2的直线l 的一般式方程为__．【正确答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线l 过点(3,2)A -且斜率为2，所以，直线l 的方程为22(3)y x +=-，即280x y --=．故280x y --=5．空间向量(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- ，若//a b ，则m n +=__．【正确答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得,m n 即可求得m n +的值.【详解】若//a b ，则(2,,4)2(1,0,)n m -=--，则0,2n m ==，所以2m n +=．故26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【正确答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40.本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量()()1,0,1,0,1,1a b ==- ，则向量,a b 的夹角为_____．【正确答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量,a b 的夹角为θ，向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-则向量1a b a b =⋅=- 则1cos2θ=-又由0θπ≤≤，则23πθ=故23π．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【正确答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径=24122S ππ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭故12π9．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．【正确答案】π圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故π10．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________.【正确答案】96【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.【正确答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线,a b 平移交于点P ，并作a Pb ''∠及其外角的角平分线；根据过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，可知1l 方向上有两条，2l 方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b 平移交于点P ，设平移后的直线为,a b ''，过点P 作a Pb ''∠及其外角的角平分线12,l l ，则3a Pb π''∠=；在1l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线有两条，则6πθ>；在2l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线不存在，则3πθ<；综上所述.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【正确答案】5【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n ，解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________.【正确答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴ ∽1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==，设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为h ，则2111P B h A D BD =,所以h x =，所以四面体121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当12x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值：124．所以答案应填：124．1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则122PP ，2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】②④【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）【正确答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【正确答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【正确答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线l 的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线l 与平面α平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，∴前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d的取值范围为(,23C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为(3D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为)+∞【正确答案】C【详解】设侧棱长是b ，底面的变长是a ，点1B 到对角线1BD 的距离h 即为直角三角形11B BD 斜边1BD上的高，111,,B D B B b h ===1B 到平面11A BCD 的距离分别d 即为直角三角形1B BA 斜边1B A上的高，111,,B A a B B b h h d ==∴=若侧棱的长小于底面的边长，即b a <22222142,111231a a b b ><+<⇒<+A,B 错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a >222221402,21231a a b b <<>+>+选C20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段11B C 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A．B．[3C．D．3【正确答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出sin α=判断出sin y α=在[0,2]a ∈是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a ，02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，所以3sin cos ,3||||OP n n OP n α⋅===⋅⋅=3=因为02a≤≤，所以14ya=-在[0,2]a∈上单调递减，且1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，由复合函数单调性可知21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭单调递增，所以sinyα=在[0,2]a∈是严格减函数，所以2a=时，sinα取最小值min(sin)α==，a=时，sinα取最大值max(sin)33α==．所以sinα的取值范围是．故选：C．方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【正确答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，甲、乙两人都及格的概率143125525P =⨯=.（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，两人都不及格的概率为432(15525--=，所以，至少有一人及格的概率222312525P =-=；（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，恰有一人及格的概率3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，L ，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在[40,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【正确答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为1求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =；所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）解：由题知，500.004102⨯⨯=人，500.006103⨯⨯=，所以，评分在[40,50)的职工有2人，记为,A B ，评分在[50,60)的职工有3人，记为,,a b c ，所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ，()()(),,,,,B a B b B c ，()()(),,,,,a b a c b c ，共10种，其中，此2人评分都在[50,60)的有()()(),,,,,a b a c b c ，3种，所以，此2人评分都在[50,60)的概率310P =．23．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1BB CD 、的中点，求：(1)异面直线AF 与1D E 所成的角；(2)求点F 到平面11A D E 的距离．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=，11111cos ,15||||A F D E AF D E A F D E ⋅==-，所以异面直线AF 与1D E所成的角为arccos15；（2）111(2,0,0),(2,2,1)D A D E ==，设(,,)n x y z =是平面11A D E 的法向量，则11120220n D A x n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =-，得(0,1,2)n =- ，又1(0,1,2)D F =，所以点F 到平面11A D E 的距离1||355||n D F d n ⋅==．24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上（点E 异于A 、B 两点），点F 在DE 上，且AF D E ⊥，若圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π．(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥．因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，又AE AD A ⋂=，故EB ⊥平面DAE ．因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥．又AF D E ⊥，且EB DE E =I ，故AF ⊥平面DEB ．因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以过E 作EH AB ⊥，由平面ABCD ⋂平面ABE AB =，则EH ⊥平面ABCD ，即EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成角，设圆柱的底半径为r ，因为圆柱的轴截面ABCD 是正方形，ABE 的面积为12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅．圆柱的底面积2S r π=，因为圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π，所以2r EH r ππ⋅⋅=，解得EH r =，所以点H 为圆柱底面圆的圆心，则tan EH EDH DH ∠====即直线DE 与平面ABCD 25．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是P 为侧棱SD 上的点．(1)求正四棱锥S ABCD -的体积；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【正确答案】(1)463(2)30︒(3)当:2:1SE EC =时，//BE 平面PAC ．【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设CE tCS = ，通过BE BC tCS =+ 得到BE的坐标，结合0BE DS ⋅= 求出t 的值，求出答案.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是22所以SO ⊥平面ABCD ，2AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高22(22)(2)6h -正方形ABCD 的面积为224=，所以正四棱锥S ABCD -的体积143V =⨯（2）以O 为坐标原点，,,O OC O B S分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．由（1）知高SO =于是(S D C ，(OC SD ==，0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥，所以平面PAC 的一个法向量DS =，平面DAC 的一个法向量OS =．由图可知二面角P AC D --为锐角，设所求二面角为θ，则cos ||||OS DS OS DS θ⋅== 所求二面角的大小为30︒；（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．由（2）得DS是平面PAC 的一个法向量，且(0,DS CS == ，设CE tCS = ，则()BE BC CE BC tCS =+=+=，而103BE DS t ⋅=⇔= ，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ ，而BE 不在平面PAC 内，故//BE 平面PAC ．。
2023-2024学年河北省唐山市十县高二上学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省唐山市十县高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．直线l ：230x y -+=的斜率和在x 轴上的截距分别为（）A ．12，3B ．12，3-C ．12-，3D ．12-，3-【正确答案】B【分析】由230x y -+=可得322x y =+，据此可得答案.【详解】323022x x y y -+=⇔=+，则直线斜率为12，又令0y =，则30322x x +=⇒=-，故直线在x 轴上的截距分别为3-.故选：B2．已知点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则BC =（）A B ．5CD ．【正确答案】A【分析】求出点B 、C 的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得BC 的值.【详解】因为点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则()3,4,0B 、()0,4,5C ，因此，BC =.故选：A.3．直线1l ：16x y -+=，直线2l ：30x y --=，则1l 与2l 之间的距离为（）A B ．2C ．D ．4【正确答案】C【分析】根据平行线的距离公式d .【详解】d =故选:C.4．已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为（）A ．8B ．4C ．D ．【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出OAB 的面积进而求得四边形的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，所以OA ==，2OB =，1,2),OA OB ==-11221cos ,2OA OB -+⨯== ，所以sin ,2OA OB = ，以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5．已知圆M 的半径为r 且圆心在x 轴上，圆M 与圆22:220N x y x y +--=相交于AB 两点，若直线AB 的方程为y x =，则（）A ．AB =r B ．AB 4=，rC ．AB =2r =D ．AB 4=，2r =【正确答案】C【分析】分析可知圆心N 在直线AB 上，可求得AB ，求出圆心M 的坐标，可求得圆心M 到直线AB 的距离，利用勾股定理可求得r 的值.【详解】圆N 的标准方程为()()22112x y -+-=，圆心为()1,1N易知点N 在直线AB 上，所以，AB =因为圆心N 在直线AB 上，则圆心N 为线段AB 的中点，易知过圆心N 且与直线AB 垂直的直线的方程为20x y +-=，该直线交x 轴于点()2,0M ，点M 到直线AB 的距离为d ==2r ∴==.故选：C.6．已知直线1l 与直线2:20l x y a -+=关于x 轴对称，且直线1l 过点()2,1，则=a （）A ．5-B ．5C ．4-D ．4【正确答案】A【分析】分析可知，直线2l 经过点()2,1关于x 轴的对称点，由此可求得实数a 的值.【详解】点()2,1关于x 轴的对称点的坐标为()2,1-，由题意可知，直线2l 过点()2,1-，则2210a ⨯++=，解得5a =-.故选：A.7．在棱长为3的正四面体ABCD 中，2AM MB = ，2CN ND =，则MN = （）A ．2B CD ．【正确答案】B【分析】将MN 用AB、AC 、AD 表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得MN .【详解】因为2AM MB =，所以，23AM AB = ，又因为2CN ND =，则()2AN AC AD AN -=- ，所以，1233AN AC AD =+ ，所以，122333MN AN AM AC AD AB =-=+- ，由空间向量的数量积可得293cos602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==，因此，1223MN AC AD AB =+-==故选：B.8．已知P 是圆()22:54C x y -+=上一动点，()1,0A -，M 为线段AP 的中点，O 为坐标原点，则（）A ．22MA MO +为定值B ．22MA MC +为定值C ．22MO MC +为定值D ．222MA MO MC ++为定值【正确答案】B【分析】设点()00,P x y ，可得220001021x y x +=-，求出点M 的坐标，利用平面两点间的距离公式化简可得出合适的选项.【详解】设点()00,P x y ，则()220054x y -+=，可得220001021x y x +=-，则点001,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭.圆C 的圆心为()5,0C ，半径为2.对于A 选项，()22222200000022022********M x y x x y y A M x O +++-⎛⎫=+++=⎝+ ⎪⎭()0002102121224144x x x -++-==不是定值，A 错；对于B 选项，222222000002021110611524242M x y x y x y x A MC --+-+⎛⎫⎛⎫=++-+=⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭0010211061202x x --+==，B 对；对于C 选项，()()2222220000020020022212121021221214441524x y x x x x y MO M x y C +-+--+++=+==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭7924x -=不是定值，C 错；对于D 选项，()222222222220000000003201221115244244x y x x y x y x y MA MO MC +-+-+-⎛⎫⎛⎫++=++++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0003102120122105944x x x --++==不是定值，D 错.故选：B.二、多选题9．已知平行六面体111ABCD A B C D -，则下列各式运算结果是1AC uuu r的为（）A ．1AB AD AA ++B ．11111AA A B A D ++C ．1AB BC CC ++ D ．