5-3-半导体中电子的费米统计分布
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第五章、 半导体电子论
5.3 半导体中电子的 费米统计分布
朱俊 微电子与固体电子学院
半导体电子论主要内容
半导体的基本能带结构
本征半导体和杂质半导体
半导体中电子的费米统计分布
电导和霍耳效应
非平衡载流子
PN结 Too much
MOS结构
异质结
Limited time
半导体中电子的费米统计分布
对价带中的电子，有： EF -E > EF-Ev >> kBT
则
1 f (E) e
EF E k BT
—— 空穴占据状态的E越低(电子的能量)，空穴的能量越高， 空穴平均占据数越小(电子占据数越大)
一、 载流子的统计分布
——半导体中的导带能级和价带能级远离费米能量
——导带接近于空的，满带接近于充满
(1) N型半导体导带中电子浓度
导带底与施主能级差 ——施主的电离能
导带中电子的浓度
——完全确定了导带电子随温度如何变化
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
(1) N型半导体导带中电子浓度
温度很低时
—— 很少的施主被电离
温度足够高时
—— 施主几乎全被电离，导带中的电子数接近于施主数
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
Eg 2 k BT
n p Nc Nv e
—— 带隙宽度 因为 —— 本征激发随温度变化更为陡峭
—— 测量分析载流子随温度的变化，可以确定带隙宽度
定性讨论
杂质半导体载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度决定。 对于杂质浓度一定的半导体，随温度升高，载流子以杂质电离 为主过渡到以本征激发为主。相应地费米能级从位于杂质能级 附近移到禁带中线处。费米能级既反映导带类型，也反映掺杂 水平。
价带顶附近：
4V * 3/ 2 c ( E ) 3 (2mn ) E Ec h 4V 3/ 2 v ( E ) 3 ( 2m* ) Ev E p h 允许的量子态按能量如何分布
二、 载流子浓度
(2)导带中电子的浓度
n
Ec
f ( E ) ( E )dE
c
4V * 3/ 2 c ( E ) 3 (2mn ) E Ec h
二、 载流子浓度
(2)导带中电子的浓度 令
2
2(2m k T ) n h
* n B 3
3/ 2
e
Ec EF k BT
——
有效能级密度
二、 载流子浓度
(2)导带中电子的浓度 导带电子浓度
Ec E F k BT
n N ce
f ( E Ec )
—— 单位体积中导电电子数就是如同导带底 Ec 处的 Nc个能级所应含有的电子数
Ec E F k BT
p Nve
E F Ev k BT
把费米能级的位置和 载流子浓度很简单地 联系了起来
两式相乘消去EF：
np N c N v e
Ec Ev k BT
——温度不变，导带中电子越多，空穴越少， 反之亦然
二、 载流子浓度
至此，我们获得了载流子浓度随温度 变化的一般规律。 下面讨论一些具体情况下的热平衡载 流子浓度。
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
(1) N型半导体导带中电子的数目 如果N型半导体主要含有一种施主，施主的能级: ED 施主的浓度: ND 足够低的 温度 下 ， 载流子主要是从施主能级激 发到导 带的电子, 导带中电子的数目是空的施主能级数目
因为
—— 两式消去 EF
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
o. 引言
半导体的导电性强烈地随温度而变化 载流子浓度随温度变化引起
半导体的性质 (导电性…)？
载流子浓度随温 度变化的规律 如何计算热平衡 载流子浓度
1. 允许的量子态按能量如何分布？
Why？
2. 电子在允许的量子态中如何分布？
半导体中电子的 费米统计分布
一、 载流子的统计分布
电子系统：服从费米-狄拉 克统计
但对金属和半导体，具体 情况不同——
Ec Ev
EF
EF
半导体
导体
在金属中，电子填充空带的部分形成导带，相应的费米能 级位于导带中，EF以下能级几乎全满 对于半导体 (掺杂不太多 )，热平衡下，施主电子激发到导 带中，同时价带中还有少量的空穴 费米能级位于带隙之中 EF-Ev>>kBT， Ec-EF>>kBT
（本征激发、杂质电离） 热平衡
允带
禁带 允带
原子能级
能带
Conduction Band
载流子复合
Conduction Band
Conduction Band
Eg
Valence Band
Ec Ev
Valence Band
ED
Valence Band
EA
T 本征激发 =0 T >0
T>0 杂质激发
T>0
(2) P 型半导体中空穴浓度
P 型半导体: 受主的能级位置: EA 受主浓度: NA
—— 足够低的温度下，载流子主要是从受主能级激发到满 带的空穴
满带中空穴的浓度
—— 受主的电离能
在足够低的温度下 —— 只有很少的受主被电离
四、 本征激发
—— 足够高的温度下，本征激发占主导地位 价带到导带的电子激发 特点为每产生一个电子同时将产生一个空穴n ≈ p
O. 引言
一. 载流子的统计分布函数
二. 载流子浓度
三. 杂质激发 四. 本征激发