1AB AC CC ++ 【正确答案】ABC【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，111AB AD AA AB BC CC AC ++=++=，A 对；对于B 选项，1111111A C A B B A B C C A A D =+++=+，B 对；对于C 选项，11AB BC CC AC =++，C 对；对于D 选项，111AB AC CC AB BC C AC C +=+++≠，D 错.故选：ABC.10．直线:310l x ++=，则（）A ．点(3-在l 上B ．l 的倾斜角为5π6C ．l 的图象不过第一象限D ．l 的方向向量为)3,1【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A 选项；求出直线l 的斜率，可得出直线l 的倾斜角，可判断B 选项；作出直线l 的图象可判断C 选项；求出直线l 的方向向量，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，22310-++≠ ，所以，点(3-不在l 上，A 错；对于B 选项，直线l 的斜率为33k =-，故l 的倾斜角为5π6，B 对；对于C 选项，直线l 交x 轴于点()1,0-，交y 轴于点30,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：由图可知，直线l 不过第一象限，C 对；对于D 选项，直线l 的一个方向向量为)1-，而向量)1-与这里(不共线，D 错.故选：BC.11．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P ，Q 分别为棱A 1D 1，B 1B ，AB ，D 1D 的中点，则（）A ．MN PQ=B ．直线MN 与直线BQ 相交C ．点Q 到直线MND ．点D 到平面MNP 的距离为11【正确答案】AC【分析】A 选项：用勾股定理可求出长度；B 选项：作BQ 的平行线与MN 相交，则可判断是否为异面直线；C 选项：求出三边长度，即可求出结果；D 选项：过点M 做//MH DP ，利用线面平行将点M 到平面DPN 的距离转化为点H 到平面DPN 的距离，等体积转化得到D MPN V -=D HPN V -，求体积和面积计算距离.【详解】A 选项：MN PQ =，故A 正确；B 选项：连接1D N ，则1D N 与MN 相交，1//BQ D N ，则MN 与BQ 为异面直线，故B 错误；C 选项：连接,MQ QN，则MQ =，QN =MN =MQ MN ⊥，所以Q 到直线MN 的距离即为MQ ，故C 正确；D 选项：过点M 做//MH DP ，DP ⊂平面DPN ，MH ⊄平面DPN ，则//MH 平面DPN ，所以点M到平面DPN 的距离等于点H 到平面DPN 的距离，点H 到直线PN 3424+=，1524HPN S == ，又点D 到平面HPN 的距离为2，所以1552346M DPN H DPN D HPN V V V ---===⨯⨯=，又D MPN V -=M DPN V -，MP =PN =MN =1222PMN S ==，设点M 到平面DPN 的距离为h ，则有15326h ⨯⨯=，所以11h =，故D 错误.故选：AC12．已知()1,0A 、()4,0B ，P 为圆22:4C x y +=上一动点，则（）A ．PAB S 的最大值为3B ．PA PB +的最大值为9C ．A 到直线PB 距离的最大值为43D ．2PB PA=【正确答案】ABD【分析】求出点P 到直线AB 的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A 选项；求出PBA ∠的最大值，可得出A 到直线PB 距离的最大值，可判断C 选项；利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D 选项；利用圆的几何性质可判断B 选项.【详解】对于A 选项，圆C 上的一点P 到直线AB 的最大距离为圆C 的半径2，故PAB S 的最大值为1232AB ⨯⨯=，A 对；对于C 选项，如下图所示：点A 到直线PB 的距离为sin AB PBA ∠，圆C 的圆心为原点O ，当直线PB 与圆C 相切时，此时PBA ∠最大，则点A 到直线PB 的距离取最大值，连接OP ，则OP PB ⊥，则122OP OB ==，故30PBA ∠=o ，因此，点A 到直线PB 的距离为33sin 302=，C 错；对于D 选项，设点()00,P x y ，则22004x y +=，所以，2PB =2PA ===，D 对；对于B 选项，()33369222PA PB PB PO OB +=≤+=⨯=，当且仅当点P 为直线BO 与圆C 的交点，且点O 在线段BP 上时，等号成立，所以，PA PB +的最大值为9，B 对.故选：ABD.三、填空题13．已知向量()1,2,1a =- ，()2,,1b k =，()()a b a b +⊥- ，则k =__________．【正确答案】1±【分析】分析可得()()220a b a b a b +⋅-=-= ，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数k 的值.【详解】因为()()a b a b +⊥- ，则()()()222650a b a b a b k +⋅-=-=-+= ，解得1k =±.故答案为.1±14．设直线1l ：210ax y -+=，直线2l ：()30x a y a +-+=，若1l ∥2l ，则实数a ＝____________．【正确答案】2【分析】由两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，可得12210A B A B -=，由此列式求出a 的值，然后再检验即可．【详解】若1l ∥2l ，则(3)(2)10a a ---⨯=，解得2a =或1a =，当2a =时，直线1l ：2210x y -+=，直线2l ：20x y -+=，符合题意；当1a =时，直线1l ：210x y -+=，直线2l ：210x y -+=，两直线重合，不符合题意.故2．15．已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，空间一动点Q ，满足()1PQ xPA yPB x y PC =++--，则PQ 的最小值为____________．【分析】化简向量关系式证明,,,Q A B C 四点共面，结合轴截面特征可求PQ的最小值.【详解】因为()1PQ xPA yPB x y PC =++--，所以x PQ PC xPA y P PB P C C y --+-= ，CQ xCA yCB =+ ，所以,,CQ CA CB共面，又A ，B ，C 为底面圆周上三点，所以点Q 为平面ABC 上一点，由已知PO ⊥平面ABC ，所以PQ PO ≥ ，又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以PO =，所以PQ16．设直线l ：()()110R a x ay a +--=∈与圆C ：224x y +=交于,A B 两点，则AB 的取值范围是___________．【正确答案】4]【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长时的位置，求得弦长，即可得到AB 的取值范围．【详解】直线l ：()()110R a x ay a +--=∈即为()10a x y x -+-=，由010x y x -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩,可得直线l 过定点(1,1)P ，圆C ：224x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径2r =，由于22114+<,故(1,1)P 在圆C ：224x y +=内，||CP ==，则当直线l CP ⊥时，AB 最小，min ||AB =AB 的最大值即为圆的直径，∴AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦故⎡⎤⎣⎦．四、解答题17．已知ABC 三个顶点的坐标分别为()2,4A 、()1,1B -、()9,3C -，求：(1)BC 边上的中线所在直线的方程；(2)BC 边上的高所在直线的方程；(3)BAC ∠的平分线所在直线的方程．【正确答案】(1)52180x y +-=(2)5220x y --=(3)2x =【分析】（1）求出线段BC 的中点坐标，利用两点式可得出BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求出直线BC 的斜率，可得出BC 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；（3）分析可得0AB AC k k +=，数形结合可得出BAC ∠的平分线所在直线的方程.【详解】（1）解：BC 的中点为()41-,，所以BC 边上的中线所在直线的方程为421442y x --=---，整理可得52180x y +-=.（2）解：132195BC k +==--- ，则BC 边上的高所在直线的斜率为52，所以BC 边上的高所在直线的方程为()5422y x -=-，整理可得5220x y --=.（3）解：41121AB k -==+ ，43129AC k +==--，所以0AB AC k k +=，所以，BAC ∠的平分线所在直线的方程为2x =.18．已知长方体111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，13AA =，点M ，N 分别在棱CD ，11A D 上，且11A N =，DM a =．(1)若1MN B N ⊥，求a ；(2)若MN 平面1A BD ，求a ．【正确答案】(1)32a =(2)12a =【分析】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，（1）得出MN 与1B N 的坐标，由已知得出10MN B N ⋅= ，即可列式解出答案；（2）得出MN 与1A B uuu r 的坐标，求出平面1A BD 的法向量，即可根据已知MN 平面1A BD ，列式求解得出答案.【详解】（1）以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,4,0D ，()12,0,3B ，(),4,0M a ，()0,1,3N ，所以(),3,3MN a =-- ，()12,1,0B N =- ，1MN B N ⊥ ，10MN B N ∴⋅= ，即230a -=，解得32a =；（2）由（1）得(),3,3MN a =-- ，()10,0,3A ，()2,0,0B ，()12,0,3A B =- ，设平面1A BD 的法向量为n，则100BD n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，取()6,3,4n = 由MN 平面1A BD ，得0n MN ⋅= ，解得12a =.19．在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =2，AA 1=M 为BB 1的中点．(1)求AB 与平面MAC 所成角的正弦值；(2)证明：平面MA 1C 1⊥平面MAC ．【正确答案】4(2)证明见解析【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案；利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明.【详解】（1）解：取AC 的中点O ，则OB AC ⊥，以O 为原点．以OA ，OB 为x ，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．即O (0，0，0)，A (1，0，0)，C (-1，0，0)，B (030)，M (033所以()1,3,0AB =- ，()2,0,0AC =- ，(1,3,3AM =- 设平面MAC 的法向量为n，则00AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1n =- 所以()36cos 4,22AB n ==⨯ 故AB 与平面MAC 64（2）解：由（1）得A 1(1，0，23，C 1(-1，0，23，则()(1112,0,01,3,3A C A M =-=-- 设平面11MA C 的法向量为m ，则11100A C m A M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1m = 所以0m n ⋅= ，即m n ⊥ ，故平面MA 1C 1⊥平面MAC ．20．已知圆O ：221x y +=与圆C ：22680x y x y m +--+=相外切．(1)求m 的值；(2)若直线l 与圆O 和圆C 都相切，求满足条件的所有l 的方程．【正确答案】(1)9m =(2)10x +=或724250x y --=或3450x y +-=【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可.(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.【详解】（1）圆O 的圆心为O (0，0)，半径1r =由圆C ：22680x y x y m +--+=得()()223425x y m -+-=-，25m <．所以圆C 的圆心C (3，4)，半径R 因为两圆相外切，所以1OC R =+，5OC ==,4=，解得9m =（2）由（1）得圆C ：()()223416x y -+-=①当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x t=依题意134t t ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1t =-，即l 的方程为=1x -②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，依题意14⎧=⎪⎪=，所以344k b b +-=当344k b b +-=时，334b k =-，代入上式可得()223491)(k k -=+，解得724k =，即2524b =-所以此时l 的方程为7252424y x =-当344k b b +-=-时543b k =-，代入上式可得()()2243251k k -=+，解得34k =-即54b =所以此时l 的方程为3544y x =-+故满足题设的l 的方程为10x +=或724250x y --=或3450x y +-=．21．如图，四边形ABCD 为正方形，以BD 为折痕把BCD △折起，使点C 到达点P 的位置，且二面角A BD P --为直二面角，E 为棱BP 上一点．(1)求直线AD 与BP 所成角；(2)当PE EB 为何值时，平面ADE 与平面PAB 23【正确答案】(1)60 (2)12PE EB =【分析】（1）连接AC 、BD ，设AC BD O = ，推导出PO ⊥底面ABD ，然后以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设1OA =，利用空间向量法可求得直线AD 与BP 所成角；（2）设PE PB λ= ，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解之即可得出结论.【详解】（1）解：连接AC 、BD ，设AC BD O = ，则O 为BD 的中点，由已知AB AD =，PB PD =，则OP BD ⊥，AO BD ⊥，所以AOP ∠为二面角A BD P --的平面角，所以90AOP ∠= ，因此AO OP ⊥，因为AO BD O = ，AO 、BD ⊂平面ABD ，故PO ⊥底面ABD ．以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OA =．则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，()1,1,0AD =-- ，()0,1,1BP =- ，所以1cos ,222AD BP AD BP AD BP ⋅<>===⨯⋅ ，故直线AD 与BP 所成角为60 ．（2）解：设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，()1,1,0AB =-uu u r ，()1,0,1AP =- ，则111100m AB x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设()()0,1,10,,PE PB λλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，()()()1,0,10,,1,,1AE AP PE λλλλ=+=-+-=-- ，()1,1,0AD =-- ，设平面ADE 的法向量为()222,,x n y z = ，则()22222010n AD x y n AE x y z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取1x λ=-，可得()1,1,1n λλλ=--+ ，由题意可得cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅ ，因为01λ≤≤，解得13λ=，则13PE PB = ，故12PE EB =，因此，当12PE EB =时，平面ADE 与平面PAB 夹角的余弦值为23.22．已知圆C ：()222(0)x a y r r -+=>，四点P 1(1，1)，P 2(0，2)，P 3(1，P 4(1，中恰有三点在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)设以k 为斜率的直线l 经过点Q (4，-2)，但不经过点P 2，若l 与圆C 相交于不同两点A ，B ．①求k 的取值范围；②证明：直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值．【正确答案】(1)224x y +=(2)①413k -<<-或10k -≤<；②证明见解析【分析】（1）先判断出2P ，3P ，4P 在圆C 上，然后通过列方程组的方法求得,a r ，从而求得圆C 的方程.（2）①将直线l 的方程代入圆C 的方程，化简后利用0∆>求得k 的取值范围.②利用根与系数关系证得22P A P B k k +为定值.【详解】（1）显然圆C 关于x 轴对称，3P (1，4P (1，关于x 轴对称，所以3P 、4P 在圆C 上，因此1P 不在圆C 上，即2P ，3P ，4P 在圆C 上，代入圆的方程可得:()2222413a r a r ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得02a r =⎧⎨=⎩．所以圆C 的方程为224x y +=．（2）直线l ：2(4)y k x +=-，1k ≠-．①将直线l ：2(4)y k x +=-代入圆C 的方程得()()222218416160k x k k x k k +-+++=．()()()2222844116160k k k k k ∆=+-++>，解得403k -<<，又1k ≠-，所以413k -<<-或10k -≤<，②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122841k k x x k ++=+，212216161k k x x k +⋅=+，2112P A y k x -=，2222P B y k x -=，112(4)y k x +=-，222(4)y k x +=-，所以()()22121221244244144P A P B x x k k k k k k k x x k +++=-+⋅=-+⋅=-+，圆直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值.。
空间两点间距离公式含详解
空间两点间距离公式含详解直线距离公式可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)是两点的坐标。
下面我们详细解释直线距离公式的每个部分。
(x2-x1)²：代表两点在X轴上的距离的平方。
首先，我们计算两点在X轴上的差值，即(x2-x1)，然后将其平方。
(y2-y1)²：代表两点在Y轴上的距离的平方。
同样，我们计算两点在Y轴上的差值，即(y2-y1)，然后将其平方。
(z2-z1)²：代表两点在Z轴上的距离的平方。
同样地，我们计算两点在Z轴上的差值，即(z2-z1)，然后将其平方。
最后，我们将每个轴上的差值的平方相加，得到一个结果。
然后，我们再将该结果取平方根，得到最终的距离。
这个公式的推导可以通过三维空间中的勾股定理来完成。
根据勾股定理，三个非重合的点形成的三角形，可以用勾股定理计算三边之间的关系。
而直线距离公式就是在三维空间中的勾股定理的扩展。
直线距离公式还可以推广到更高维度的空间中。
在四维空间中，该公式变成了：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²+(w2-w1)²)其中的(w2-w1)²表示两点在第四个维度上的距离的平方。
需要注意的是，在计算直线距离时，坐标的单位应该是一致的。
如果两点的坐标使用不同的单位，计算出的距离将会是不准确的。
直线距离公式在空间几何中有广泛的应用，例如在计算机图形学、机器人路径规划、物体定位等领域。
它是测量两点之间最短路径长度的一种有效工具。
总结起来，直线距离公式通过计算两点在每个轴上的差值的平方和，并取其平方根，来计算空间中两点间的距离。
该公式可以应用于二维、三维或更高维度的空间。
它是空间几何中常用的工具之一，具有广泛的应用领域。
2023届吉林省长春市重点名校高一数学第一学期期末调研试题含解析
【解析】本题考查向量 基本运算
对于A， ，故A不正确；对于B，由于向量的加减运算的结果仍为向量，所以 ，故B错误；由于向量的数量积结果是一个实数，故C错误，C的结果应等于0；D正确
10、C
【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得结果.
【详解】由全称命题的否定是特称命题知： ， ，
是 ， ，故选：C.Fra bibliotek13．已知平面 和直线 ，给出条件：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
（1）当满足条件_________时，有 ；
（2）当满足条件________时，有 ．（填所选条件的序号）
14．已知直线 平行，则实数 的值为____________
15．不等式 的解集为___________.
16．已知空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），则|AB|＝_____
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
（2）依题意可得集合 ，分 与 两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；
【小问1详解】
解：由 得解 ，所以 ，又
若 ，分类讨论：
当 ，即 解得 ，满足题意；
当 ，即 ，解得 时，
若满足 ，则必有 或 ；
解得 .
综上，若 ，则实数t的取值范围为 .
【小问2详解】
解：由“ ”是“ ”的必要不充分条件，则集合 ，
对于D，由指数函数的单调性知，正确.
河南省郑州二中2023届高一上数学期末检测模拟试题含解析
【详解】由题设， ，可得 ，
所以 .
故选：A
9、D
【解析】由题意利用角在各个象限 符号，即可得出结论.
【详解】由题意，点 在第二象限，
则角 的终边所在的象限位于第四象限，故选D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
【解析】（1）由 结合正弦面积公式及余弦定理得到 ，进而得到结果；（2）由 结合内角和定理可得 分两类讨论即可.
试题解析：
（1） ，由余弦定理得，
（2）
即 或 （ⅰ）当 时，由第（1）问知 ， 是等腰三角形， （ⅱ）当 时，由第（1）问知 ， 又 ，矛盾，舍.
综上 是等腰三角形，其面积为
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
C.[0，4)D.(0，4]
5．已知 ， ，则 的值为
A. B.
C. D.
6．已知函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m的值是（）
A 或2B.2
C. D.1
7．已知向量 ， ， ，则
A. B.
C. D.
8．已知角 终边经过点 ，且 ，则 的值是（）
A. B.
C. D.
9．已知点 在第二象限，则角 的终边所在的象限为
故可设PA： ，PB：
由 ，得 ，
因为 的横坐标 一定是该方程的解， ，
同理可得
由于AB的斜率 的斜率 ，
所以直线AB和OP一定平行
2022年山东省淄博市第一中学高一数学理上学期期末试题含解析
2022年山东省淄博市第一中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=sin2x﹣2sin2x+1的最大值为（）A．2 B．C．3 D．参考答案：B【考点】三角函数的最值．【分析】使用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的性质得出最大值．【解答】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+）．∴y的最大值是．故选：B．2. 设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2 B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2参考答案：D【考点】映射．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．3. 幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为增函数，则m的值为（）A．1或3 B．1 C．3 D．2参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义与性质，得出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣4m+4）x在（0，+∞）为增函数，∴，解得，所以m的值为1．故选：B．4. 数列{a n}前n项和为S n，，，，若，则k= （）A. 1344B. 1345C. 1346D. 1347参考答案：C【分析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k的值即可.【详解】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.本题选择C选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．5. 已知|a|=3，|b|=5，且a+b与a-b垂直，则等于( )(A) (B) ±(C) ±(D) ±参考答案：B6. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．参考答案：A7. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（）＜f（x）的x取值范围是( )A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．[﹣2，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】根据已知中偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，我们易分析出函数f（x）的单调性，进而将不等式f（）＜f（x）转化为一个关于x的一元二次不等式，解不等式后，结合不等式有意义的x的取值范围，即可得到答案．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]单调递减，则不等式f（）＜f（x）可化为：||＜|x|即x+2＜x2，即x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1，或x＞2又∵当x＜﹣2时，无意义故满足f（）＜f（x）的x取值范围是[﹣2，﹣1）∪（2，+∞）故选C．【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中根据已知条件判断出函数f（x）的单调性是解答本题的关键，但本题解答过程中易忽略当x＜﹣2时，无意义，而错选B．8. 计算的值等于（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 已知A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B为( )A．{0，2} B．{1，3} C．{0，1，3} D．{2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析集合A与B的全部元素，由交集的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B={1，3}；故选B．【点评】本题考查集合交集的计算，关键是理解交集的含义．10. 已知映射f：M→N，其中集合M={（x，y）|xy=1，x＞0}，且在映射f的作用下，集合M中的元素（x，y）都变换为（log2x，log2y），若集合N中的元素都是集合M中元素在映射f下得到的，则集合N是（）A．{（x，y）|x+y=0} B．{（x，y）|x+y=0，x＞0} C．{（x，y）|x+y=1} D．{（x，y）|x+y=1，x＞0}参考答案：A【考点】映射．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由题意可知N中元素的横纵坐标之和为0，以此确定N中元素的条件即可．【解答】解：∵xy=1，x＞0，∴log2x+log2y=log2xy=log21=0，由此排除C，D，由题意可知，N中的元素横坐标是任意实数，故选：A．【点评】本题考查映射的概念，注意对题目隐含条件的挖掘是解题的关键，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，，，. 若，，且，则的值为______________.参考答案：,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.12. 定义运算：.若，则______ 参考答案：【分析】根据定义得到，计算，，得到，得到答案.【详解】，，故，.，故.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，变换是解题的关键.13. 对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是________．参考答案：1略14. 直线l1: x+ay+6=0与l2: (a-2)x+3y+2a=0平行，则的值为. 参考答案：-115. 已知奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则 t的取值范围是．参考答案：（0，1）【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，可将f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0转化为﹣1＜t2﹣1＜1﹣t＜1，解得 t的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且是奇函数，故f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0可化为：即f（1﹣t）＜﹣f（1﹣t2），即f（1﹣t）＜f（t2﹣1），即﹣1＜t2﹣1＜1﹣t＜1，解得：t∈（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．16. （4分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为．参考答案：6考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：求出点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，直接利用空间零点距离公式求出距离即可．解答：在空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3）关于平面xoz的对称点为B（1，2，3），点A（1，﹣2，3）关于x轴的对称点为C（1，2，﹣3），则B、C间的距离为：=6．故答案为：6点评：本题考查空间点的对称坐标的求法，两点的距离公式的应用，考查计算能力．17. 若，则___________,_____________；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023-2024学年四川省成都市高二上册期末调研考试数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二上册期末调研考试数学(理)试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（）A.12y x =±B.14y x =±C.2y x=± D.4y x=±【正确答案】C【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为.2y x=±故选：C2.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(4,1,9)P 到点(2,4,3)Q 的距离为（）A.5B.6C.7D.8【正确答案】C【分析】根据空间两点的距离坐标公式即可.【详解】根据空间两点的距离坐标公式可得.7PQ ==故选：C3.在一次游戏中，获奖者可以获得5件不同的奖品，这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号，则5件奖品的编号可以是（）A.3，13，23，33，43 B.11，21，31，41，50C.3，6，12，24，48 D.3，19，21，27，50【正确答案】A【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.【详解】依题意，组距为50105=，所以A 选项符合，BCD 选项不符合.故选：A4.命题“0m ∀∈≤N ”的否定是（）A.00m ∃∉≥NB.00m ∃∈>NC.00m ∃∈≤ND.0m ∀∈>N 【正确答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题0m ∀∈≤N 是全程量词命题，所以其否定是存在量词命题，即00m ∃∈>N ，故选：B5.若,,a b c ∈R ，则“a b >”是“a c b c +>+”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充要条件的定义即可判断.【详解】根据不等式的性质可得a b a c b c >⇔+>+，∴“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件.故选：C6.已知直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），则下列说法中错误的是（）A.当0B =时，直线l 总与x 轴相交B.当0C =时，直线l 经过坐标原点O C.当0A C ==时，直线l 是x 轴所在直线D 当0AB ≠时，直线l 不可能与两坐标轴同时相交【正确答案】D【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）.A 选项，当0B =时，0A ≠，直线方程可化为Cx A=-，此时直线l 总与x 轴有交点，A 选项正确.B 选项，当0C =时，直线方程为0Ax By +=，此时直线l 经过原点O ，B 选项正确.C 选项，当0A C ==时，0B ≠，直线方程可化为0y =，此时直线l 是x 轴所在直线，C 选项正确.D 选项，当0AB ≠时，如10x y -+=，直线l 过点()()1,0,0,1-，即直线l 与两坐标轴同时相交，D 选项错误.故选：D.7.执行如图所示的程序语句，若输入5x =，则输出y 的值为（）INPUTx IF x<0THEN y=-x+1ELSE y=-x^2+3END IF PRINTy ENDA.4B.7C.22- D.28-【正确答案】C【分析】分析程序框图的运行过程知，本题的功能为计算并输出分段函数21,03,0x x y x x -+<⎧=⎨-+≥⎩的值，因为输入5x =，所以执行的是23y x =-+，进而可得解.【详解】由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数21,03,0x x y x x -+<⎧=⎨-+≥⎩的值，当5x =时，满足0x ≥，∴执行23y x =-+，∴输出的y 值为22-．故选：C8.已知F 是抛物线24y x =的焦点，M 是抛物线上一点，且满足120OFM ∠=︒（O 为坐标原点），则FM 的值为（）A.4B.3C. D.2【正确答案】A【分析】设FM t =，求得M 点坐标并代入抛物线方程，从而求得t ，也即求得FM .【详解】依题意，()1,0F ，设FM t =，由于120OFM ∠=︒，不妨设M 在第一象限，则()1cos60,sin 60M t t +︒︒，即131,22M t ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，将M 点坐标代入24y x =得2314142t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()()238160,4340t t t t --=-+=，由于0t >，所以4t =，即4FM =.故选：A9.已知圆221:(2)(1)9O x y -+-=和直线:10l x y -+=.若圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆2O 的方程为（）A.22(3)9x y -+= B.22(3)9x y +-=C.22(2)(3)9x y -+-= D.22(3)(2)9x y -+-=【正确答案】B【分析】求出圆1O 的圆心关于直线l 的对称点，即为圆2O 的圆心坐标，进而可得圆2O 的方程．【详解】圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆心()12,1O 与圆()2,O a b 关于:10l x y -+=对称可得211022112a bb a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，化简得3030a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，解得0,3a b ==又两圆半径相等，故圆2O 的方程为22(3)9x y +-=故选：B10.已知13,22m ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，命题2:2320p m m --≤，命题22:1623x y q m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆.则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧ B.p q∨ C.p q⌝∨ D.p q⌝∧【正确答案】B【分析】首先判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真假性判断即可.【详解】解：由22320m m --≤，即()()2120m m +-≤，解得122m -≤≤，因为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以命题p 为真命题，则p ⌝为假命题，若方程221623x ym m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则60230623m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得332m <<，又13,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p q ⌝∨为假命题，p q ⌝∧为假命题.故选：B11.在平面直角坐标系xOy 内，对任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义A ，B 之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-，记到点O 的曼哈顿距离小于或等于1的所有点(,)x y 形成的平面区域为Ω.现向221x y +=的圆内随机扔入N 粒豆子，每粒豆子落在圆内任何一点是等可能的，若落在Ω内的豆子为M 粒，则下面各式的值最接近圆周率的是（）A.N MB.2N MC.3N MD.4N M【正确答案】B【分析】设(),P x y ，根据1OP ≤得1x y +≤，作出平面区域Ω，根据几何概型计算求解即可.【详解】设(),P x y ，则|1|P y O x =+≤，当0,0x y ≤≥时，1x y +≤；当0,0x y ≥<时，1x y -≤；当0,0x y <≥时，1x y -+≤；当0,0x y <<时，1x y --≤.则平面区域Ω为下图中的四边形ABCD及其内部，其面积为2S ==，根据几何概型公式可得：2πM N =，2πN M∴=.故选：B12.已知有相同焦点1F ，2F 的椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点为A ，若2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，则abmn的值为（）A.2+B.2C.232D.223+【正确答案】A【分析】根据已知图形特征结合椭圆，双曲线中,a b c ，关系及公交点求解即可.【详解】2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，260°AOF ∠=且21OA OF OF ==，则2190°F AF ∠=，且122F F c =，则21,AF c AF ==，))121221,21,a AF AF c m AF AF c =+==-=-)2222221322c b a c c c ⎛⎫+⎪=-=-= ⎪⎝⎭，)2222221322c n c m c c ⎛⎫- ⎪=-=-= ⎪⎝⎭所以22b n =，即得b n =，所以112423222cab a a mn m m++=====+故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.椭圆22110036x y +=上一点P 与它的一个焦点的距离等于6，那么点P 与另一个焦点的距离等于______.【正确答案】14【分析】设左、右焦点为12,F F ,利用椭圆的定义即得解.【详解】设左、右焦点为12,F F ,设1||6PF =，由题得10,a =因为12||||2210=20PF PF a +==⨯，所以2||14PF =.所以点P 与另一个焦点的距离等于14.故1414.为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为______.（结果保留到小数点后两位）【正确答案】71.67【分析】依据频率分布直方图，计算0.5p =时对应的数值，即为中位数.【详解】解：()0.0050.04100.450.5+⨯=< ，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=> ，所以中位数在[)70,80之间，设中位数为m ，则有700.03100.50.4510m -⨯⨯=-，所以57071.673m =+≈故答案为.71.6715.甲，乙两人下棋，若两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，则乙获胜的概率是______.【正确答案】512【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】解：甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，∴乙获胜的概率11134512P =--=．故512．16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点1F ，2F ，经过1F 斜率为的直线l 与双曲线的左支相交于P ，Q 两点.记12PF F △的内切圆的半径为a ，则双曲线的离心率为______.1或212+【分析】分两种情况求解离心率，设内切圆圆心为T，分别与三边相切于,,M N H，连接1TF，计算得到212HF HF c+=，1HF c a=-，得到1tan aTF Hc a∠=-，根据二倍角公式得到212ee e-=-解得答案.【详解】当P点在第二象限时，设内切圆圆心为T，分别与三边相切于,,M N H，连接1TF，2121212PF PF NF MF HF HF a-=-=-=，又212HF HF c+=，1HF c a=-，则1tan aTF Hc a∠=-，直线1PF的斜率为221ac aac a-=⎛⎫- ⎪-⎝⎭，整理得到：212ee e-=-1e=+或212e=-（舍去）.当P点在第三象限时，同理设内切圆圆心为T，分别与三边相切于,,M N H，连接1TF，2121212PF PF NF MF HF HF a-=-=-=，又212HF HF c+=，1HF c a=-，则1tan aTF Hc a∠=-，直线1PF的斜率为221ac aac a--=⎛⎫- ⎪-⎝⎭，整理得到：212e e e -=-12e =+或1e =.1+或212+三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点(4,2)P -，直线:3450l x y --=.（1）求经过点P 且与直线l 平行的直线的方程；（2）求经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程.【正确答案】（1）34200x y -+=（2）43100x y ++=【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用P 点坐标求得正确答案.（2）利用点斜式求得所求直线的方程.【小问1详解】设经过点P 且与直线l 平行的直线的方程为340x y C -+=，将()4,2P -代入得1280,20C C --+==，所以所求直线方程为34200x y -+=【小问2详解】直线:3450l x y --=的斜率为34，与直线l 垂直的直线的斜率为43-，所以经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程为()4243y x -=-+，即43100x y ++=.18.甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图：（1）判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由；（2）从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，求至多有一天的次品数超过1件的概率.【正确答案】（1）乙机床更稳定，理由见解析；（2）910【分析】（1）计算甲、乙两种机床的生产次品的平均数和方差，说明稳定性；（2）分别计算从五天中任意抽取两天的方法种数和这两天中至多有一天次品数超过1的方法种数，利用古典概型公式计算概率即可.【小问1详解】甲机床的次品数为0,1,0,2,2，平均数为1，方差为()()()()()22222101110121210.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；乙机床的次品数为.1，平均数为1，方差为()()()()()22222111011121110.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；∴甲、乙两个机床生产的次品的平均数相等，甲机床次品数的方差大于乙机床次品数的方差，所以乙机床性能更稳定.【小问2详解】设从五天的数据中抽取两天，至多有一天的次品数超过1件为事件A ，则从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，抽取的方法有25C 10n ==种，至多有一天的次品数超过1件()211332C C C 9n A =+=，则()910P A =.19.已知圆22:60A x y x +-=与直线32x =相交于M ，N 两点.（1）求||MN 的长；（2）设圆C 经过点M ，N 及(2,2)B .若点P 在圆C 上，点Q 在圆A 上，求||PQ 的最大值.【正确答案】（1）（2）7+【分析】（1）根据圆的方程确定圆心与半径，求圆心到直线的距离，结合直线与圆相交弦长公式求解即可得||MN 的长；（2）根据圆C 经过点M ，N ，可得圆心在圆心C 在x 轴上，设(),0C a ，半径为1r ，即可求得圆C 的方程，再根据两圆上动点距离最值即可得||PQ 的最大值.【小问1详解】圆22:60A x y x +-=化成标准方程为()2239x y -+=，则圆心为()3,0A ，半径3r =，圆A 与直线32x =相交于M ，N 两点，则圆心A 到直线32x =的距离为33322d =-=，所以MN ===【小问2详解】由于圆A 与直线32x =相交于M ，N 两点，所以333333,2222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或333333,2222N M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，又圆C 经过点M ，N ，则圆心C 在x 轴上，设(),0C a ，半径为1r ，则1CM CB r ==，1r ==，解得11,a r =-=则圆()22:113C x y ++=，若点P 在圆C 上，点Q 在圆A上，所以max 1||437PQ AC r r =++=++=+.20.某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x （单位：个）1719202123售卖出的产品件数y （单位：万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，（1）求2022年售卖出的产品件数y （单位：万件）关于销售网点数x （单位：个）的线性回归方程；（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式：()()()112211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.【正确答案】（1）167.ˆyx =-；（2）约57万件.【分析】（1）由参考公式可算出销售网点数x （单位：个）的线性回归方程；（2）将40x =代入由（1）算得的回归方程可得答案.【小问1详解】由题，可得1719202123205x ++++==，2122252730255y ++++==，51172119222025212723302532i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5222222117192021232020ii x==++++=∑.则22532520253216202020520ˆ.b-⨯⨯===-⨯，2520167.ˆa =-⨯=-.故回归方程为.167.ˆyx =-【小问2详解】将40x =代入回归方程，则64757ˆy=-=.故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约57万件.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设经过右焦点2F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点.求四边形ACBD 的面积的最小值.【正确答案】（1）2214x y +=（2）3225【分析】（1）依题意得到关于a 、b 、c 的方程组，解得即可；（2）首先求出右焦点坐标，当直线AB 的斜率不存在或为0时直接求出四边形的面积，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线(:AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出AB ，同理得到CD ，最后由面积公式及基本不等式计算可得.【小问1详解】依题意可得2222231142a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】由（1）可知)2F ，当直线AB 的斜率不存在或为0时，1141222ACBDS AB CD =⋅=⨯⨯=，其中通径为221b a=，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线(:AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线(1:CD y x k=-，由(2214y k x xy ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y 得()2222141240k x x k +-+-=，()()()()222224141241610k kk ∆=--+⨯-=+>，所以212214x x k+=+，212212414k x x k -=+，所以AB =()224114k k +==+，同理可得()2222141414114k k CD k k ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()()222281121414ACBDSk k k kAB CD =⋅+⨯⨯++=+，因为()()()()()222222214425114424k k k k k ⎡⎤++++⎢⎥++≤=⎢⎥⎣⎦，所以()()22221322525148ACBD S k k +≥=⨯+，当且仅当1k =±时等号成立，综上可得四边形ACBD 的面积的最小值为3225.22.已知点(1,0)F ，经过y 轴右侧一动点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，且||||1AF AM -=.记动点A 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点(1,0)B -的直线与曲线C 相交于P ，Q 两点，经过点(1,)((0,2)D t t ∈，且t 为常数）的直线PD 与曲线C 的另一个交点为N ，求证：直线QN 恒过定点.【正确答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析【分析】（1）设()(),0A x y x >，根据距离公式得到方程，整理即可；（2）设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,N x y ，表示出直线PQ 的方程，由点()1,0B -在直线PQ 上，代入可得124y y =，同理可得()13231y y ty y y ++=，再表示出直线QN ，代入可得()()()131441y y ty y x +-=-，即可得到直线QN 过定点坐标.【小问1详解】解：设()(),0A x y x >，则()0,M y ，因为||||1AF AM -=1x -=，又0x>1x =+，整理得()240y x x =>.【小问2详解】证明：设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,N x y ，所以121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-，所以直线PQ 的方程为()11124y y x x y y -=-+，因为点()1,0B -在直线PQ 上，所以()111241y x y y -=--+，即21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭，解得124y y =①，同理可得直线PN 的方程为()11134y y x x y y -=-+，又()1,D t 在直线PN 上，所以()111341t y x y y -=-+，易得1y t ≠，解得()13231y y ty y y ++=②，所以直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+，即()23234y y y x y y +=+③，将②式代入③式化简得()1311234y y ty y x y y y +=+，又124y y =，即()131344y y ty y x y +=+，即()()()131441y y ty y x +-=-，所以直线QN 恒过定点41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
安徽省黄山市八校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
“八校联盟”2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设点(2,A -关于坐标原点的对称点是B ，则AB等于（）A.6B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用空间两点间距离公式，结合对称的性质计算即得.【详解】令坐标原点为O ，依题意，2||AB AO ===故选：C2.设12F ,F 为定点，128F F =，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是（）A.线段B.直线C.圆D.椭圆【答案】A 【解析】【分析】对M 的位置分类讨论即可求解.【详解】若M 在直线12F F 外，由三角形两边长大于第三边有12128MF MF F F +>=，不合题意，故M 必在直线12F F 上，若M 在线段12F F 外，也有12128MF MF F F +>=，不合题意，故M 必在线段12F F 上，且总有12128MF MF F F +==，故选：A.3.已知直线l 的一个方向向量为()12,-，直线l 的倾斜角为α，则2sin 2cos 1αα--的值为（）A.2-B.0C.1- D.2【答案】A 【解析】【分析】根据直线方向向量得出直线斜率，再由同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()12,-，直线l 的倾斜角为α，所以2tan 21α==--，所以2sin 2cos 1αα--2222222sin cos 2cos sin 2tan 2tan 4242sin cos tan 141ααααααααα-------====-+++，故选：A4.设a ∈R ，则1a =是直线1:220l x ay ++=与直线()2:10l a x y a +++=平行的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将1a =代入直线方程，判断充分性；由直线平行的依据判断必要性.【详解】充分性：当1a =时，直线1:220l x y ++=，直线2:210l x y ++=.显然，两直线斜率相等，故两直线平行，充分性成立.必要性：若两直线平行，则有()12a a +=即()()22210a a a a +-=+-=，解得2a =-或1a =，经检验两直线不重合，显然，必要性不成立.故选：B 【点睛】5.已知点D 在△ABC 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数x ，y 满足32OD OC xOA yOB =--，则222x y +的最小值为（）A.13B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据空间四点共面及二次函数的最值求解.【详解】因为32OD OC xOA yOB =--，且,,,A B C D 四点共面，由空间四点共面的性质可知321x y --=，即22x y =-，所以()2222222442226846333x y y y y y y ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以当23y =时，222x y +有最小值43.故选：D6.已知P 是直线l ：240x y -+=上一动点，过点P 作圆C ：220x y x +-=２的两条切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 的外接圆的面积的最小值为（）A.5π B.5π4 C.5π2D.4π【答案】B 【解析】【分析】结合图像给出外接圆的表达式即可求解.【详解】如图，由,PA AC PB BC ⊥⊥知四边形PACB 的外接圆以PC 为直径，故面积2π4S PC =，而PC 最小值为点C 到l 的距离d ==故5π4S ≥，故选：B7.已知矩形ABCD 的四个顶点都在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，边AD 和BC 分别经过椭圆的左、右焦点，且2AB BC =，则该椭圆的离心率（）A.12- B.22C.13- D.23【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得22||2||,b AB c BC a==，由条件建立方程求解即可.【详解】由椭圆方程，当x c =时，2by a=±，所以22||2||,b AB c BC a ==，因为2 AB BC =，所以224b c a=，即2222ac b a c ==-，所以221e e =-，解得12e =-+或12e =-，故选：A8.《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别为PD ，PB 的中点，PG PC λ=，2PA =，1AB =，若AG ⊥平面EFC ，则λ=（）A.27B.37C.47D.57【答案】C 【解析】【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()0AD a a =>，根据法向量的求法可求得平面EFC 的法向量n ，由//AG n可求得结果.【详解】以A 为坐标原点，,,AB AD AP正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设()0AD a a =>，则()0,0,0A ，()002P ,,，()1,,0C a ，0,,12a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,022a EF ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，()0,0,2AP = ，()1,,2PC a =- ，1,,12a EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面EFC 的法向量(),,n x y z =，则102202a EF n x y a EC n x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩，令1x =，解得1y a =，32z =，131,,2n a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，(),,22AG AP PG AP PC a λλλλ=+=+=-，又AG ⊥平面EFC ，//AG n ∴ ，221312a a λλλ-∴==，解得47λ=.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.点()02,关于直线1y x =+的对称点为()11,B.过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--C.经过点()11,且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D.直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】AD 【解析】【分析】利用点关于直线的对称知识判断A 的正误；运用直线的两点式方程判断B 的正误；利用直线的截距相等可判断C 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断D 的正误；【详解】对于A ，设点()0,2关于直线1y x =+的对称点为(),x y ，则211012122y x x y y x -⎧=-⎪=⎧⎪-⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩，即对称点为()1,1，A 正确；对于B ，两点式使用前提是1212,x x y y ≠≠，故B 错误；对于C ，经过点()11,且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线也可以为过原点，即y x =，故C 错误；对于D ，直线20x y --=与两坐标轴交点分别为()()0,2,2,0-，则与两坐标轴围成的三角形的面积12222S =⨯⨯=，故D 正确；故选：AD10.如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，1AB AC AA ==，90BAC ∠=︒，D 、E 分别为11A C 、1A B 的中点，则下列结论正确的是（）A.DE ∥1B CB.直线DE 与平面1A BC 所成角的正弦值为13C.平面1A BC 与平面ABC 夹角的余弦值为3D.DE 与1AA 所成角为π3【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项分析判断.【详解】如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2,0,1,2,1,0,1A B C A B C D E ，对于选项A ：可得()()11,1,1,2,2,2=--=--uuu r uuu rDE B C ，因为222111--=≠--，可知DE 与1B C 不平行，所以DE 与1B C 不平行，故A 错误；对于选项B ：可得()()12,0,2,2,2,0=-=-uuu r uu u rA B BC ，设平面1A BC 的法向量(),,n x y z = ，则1220220n A B x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则1y z ==，可得()1,1,1n =，则1cos ,3⋅==-⋅r uuu rr uuu r r uuu r n DE n DE n DE，所以直线DE 与平面1A BC 所成角的正弦值为13，故B 正确；对于选项C ：可得平面ABC 的法向量()0,0,1m =，则cos ,3n m n m n m⋅===⋅r u rr u r r u r ，所以平面1A BC 与平面ABC夹角的余弦值为3，故C 正确；对于选项D ：因为()10,0,2AA =，可得111cos ,3⋅==-⋅uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r AA DE AA DE AA DE ，则DE 与1AA所成角的余弦值为3，所以DE 与1AA 所成角不为π3，故D 错误；故选：BC.11.已知AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，4SA =，SO =B 为圆O 上异于,A C 的一点，M 为线段SC 上的动点（异于端点），则（）A.直线SB 与平面SAM 所成角的最大值为π6B.圆锥SOC.棱长为3的正四面体可以放在圆锥SO 内D.当M 为SC 的中点时，满足SB AM ⊥的点B 有2个【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据线面垂直得到线面角，然后结合三角函数以及线段长度分析角的最大值；B ：根据几何体的轴截面图进行分析计算；C ：先考虑将正四面体补形为正方体，然后根据正方体的外接球以及B 选项的结果进行判断；D ：假设SB AM ⊥成立，通过线面垂直推导线线垂直并逐步推出矛盾.【详解】A ：过B 作BD AC ⊥交AC 于D 点，连接SD ，如下图所示：因为SO ⊥圆锥底面，所以SO BD ⊥，又因为BD AC ⊥，AC SO O = ，,AC SO ⊂平面SAM ，所以BD ⊥平面SAM ，所以SB 与平面SAM 所成角即为BSD ∠，且4SA SB ==，又SO =2AO =，则4AC =，所以1sin 442BD BD AO BSD SB ∠==≤=，当且仅当B 位于 AC 的中点处时取等号，所以π0,6BSD ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，所以直线SB 与平面SAM 所成角的最大值为π6，故正确；B ：根据题意可得轴截面如下图所示，设内切球的球心为1O ，半径为r ，因为4SA SC AC ===，所以SAC 为等边三角形，所以SO ==，又因为111ππ,,26NO r SNO NSO =∠=∠=，所以12SO r =，所以113SO SO OO r =+=，所以3r =，所以内切球的体积为34ππ327V r ==，故错误；C ：将棱长为3的正四面体补形为正方体，如下图所示：由图可知正方体的棱长为43，此正方体的外接球的半径等于123，所以正四面体可以在半径为3的球内任意转动，由B 选项的结果可知，棱长为3的正四面体可以放在圆锥SO 内，故正确;D ：当M 为SC 的中点时，如下图:因为SAC 为等边三角形，所以AM SC ⊥，又因为SB AM ⊥，SB SC S ⋂=，,SB SC ⊂平面SBC ，所以AM ⊥平面SBC ，因为BC ⊂平面SBC ，所以AM BC ⊥，又因为SO ⊥圆锥底面，所以SO BC ⊥，且,SO AM 相交，,SO AM ⊂平面SAC ，所以BC ⊥平面SAC ，因为AC ⊂平面SAC ，所以BC AC ⊥，这显然不成立，所以满足SB AM ⊥的点B 不存在，故错误；故选：AC.12.如图所示．已知椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，F 1、F 2为左右焦点，下列命题正确的是（）A.P 为椭圆上一点，线段PF 1中点为Q ，则12PF OQ+为定值B.直线y kx =与椭圆交于R ，S 两点，A 是椭圆上异与R ，S 的点，且AR k 、AS k 均存在，则21AR AS k k e ⋅=-C.若椭圆上存在一点M 使122π3F MF ∠=，则椭圆离心率的取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭D.四边形1A BCD 为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab 【答案】ACD 【解析】【分析】利用椭圆的定义、直线斜率公式、离心率公式，结合椭圆和矩形的对称性、基本不等式、余弦定理逐一判断即可.【详解】A ：连接2PF ，由椭圆的定义可知212PF PF a +=，线段1PF 中点为Q ，所以22OQ PF =，于是有121222PF OQPF PF aa++===，所以本选项命题正确；B ：直线y kx =与椭圆交于R ，S 两点，因为直线y kx =经过原点，而椭圆是关于原点的中心对称图形，所以R ，S 两点关于原点对称，不妨设()()1111,,,R x y S x y --，()00,A x y ，2201010122010101AR ASy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，因为A 是椭圆上异与R 的点，所以有2222001122221,1x y x y a b a b +=+=，两个式相减，得2222222010*******201x x y y y y b a b x x a---=-⇒=--，因此2222221AR ASb ac k k e a a-⋅=-=-=-+，所以本选项命题是假命题；C ：椭圆上存在一点M 使122π3F MF ∠=，由余弦定理可知：222121212122F F MF MF MF MF ⎛⎫=+-⋅⋅⨯- ⎪⎝⎭，即()2222121212124244c MF MF MF MF MF MF c a MF MF =+-⋅⋅+⋅⇒=-⋅，即221244MF MF a c ⋅=-，而222221224443MF MF a a a c c a +≥≥≥-⇒≥2e ⇒≥，当且仅当12MF MF =时取等号，即M 为上（下）顶点时取等号，而01e <<，所以12e ≤<，因此本选项命题是真命题；D ：因为矩形1A BCD 和该椭圆的对称轴和对称中心相同，所以设矩形在第一象限的顶点为()()2222,0,0D x y x y >>，即2222221x y a b+=，所以矩形1A BCD 的面积为224x y ，因为22222222221242x y x yx y ab a b ab=+≥⋅⇒≤，当且仅当22x y =时取等号，即当2222x y a b==+时取等号，因此本选项命题是真命题，故选：ACD【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆的定义、椭圆和矩形的对称性、基本不等式进行求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量()1,0,1= a ，()2,2,1b = ，则向量a在向量b 上的投影向量的坐标是_______．【答案】221,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的概念计算即可得解.【详解】向量a在向量b 上的投影向量为：()()222221201131932212212,2,1,,333a b b a b b b b bb b ⋅⋅⎪⨯++⨯⋅=⋅=⋅=⎛⎫=+ ⎝⋅=+⎭ .故答案为：221,,333⎛⎫⎪⎝⎭14.已知P 为圆()()22344x y -+-=上一点，则点()cos ,sin Q αα到P 点的距离的最大值为_________．【答案】8【解析】【分析】根据Q 点的轨迹为圆，由圆的几何性质，求利用两圆上两点间的距离的最大值.【详解】由()()22344x y -+-=知圆心1C 为()3,4，半径为12r =，又()cos ,sin Q αα，所以Q 点的轨迹方程为221x y +=，则圆心2C 为(0,0)，半径21r =，故2212345C C =+=，所以1212max 5218PQ C C r r =++=++=.故答案为：815.若关于x 的不等式1kx -≤的解集是[]0,1，则k 值是________．【答案】2【解析】【分析】将给定不等式等价转化构造函数，再借助几何图形及给定解集确定直线1y kx =-过的点即得.【详解】不等式11kx kx -≤⇔-≤令y =，即22(1)1(0)x y y -+=≥表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆在x 轴及上方的半圆，1y kx =-表示过定点(1,0)-的直线，因此不等式1kx -≤的解集是[]0,1，等价于半圆y =在直线1y kx =-及上方时，x 的取值集合恰为[]0,1，观察图象得直线1y kx =-恰过点(1,1)，则有111k =⨯-，所以2k =.故答案为：216.半径为R 的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，2AB R CD ==，则A BCD V -的最大值为_______【答案】348R 【解析】【分析】由题意可求出,AB CD 间距离的最大值，结合棱锥体积确定当AB ⊥平面CDM 时A BCD V -取最大值，从而利用棱锥体积公式求得答案.【详解】由题意知半径为R 的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，2AB R CD ==，设球心为O ，则O 到AB 2=，到CD 4=，则,AB CD 间距离的最大值为244R++=，此时,AB CD 位于O 点两侧，,AB CD 所在的小圆面平行时，,AB CD 间距离最大；设M 为AB 上一点，则CDM V 的面积的最大值为24164CDMR R S R +⋅== ，设,A B 到平面CDM 的距离为12,d d ，而121()3A BCD A CMDB CMD CDM V V V S d d ---==++ ，则12d d AB +≤，当AB ⊥平面CDM 时取等号，即当AB ⊥平面CDM 时，A BCD V -取到最大值，最大值为231(2315)231531648R AB R +⨯⨯=，故答案为：348R 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，三棱锥111ABC A B C -中，点D 、E 分别为11B C 和1BB 的中点，设1AA a = ，AB b = ，AC c =．（1）试用a，b，c表示向量CD；（2）若1160A AB A AC CAB ∠=∠=∠=，12AA AB AC ===，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．【答案】（1）1122cC bD a =+-（2）7【解析】【分析】（1）根据空间向量的运算即可求得答案；（2）根据空间向量的数量积的运算律求出AE ，CD的模，以及二者的数量积，根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】1111112CD CC C D CC C B =+=+ ()111122CC CB CC AB AC=+=+- 1122a b c =+- ；【小问2详解】由题意可知：1160A AB A AC CAB ∠=∠=∠=，12AA AB AC ===，故22cos602a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，112AE AB BE AB BB =+=+ 12b a =+ ，故222211724AE b a b a b a ⎛⎫=+++⋅= ⎪=⎝⎭，AE =∴221122CD a b c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 222111442a b c a b a c b c =+++⋅-⋅-⋅5=，CD ∴=则111222AE CD b a a c ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221111122424a ab b a b bc a c =+⋅++⋅-⋅-⋅5=，cos ,7AE CD AE CD AE CD⋅∴〈==〉，由于异面直线AE 和CD 所成角范围大于0 小于等于90 ，∴异面直线AE 和CD 所成角的余弦值为7．18.已知直线()21R l y kx k k =-+∈：．（1）若直线l 不经过第二象限，求k 的取值范围．（2）若直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为92时（O 为坐标原点），求此时相应的直线l 的方程．【答案】（1）12k ≥（2）3y x =-+或4213=-+y x 【解析】【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围；（2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示AOB 的面积，即可求直线的斜率和方程.【小问1详解】由题意可知直线():21R l y kx k k =-+∈，()21y k x =-+易知直线l 过定点()2,1，当直线l 过原点时，可得12k =，当12k ≥时，直线l 不经过第二象限．【小问2详解】由题意可知0,k <∵直线:21l y kx k =-+与x 轴、y 轴正半轴的交点分别是()12,0,0,12A k B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭-，2111(21)21222AOBk S k k k-∴=-⨯-=⨯ ，当0k <时，由92AOB S =得：2144111944222k k k k k⎡⎤-+⎛⎫⨯=⨯-++= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦，即：24510k k ++=，1k ∴=-或14k =-，即：直线l 的方程为3y x =-+或4213=-+y x .19.如图，ABC 与ABD △都是边长为2的正三角形，平面ABD ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC 且EC =．（1）证明：CD ⊥平面ABE .（2）求平面CED 与平面BDE 的夹角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）取AB 中点F ，连接,CF DF ，利用面面垂直、线面垂直，以及线段长度求证线面垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面CED 与平面BDE 的法向量，进而求出其夹角大小即可.【小问1详解】取AB 中点F ，连接,CF DF,ABC ABD 都是边长为2的正三角形，,AB CF AB DF ∴⊥⊥，DF CF ==，又CF DF F = ，CF ⊂面CDF ，DF ⊂面CDF ，AB ∴⊥面CDF ，AB CD∴⊥又平面ABC⊥平面ABD ，DF ⊥∴面ABC且DF =又EC ⊥面ABC且EC =DF EC ∥，DF EC =，DF CF ⊥，CFDE ∴是正方形，CD EF∴⊥又EF AB F = ，EF ⊂平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，CD \^平面ABE【小问2详解】由（1）知,,AB CF DF两两垂直，如图建立空间直角坐标系由于x 轴垂直面CEDF∴平面CED 的法向量为()1,0,0m = 又()1,0,0B，(D，(E (BD ∴=-，(BE =-设平面BDE 的法向量(),,n x y z =r ，则0n BD x n BE x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令x =，则1z =，0y =，所以)n =cos<,>122m n m n m n ⋅∴===⨯∴平面CDE 与平面BDE 的夹角为π620.已知定点()42A ,，动点()M x y ,满足0OM AM ⋅=，O 为坐标原点．（1）求动点M 的轨迹方程（2）若点B 为直线330x y -+=上一点，过点B 作圆M 的切线，切点分别为C 、D ，若BC CD ⊥，求点B 的坐标．【答案】（1）22(2)(1)5x y -+-=；（2）(1,0)-或118(,55.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的坐标表示列式，化简即得.（2）利用圆的切线性质，结合两点间的距离公式，列出方程组求解即得.【小问1详解】依题意，()(),,4,2OM x y AM x y ==--，()()42OM AM x x y y ⋅=-+-22420x x y y =-+-=，即22(2)(1)5x y -+-=，所以M 的轨迹方程为22(2)(1)5x y -+-=.【小问2详解】由点B 为直线330x y -+=上一点，又BC BD 、分别与圆M 相切于点C D 、，得,BC MC BD MD ⊥⊥，而BC BD ⊥，则有四边形BCMD 为矩形，又||||CM DM =，因此四边形BCMD 为正方形，由（1）知，MC MD BC BD ====，则BM =设(),B x y ，则22330(2)(1)10x y x y -+=⎧⎨-+-=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或15185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以B 点的坐标为(1,0)-或118(,)55.21.如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，侧面CDEF 为等腰梯形，二面角E CD A --为直二面角，24,33AB EF AF ===（1）求点F 到平面ABCD 的距离；（2）设点P 为线段BC 的中点，点Q 满足()0AQ AE λλ=> ，若直线PQ 与平面ADE 及平面ABCD 所成的角相等，求λ的值.【答案】（12（2）33λ=【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到点F 到平面ABCD 的距离即为FO 的长，由勾股定理求出答案；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线PQ 与平面ADE 及平面ABCD 所成的角相等列出方程，求出λ的值.【小问1详解】如图，过点E 作EM ⊥CD 于点M ，过点F 作FO DC ⊥于点O ，连接OA .因为二面角E CD A --为直二面角，所以平面CDEF ⊥平面ABCD ，又平面CDEF 平面,ABCD CD FO =⊂平面CDE ，所以FO ⊥平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离即为FO 的长，因为OA ⊂平面ABCD ，所以FO OA ⊥，因为四边形CDEF 为等腰梯形，24AB CD EF ===，所以2MO EF ==，故1DM OC ==，3OD =，因为4=AD，由勾股定理得5AO ==，又AF =，由勾股定理得FO ==，即点F 到平面ABCD.【小问2详解】以O 为坐标原点，分别以,OD OF 所在直线分别为,x z 轴，过点O 作平面CDEF 的垂线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则()()((()3,4,0,3,0,0,2,0,,0,0,,1,2,0A D E F P -，由(),4AQ AE λλλ==--，得()3,44Q λλ--.()4,24PQ λλ∴=-- .设平面ADE 的法向量为(),,n x y z = ，由()(0,4,0,1,0,DA DE ==- ，由()()()(,,0,4,040,,1,0,0n DA x y z y n DE x y z x ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，解得0y =，令1z =，得x =)n = ，又易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m = .设直线PQ 与平面ADE 所成角为θ，与平面ABCD 所成角为α，则sin sin θα=，∴n PQ m PQ n PQ m PQ⋅⋅=⋅⋅ ，=，由0λ>，得3λ=.22.椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴端点分别为A 、B ．若四边形12AF BF 为正方形，且1AF =（1）求椭圆标准方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长轴左、右端点，动点M 满足2MD MC MD ⋅= ，P 点在椭圆上，且满足22sin cos OP OC OM θθ=+ ，求证OM OP ⋅ 定值（O 为坐标原点）；（3）在（2）条件下，试问在x 轴上是否存在异于C 点的定点N ，使PD MN ⊥，若存在，求N 坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）存在；()0,0N 【解析】【分析】（1）依题可得b c =且222b c +=，即可求出a 、b 、c ，从而得解；（2）设CM方程为(y k x =+，联立直线与椭圆方程，求出交点的横坐标，由22sin cos OP OC OM θθ=+，可得P 、C 、M 三点共线，即可得到P 点坐标，由2MD MC MD ⋅= ，可得0MD DC ⋅= ，即MD DC ⊥，从而求出M 点坐标，即可求出OM OP ⋅的值.（3）设(),0N n ，表示出PD k ，MN k ，根据斜率之积为1-求出n 即可.【小问1详解】依题可得b c =且222b c +=，又a =1b c ∴==，a =故椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】依题意CM 的斜率存在，设CM方程为(y k x =+，联立方程组(2212y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得2222(12)420k x x k +++-=，解得1x =、)2221212k x k -=+，即)22222121212k x k y k ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩，120x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22sin cos OP OC OM θθ=+ ，P ∴、C 、M三点共线．)2221222,1212k P k k ⎛⎫- ⎪∴ ⎪++⎝⎭，又由2MD MC MD ⋅= ，()2MD MD DC MD ⋅+= ，即22MD MD DC MD +⋅= ，所以0MD DC ⋅=，所以MD DC ⊥，∴联立方程组(x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以)M ，所以)OM =，)22212,1212k OP k k ⎛⎫- ⎪= ⎪++⎝⎭ ，所以OM OP ⋅ ()2222222128422121212k k k k k k-+=+==+++（为定值）..【小问3详解】设(),0N n ，则()2222201122212212PD k k k k k k -+==---+，22MN k k n =-，12122k k n∴-=--，得22n =，故0n =，即存在一点()0,0N 满足条件．.。
2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题含解析
2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知sin cos 1sin 2cos 2θθθθ+=-，则tan θ的值为（ ）A.-4B.14-C.14D.42．在空间直角坐标系O xyz -中，已知球A 的球心为()1,0,0，且点(B -在球A 的球面上，则球A 的半径为（） A.4 B.5 C.16D.253．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为,,a b c （单位：cm ），这个规定用数学关系式表示为（） A.130a b c ++< B.130a b c ++> C.130a b c ++≤D.130a b c ++≥4．在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于A.6πB.4π C.3π D.23π5． “2,3k k πθπ=+∈Z ”是 “sin 2θ=”的（ ） A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件6．已知0,0x y >> ，且11112x y +=+，则x y +的最小值为 A.3 B.5 C.7D.97．直线l ：mx y 10-+=与圆C ：22x (y 1)5+-=的位置关系是( )A.相切B.相离C.相交D.不确定8．已知定义在R 上的偶函数()f x ，在(,0]-∞上为减函数，且(3)0f =，则不等式(3)()0x f x +<的解集是（） A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞ B.(,3)(0,3)-∞-C.(3,0)(0,3)-⋃D.(,3)(3,3)-∞--9．已知函数()cos()0,02f x A x b πωϕωϕ⎛⎫=++>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A.()4cos 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B.()4cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C.()4cos 233f x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭D.()4cos 236f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭10．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点P （-2，4），则下列不等关系正确的是（ ） A.()()12f f -< B.()()33f f -< C.()()45f f >-D.()()66f f >-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高二寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式（含答案）知识梳理1、两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-= 特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. （2）点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. （3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.知识典例题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24 B ．6C ．6±D ．-6【答案】C 【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解k 即可．【详解】解：因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上， 所以设交点为(0,)b ，所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩，消去b ，可得6k =±．故选：C ．巩固练习当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【分析】 解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标，由102k <<，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--， 所以交点在第二象限，故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --，(),3B a ，且5AB =，则a 的值为( ) A ．1 B ．5-C ．1或5-D ．1-或5【答案】C 【分析】利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知：()()222315AB a =+++=，解得：1a =或5-本题正确结果：C巩固练习（多选）对于225x x ++，下列说法正确的是（ ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确， 故答案为：BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．79-或13-D ．79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解,得到a 的值. 【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等， 由点A 和点B 到直线的距离公式， 2234163111a a a a --+++=++，化简得3364a a +=+|，()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-，故选C.巩固练习（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．由已知得2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B ．1313C 51326D 71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：d=()2213232--+=7213=713.巩固练习若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为268232-=.题型五 三角形的面积求解例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点(),0B a . （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【答案】（1）12a >（2）33y x =- 【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）当直线l 的斜率不存在时，求出点,A B 坐标，得出4S =；当直线l 的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出S 取得最小值时直线l 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，如下图所示322BP k a==-，解得12a =，此时不能形成AOB ，则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>（2）当直线l 的斜率不存在时，即(2,0)B ，(2,4)A ，此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在，则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-，2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭ 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥，整理得(3)0S S -则3S ≥，即S 的最小值为3此时2690k k -+=，解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-巩固练习已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求：(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．【答案】(1) 2x ＋3y ＋7＝0;(2)452. 【分析】（1）先判断A 点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程，进而通过联立可得解； （2）分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ，利用S △ABC ＝12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由得B (7，－7)． 由得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝，A 点到BC 边的距离d ＝，∴S △ABC ＝×d ×|BC |＝××＝．巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，因此，两直线的交点坐标是()2,3.故选：B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[]0,5C ．(]0,5D．(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5， 因为两直线平行，则两直线距离不为0， 故选：C.3、“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B. 4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A．4 BCD 【答案】D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解.【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d==， 故选：D .5、直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可. 【详解】 联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--，所以直线的斜率为20210--=--，则直线l 的方程为：2y x =，即20x y -=. 故选：B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，则k 的取值范围为__________．【答案】,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可.【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >．故答案为3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标． 【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4，则m 的取值范围是________． 【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可． 【详解】4≤，解得4623m ≤≤．故答案为：462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
2024-2025学年北京市西城区高二上学期12月月考数学学情调研试题(含解析)
2024-2025学年北京市西城区高二上学期12月月考数学学情调研试题一、选择题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1的倾斜角是（ ）10y -+=A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒2．圆：和圆：的公切线的条数为（ ）1C 222220x y x y +++-=2C 224640x y x y +--+=A ．1B ．2C ．3D ．43．已知为平面的一个法向量，l 为一条直线，为直线l 的方向向量，则“”是“n αm m n ⊥ ”的（ ）l α∥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，在圆上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在224x y +=圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．B ．2214x y +=22142x y +=C ．D ．22143x y +=2212x y +=5．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（ ）()1,2,3A -y B AB =A ．B ．C ．D ．46．过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为10x y ++=240x y --=()1,3y =-（ ）A ．B ．310x y +-=350x y +-=C ．D ．330x y +-=350x y ++=7．已知三棱锥中，两两垂直，且，则点P 到平面-P ABC ,,PA PB PC 1PA PB PC ===的距离为（ ）ABCA B C D ．138．已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ）()()1,3,2,1A B --():21l y k x =-+AB k A ．B ．12k ≥2k ≤-C ．或D ．12k ≥2k ≤-122k -≤≤9．若动点A ，B 分别在直线：和：上移动，则AB 的中点M 到原1l –70x y +=2l –10x y +=点的距离的最小值为（ ）A B ．C ．D ．10．已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，O 为坐标原点，若以()222210x y a b a b +=>>1F 2F 为直径的圆与椭圆E 在第一象限交于点P ，且是等边三角形，则椭圆E 的离心率12F F 2OPF 为（ ）A ．BCD 121-11．已知直线过定点，直线过定点，与的交10:()l mx y m R -=∈A 20:42l x my m ++-=B 1 l 2l 点为，则面积的最大值为（ ）C ABCA B ．C ．5D ．1012．已知正方体的棱长为1，点为侧面的中心，点在棱上1111ABCD A B C D -M 11CC D D N 11A B 运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的1111D C B A P AP xAM y AN =+0x ≥0y ≥点所构成图形的面积为（ ）P A ．B ．C ．D ．14381234二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.13．若直线与直线垂直，则.()10a x ay ++=21ax y +==a 14．在平面直角坐标系xOy 中，直线被圆截得的弦长为.250x y +-=()()22219x y -++=15．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若1F 2F 221916x y +=1F ,A B ，则.2210F A F B +=AB =16．已知实数，满足方程，则的取值范围为.x y 22650x y x +-+=22x y +17．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱CD 的中点，点F 为底面ABCD 内一点，给出下列三个论断：①A 1F ⊥BE ；②A 1F ＝3；③S △ADF ＝2S △ABF .以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .18．已知实数、、、满足：，，，设，1x 2x 1y 2y 22111x y +=22221x y +=121212x x y y +=()11,A x y ，则，的最大值为.()2,2B x y AB =三、解答题共3小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19．在平面直角坐标系中，，是一条直径的两个端点：xOy ()30A -,()10B ,E (1)求的标准方程；E(2)若直线过点，与相交于，两点，且，求直线的方程.l ()2,3P -E M N MN =l20．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是正方形，111ABC A B C -11ACC A ⊥ABC 11ACC A点，分别是棱，的中点，，，D E BC 1BB 4AB =12AA =BC =（1）求证：；1AB CC ⊥（2）求二面角的余弦值；1D AC C --（3）若点在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理F 11B C 1114B C B F =1AC D 1A EF 由.21．已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等()2222:10x y C a b a b +=>>()2,0A -腰直角三角形，过点且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于M ，N 不同的两点．()1,0P （Ⅰ）求椭圆P 的方程；（Ⅱ）当AM 与MN 垂直时，求AM 的长；（Ⅲ）若过点P 且平行于AM 的直线交直线于点Q ，求证：直线NQ 恒过定点．52x =1．B【分析】写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小.【详解】由题设，设倾斜角为且，则1y =+θ0180θ︒≤<︒tan θ=所以.60θ=︒故选：B 2．C【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数.【详解】因为两个圆：和：，1C 222220x y x y +++-=2C 224640x y x y +--+=即，，()()221:114C x y +++=()()222:239C x y -+-=所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，1C ()1,1--12r =2C ()2,323r =，5=因为，所以两圆外切，有3条公切线，12523r r =+=+故选：C.3．B【分析】利用线面垂直的性质及其法向量与方向向量的关系，即可判断得出结论.【详解】根据题意可知，如下图所示：若，则可以在平面内，即，所以充分性不成立；m n ⊥l αl ⊂α若，易知，由线面垂直性质可知，即必要性成立；l α∥n α⊥ m n ⊥所以可得“”是“”的必要不充分条件.m n ⊥l α∥故选：B 4．A【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间(,)M x y (P P x )P y M PD P M的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程；P M M 【详解】设，,，则,．(,)M x y (P P x )P y (P D x 0)为线段的中点，M PD ，即，．∴02P P x x y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩P x x =2P y y =又点在圆上，P 22:4O x y +=，即．22(2)4x y ∴+=2214x y +=故点的轨迹方程为．M 2214xy +=故选：A 5．A【分析】根据条件求得点的坐标，利用空间中两点间的距离公式计算即可.B 【详解】因为点关于轴的对称点,()1,2,3A -y ()1,2,3B ---所以，AB ==故选：A.6．A【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程.【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为10240x y x y ++=⎧⎨--=⎩12x y =⎧⎨=-⎩10x y ++=240x y --=，(1,2)-而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.3-23(1)y x +=--310x y +-=故选：A 7．C【分析】可根据等体积求解，即，根据三棱锥中，三条侧棱两两垂直，A PBC P ABC V V --=-P ABC 且侧棱长为1，即可求得【详解】设点到平面的距离为，P ABC h ∵两两垂直，且，,,PA PB PC 1PA PB PC ===∴，AB BC AC ===111122PBC S =⨯⨯=∴1πsin 23ABC S ==∵，即A PBCP ABC V V --=1133PBCABC S AP S h =⋅⋅∴，1111323h ⨯⨯=∴，即点到平面，h P ABC 故选：C 8．D【分析】求出直线所过定点坐标,设定点是,求出斜率,由图形可得结论.P ,PA PB 【详解】由已知直线恒过定点,l ()2,1P 如图所示,若与线段相交,则,l AB PA PB k k k ≤≤因为,311112,12222PA PB k k ---==-==---所以.122k -≤≤故选:D.9．C【分析】根据题意易得，M 点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l ，求出1l 2l 1l 2l 其方程，再利用点到直线的距离公式可得出结果．【详解】由题意知，M 点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l ，1l 2l 1l 2l 可设直线l 方程为，0x y C ++=直线、与y 轴的交点分别为、，则直线l 与y 轴的交点分别为，1l 2l ()07，()01，()04，将代入直线l 的方程得，()04，4C =-故其方程为，40x y +-=到原点的距离的最小值为．M ∴d ==故选C ．10．D【分析】根据题意推出，继而由是等边三角形求得，再利||OP =c 2OPF 21||||,P F F P c ==用椭圆定义即可求得答案.【详解】由题意知，O 为的中点，故，1290F PF ∠=12F F 121||||2OP F F c ==是等边三角形，即有，2OPF 2211||,60,||PF c PF F PF =∠=∴=又P 在椭圆上，故，即，12||||2PF PF a +=2,1c c a a +=∴==即椭圆E ，1故选：D 11．C【分析】由直线方程求出定点，确定，即在以为直径的圆上，由圆的性质得,A B 12l l ⊥C AB 点到的距离最大值为圆半径，由此可得面积最大值．C AB 【详解】由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，1l 0mx y -=1l (0,0)A 2l 即，所以定点，420x my m ++-=(4)(2)0x m y ++-=(4,2)B -又，所以，即在以为直径的圆上，1(1)0m m ⨯+-⨯=12l l ⊥C AB到=C AB所以面积的最大值为．ABC152S =⨯=故选：C ．12．D【分析】根据题意可知四点共面，设为，则平面与平面的交线与,,,A M P N αα11CC D D 平行.分点与点重合，点与点重合，探求轨迹，进而确定符合条件的点所在区AN N 1A N 1B P 域，计算面积即可.【详解】根据条件可知，四点共面，,,,A M P N 设四点确定的平面为，则平面与平面的交线与平行，αα11CC D D AN 当点与点重合时，取的中点,连接,N 1A 11C D E 1,ME A E 则点的轨迹为线段；P 1AE当点与点重合时，则点的轨迹为线段,N 1B P 11BC则当点在棱上运动时，点所在的区域为直角梯形,N 11A B P 111A B C E 其面积为,1113224S ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭==故D.13．或03-【分析】根据直线垂直列出方程，解出即可.【详解】因为两直线垂直，则，()+120a a a +=解得或，0a =3a =-故或.03-14．4【分析】先根据点到直线的距离求出弦心距，然后利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果.【详解】圆的圆心为，半径，()()22219x y -++=(2,1)C -3r =则圆心到直线的距离为，(2,1)C -250x y +-=d所以所求弦长为，4==故415．6【分析】根据焦点三角形的周长结合椭圆的定义及方程即可求解.【详解】依据题意及椭圆方程，则，22416F A F B AB a ++==又，2210F A F B +=所以，6AB =故6.16．[1,25]【分析】把给定方程化成圆的标准方程，求出的范围即可得解.x 【详解】方程化为：，于是，解得，22650x y x +-+=22(3)4x y -+=2(3)4x -≤15x ≤≤所以.2265[1,25]x y x =∈+-故[1,25]17．若，则；(若，则)．写出其中一个即可.1A F BE ⊥2ADF ABFS S =△△2ADF ABFS S =△△1A F BE ⊥【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】解：如图，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则，0，，，2，，，1，，，，，1(2A 2)(2B 0)(0E 0)(2BE =-1-0)设，，，，，则，，，(F x y 0)[0x ∈2]1(2A F x =-y 2)-，122ADF S y y =⨯⨯=△，12(2)22ABF S x x =⨯⨯-=-△，112(2)02ADF ABFA F BE A F BE x y S S⊥⇔⋅=---=⇔=△△，1A F = 以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，能写出两个正确的命题：∴若，则；若，则．1A F BE ⊥2ADF ABFS S =△△2ADF ABFS S =△△1A F BE ⊥故若，则；(若，则)．写出其中一个即可.．1A F BE ⊥2ADF ABFS S =△△2ADF ABFS S =△△1A F BE ⊥18． 1【分析】作出圆与直线，可得，都在圆22:1O x y +=:10l x y +-=()11,A x y ()22,B x y 上，利用两点间的距离公式求得，可得，取、的中点，过221x y +=AB 60AOB ∠=︒A B G作，垂足为，求出，再求出G GG l '⊥G '2||GG 'OG =到直线的距离，则答案可求．O l【详解】作出圆，与直线，22:1O x y +=:10l x y +-=由题意，，都在圆上，()11,A x y ()22,B x y 221x y +=∴且，又由，22111x y +=22221x y +=121212x x y y +=；1=∴,即为正三角形，1===AB OA OB AOB ∴，60AOB ∠=︒和到直线的距离和，A B :10l x y +-=||||AA BB '+'由图可知，只有当、都在直线的左侧，距离之和才会取得最大值．A B l 取、的中点，过作，垂足为，则，A B G G GG l '⊥G '||||2||AA BB GG '+'='因为为等边三角形，为的中点，AOB G AB OG ∴=则在圆上运动，G 2234x y +=故到直线距离的最大值为圆心到直线的距离+半径G 10x y +-=O :10l x y +-=OG=的最大值为||||2||AA BB GG ∴'+'='2⨯=故1.本题解决的关键是利用所求与已知式子的几何意义，将问题转化为圆心到直线的距离问题19．(1)；22(1)4x y ++=(2)或.2x =-4310x y +-=【分析】（1）根据给定条件，求出的圆心坐标及半径即可得解.E （2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否分类求出直线方程.MN 【详解】（1）依题意，的圆心，半径，E (1,0)E -2r =所以的标准方程是.E 22(1)4x y ++=（2）由（1）知的圆心，半径，而，E (1,0)E -2r =MN =因此圆心到直线的距离，E MN 1d ==点到过点的直线的距离为1，因此直线符合题意；E (2,3)P -2x =-2x =-当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，MN MN 3(2)y k x -=+230kx y k -++=由，解得，方程为，1d ==43k =-4310x y +-=所以所求直线的方程为或.2x =-4310x y +-=20．（1）证明见解析（2）（3）平面与平面不平行；详见解析131AC D 1A EF 【分析】（1）根据平面平面和得平面.，得；ABC ⊥11ACC A 1CC AC ⊥1CC ⊥ABC 1AB CC ⊥（2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据两个半平面的法向量可求得结果；A A xyz -（3）根据平面的法向量与向量不垂直可得结论.1AC D 1A E【详解】（1）证明：因为四边形是正方形，所以.11ACC A 1CC AC ⊥又因为平面平面，ABC ⊥11ACC A平面平面，ABC 11ACC A AC =所以平面.1CC ⊥ABC 又因为平面，AB ⊂ABC 所以.1AB CC ⊥（2）由（1）知，，，所以.1CC AB ⊥11//AA CC 1AA AB ⊥又，，，4AB =12AC AA ==BC =所以.所以.222AB AC BC +=AC AB ⊥如图，以为原点，建立空间直角坐标系.A A xyz -所以，，，.(0,0,0)A (4,0,0)B (0,0,2)C 1(0,2,0)A则有，，，(2,0,1)D 1(0,2,2)C (4,1,0)E 平面的一个法向量为.1ACC (1,0,0)u =设平面的一个法向量为，1AC D (,,)v x y z = 又，，(2,0,1)AD u u u r=1(0,2,2)AC =u u u r由得10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令，则，.所以.1x =2z =-2y =(1,2,2)v =-r设二面角的平面角为，则.1D AC C --θ||11|cos |||||133u v u v ×===´r rr r q 由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为.1D AC C --13（3）平面与平面不平行.理由如下：1AC D 1A EF 由（2）知，平面的一个法向量为，，1AC D (1,2,2)v =-r1(4,1,0)A E u u u r=-所以，所以与平面不平行.120A E v ×=¹u u u r r1A E 1AC D 又因为平面，1A E ⊂1A EF 所以平面与平面不平行.1AC D 1A EF 本题考查了面面垂直的性质定理，考查了线面垂直的性质，考查了二面角的向量求法，考查了用法向量判断面面平行，属于中档题.21．（1）；（23）证明见解析.22142x y +=【分析】（1）由题意布列关于a ，b 的方程组，即可得到结果；（2）由与垂直得,结合点在曲线上，可得M 点坐标，结合两点间距离AM MN 1AM MP k k ⋅=-公式可得结果；（3）设，，由题意，设直线的方程为，利用韦达定理即可()11,M x y ()22,N x y MN 1x my =+得到结果.【详解】（1）因为，所以()2,0A -2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以 ,b c =又 ,222b c a +=所以，b c =所以椭圆方程为 .22142x y +=（2）方法一：设,(),m m M x y ， ,1m MP m y k x =-=2mAM m yk x +, 1AM MP k k ⋅=-,22112{142m m m m m m y yx x x y⋅=--++=，（舍）{m m x y ==2{0m m x y =-=所以.AM 方法二：设，(),m m M x y 因为与垂直，AM MN 所以点在以为直径的圆上，M AP 又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为,AP 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭32221924x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭， 22221924{ 142m m m m x y x y⎛⎫++= ⎪⎝⎭+=，（舍）{m m x y ==2{0m m x y =-=所以AM 方法三：设直线的斜率为，，其中AM k ():2AM l y k x =+0k ≠()222{142y k x x y =++=化简得()2222128840k x k x k +++-=当时， 0∆>228412A M k x x k -⋅=+得， 222412M k x k -=+2421Mk y k =+显然直线存在斜率且斜率不为0.,AM MN 因为与垂直，AM MN 所以, 222421=24112MPkk k kk +=--+1k =-得，, 212k =k =0M x =所以2AM +=（3）直线恒过定点,NQ ()2,0 设，，()11,M x y ()22,N x y 由题意，设直线的方程为，MN 1x my =+由 得，221,{ 240x my x y =++-=()222230m y my ++-=显然，，则，，0∆>12222m y y m -+=+12232y y m -=+因为直线与平行，所以，PQ AM 112PQ AM y k k x ==+则的直线方程为，PQ ()1112y y x x =-+令，则，即, 52x =()1111332223y y y x my ==++()1135,223y Q my ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，()()()121122112232326353232NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--直线的方程为,NQ ()122122212212632639my y y y y y x x m y y my my +--=-+--令，得,0y =122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为，故，()121223my y y y =+221829y x y ==所以直线恒过定点.NQ ()2,0圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．。
2023届石家庄市第四十中学数学高一上期末考试试题含解析
所以 ，所以 ，所以 是一条对称轴
故选C
2、C
【解析】如下图所示, 三条直线平行, 与 异面,而 与 异面, 与 相交,故选C.
3、D
【解析】根据角度制与弧度制的关系求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：D.
4、D
【解析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
【详解】如图所示， ， ， ， ， 的面积分别为 ， ，
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
C. D.1和
7．设a，b，c均为正数，且 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若 ， ， ，则 （）
13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 .若 ，则 _________.
14．某时钟的秒针端点 到中心点 的距离为6cm，秒针均匀地绕点 旋转，当时间 时，点 与钟面上标12的点 重合，将 ， 两点的距离 表示成 的函数，则 _______，其中
15．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.
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• (1)若点P(x，y，z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点 的距离相等，则x，y，z满足的关系式是 ____________；
• பைடு நூலகம்2)若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5 ，则x、y、z满足的关系式是____________ ；
• (3) 已 知 空 间 两 点 A( － 3 ， － 1,1) 、 B( － 2,2,3)在Oz轴上有一点C，它与A、B两点的 距离相等，则C点的坐标是____________
d(B，C)＝ (3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝ 21， d(A，C)＝ (3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝2 21， ∴AB＋BC＝AC，故 A、B、C 三点共线．
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• [例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相 等的点P的坐标满足的条件．
•( )
• A．|a|
B．|b|
• C．|c|
D．以上都不对
• [答案] C
• [解析] 点P(a，b，c)在坐标平面xOy内的 射影点P′(a，b,0)，∴点P到坐标平面xOy的 距离即为|PP′|＝|c|.
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3．点 P(x，y，z)满足 (x－1)2＋(y－1)2＋(z＋1)2＝2， 则点 P 在
() A．以点(1,1，－1)为球心以 2为半径的球面上 B．以点(1,1，－1)为中心以 2为棱长的正方体内 C．以点(1,1，－1)为球心以 2 为半径的球面上 D．无法确定
• [答案] C • [解析] 由球面的定义可知，选C.
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• 二、填空题 • 4．已知点A在x轴上，点B(1,2,0)，且d(A，
293 5.
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• [例2] 如图所示，在河的一侧有一塔CD ＝5m，河宽BC＝3m，另一侧有点A，AB ＝4m，求点A与塔顶D的距离AD.
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• [解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所 示的坐标系．
• 则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
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• 已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、 C(3,6,12)，求证A、B、C三点在同一条直 线[解上析．] d(A，B)＝ (2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝ 21，
在 Rt△ADC 中，∵|AD|＝3，|CD|＝4，|AC|＝5，
∴|DE|＝152.在 Rt△ADE 中，∵|DE|2＝x·|AD|，
144
∴x＝
25 3
＝4285.在
Rt△CDE
中，∵|DE|2＝y·|CD|，
144
∴y＝
25 4
＝3265.
即 E4285，3265，0，
∴|B1E|＝
3－42852＋4－32652＋4＝
B)＝，则点A的坐标是____________． • [答案] (0,0,0)或(2,0,0) • [解析] 设点A坐标为(x,0,0)，
• 解得x＝0或x＝2. • ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0)．
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• 5．已知点P在z轴上，且d(P，O)＝1(O是 坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是 ________．
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[解析] 设 P(x，y，z)， 则 PA＝ (x－2)2＋(y－3)2＋z2， PB＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. ∵PA＝PB， ∴ (x－2)2＋(y－3)2＋z2＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. 化简得 6x－4y－13＝0. ∴点 P 的坐标满足的条件为 6x－4y－13＝0.
• 2．4.2 空间两点的距离公式
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• 重点：空间两点间的距离公式． • 难点：空间两点间距离公式的推导． • 由平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间距离
公式可类比得出空间两点P1(x1，y1，z1)， P2(x2，y2，z2)间距离公式|P1P2|＝
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• [答案] (1)2x＋2y－2z－3＝0 • (2)(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25
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[解析] (1)由|PA|＝|PB|， 得 (x－1)2＋y2＋(z－1)2＝ (x－2)2＋(y－1)2＋z2. 化简得 2x＋2y－2z－3＝0. (2) (x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25. (3)设 C 点坐标为(0,0，z)，则
且空间两点间距离公式中， 当z1＝z2＝0时，就是xoy平面内两点间的距 离公式，所以平面内两点间距离公式是空 间中两点间距离公式的特例．
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• [例1] 证明以A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3) 为顶点的△ABC是等腰三角形．
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• 求下列两点间的距离． • (1)A(－1，－2,3)、B(3,0,1)； • (2)M(0，－1,0)、N(－3,0,4)．
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• 三、解答题 • 6．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1
中 ， AD ＝ 3 ， CD ＝ 4 ， |DD1| ＝ 2 ， 作 DE⊥AC于E，求点B1到点E的距离．
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[解析] 由题意得 A(3,0,0)，C(0,4,0)，B1(3,4,2)． 设点 E(x，y,0)．
32＋12＋(z－1)2＝ 22＋(－2)2＋(z－3)2. ∴10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2.解得 z＝32.
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一、选择题
1．点 P 22， 33，－ 66到原点的距离是
()
30 A. 6
B．1
33 C. 6
35 D. 6
[答案] B
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• 2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是