o. 引言
半导体——许多独特的物理性质
整流效应
光电导 效应
负电阻温度 光生伏特 效应 效应
霍尔效应
半导体中电子的状态及其运动特点
o. 引言
回顾：半导体能带
允带 禁带
在一定温度下，若没有其他外界作 用，半导体中的导电电子和空穴是 依靠电子的热激发作用而产生的 载流子产生
二、 载流子浓度
(3)价带中空穴的浓度
空穴浓度
p [1 f ( E )v ( E )dE]
Ev
得
p Nve
E F Ev k BT
价带顶附近有效 能级密度
—— 单位体积中价带空穴数就是如同价带顶 Ev 处的 Nv个能级所应含有的空穴数
二、 载流子浓度
(4)费米能级
n N ce
一、 载流子的统计分布
(1) 电子在导带各能级分布的几率
一般地：
对导带中的电子，有： E -EF >Ec -EF >> kBT
则
f (E) e
( E E F ) / k BT
——导带中的电子接近经典玻耳兹曼分布 ——导带中每个能级上电子的平均占据数很小
一、 载流子的统计分布
(2)价带中空穴占据的几率——能级不被电子占据的几率
0
1/2
1
电子在允许的量子态中如何分布？
二、 载流子浓度
N
(1) 能态密度
( E )( E )dE f ？
பைடு நூலகம்
把周期场的影响概括成有效质量的变化——有效质量近似
导带底附近的电子和价带顶附近的空穴可以用简单的有效 质量mn*和mp*描述，则可直接 引用自由电子能态密度公式
导带底附近：
EF ED
EF EF EA EF
Ec
Ei
EV
EF
（a）
（b ）
（c）
（d）
（e）
强p型
p型
本征
n型
强n型
5.3 半导体中电子的 费米统计分布
朱俊 微电子与固体电子学院
半导体电子论主要内容
半导体的基本能带结构
本征半导体和杂质半导体
半导体中电子的费米统计分布
电导和霍耳效应
非平衡载流子
PN结 Too much
MOS结构
异质结
Limited time
半导体中电子的费米统计分布
对价带中的电子，有： EF -E > EF-Ev >> kBT
则
1 f (E) e
EF E k BT
—— 空穴占据状态的E越低(电子的能量)，空穴的能量越高， 空穴平均占据数越小(电子占据数越大)
一、 载流子的统计分布
——半导体中的导带能级和价带能级远离费米能量
——导带接近于空的，满带接近于充满
(1) N型半导体导带中电子浓度
导带底与施主能级差 ——施主的电离能
导带中电子的浓度
——完全确定了导带电子随温度如何变化
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
(1) N型半导体导带中电子浓度
温度很低时
—— 很少的施主被电离
温度足够高时
—— 施主几乎全被电离，导带中的电子数接近于施主数
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
Eg 2 k BT
n p Nc Nv e
—— 带隙宽度 因为 —— 本征激发随温度变化更为陡峭
—— 测量分析载流子随温度的变化，可以确定带隙宽度
定性讨论
杂质半导体载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度决定。 对于杂质浓度一定的半导体，随温度升高，载流子以杂质电离 为主过渡到以本征激发为主。相应地费米能级从位于杂质能级 附近移到禁带中线处。费米能级既反映导带类型，也反映掺杂 水平。
价带顶附近：
4V * 3/ 2 c ( E ) 3 (2mn ) E Ec h 4V 3/ 2 v ( E ) 3 ( 2m* ) Ev E p h 允许的量子态按能量如何分布
二、 载流子浓度
(2)导带中电子的浓度
n
Ec
f ( E ) ( E )dE
c
4V * 3/ 2 c ( E ) 3 (2mn ) E Ec h
二、 载流子浓度
(2)导带中电子的浓度 令
2
2(2m k T ) n h
* n B 3
3/ 2
e
Ec EF k BT
——
有效能级密度
二、 载流子浓度
(2)导带中电子的浓度 导带电子浓度
Ec E F k BT
n N ce
f ( E Ec )
—— 单位体积中导电电子数就是如同导带底 Ec 处的 Nc个能级所应含有的电子数
Ec E F k BT
p Nve
E F Ev k BT
把费米能级的位置和 载流子浓度很简单地 联系了起来
两式相乘消去EF：
np N c N v e
Ec Ev k BT
——温度不变，导带中电子越多，空穴越少， 反之亦然
二、 载流子浓度
至此，我们获得了载流子浓度随温度 变化的一般规律。 下面讨论一些具体情况下的热平衡载 流子浓度。
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
(1) N型半导体导带中电子的数目 如果N型半导体主要含有一种施主，施主的能级: ED 施主的浓度: ND 足够低的 温度 下 ， 载流子主要是从施主能级激 发到导 带的电子, 导带中电子的数目是空的施主能级数目
因为
—— 两式消去 EF
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
o. 引言
半导体的导电性强烈地随温度而变化 载流子浓度随温度变化引起
半导体的性质 (导电性…)？
载流子浓度随温 度变化的规律 如何计算热平衡 载流子浓度
1. 允许的量子态按能量如何分布？
Why？
2. 电子在允许的量子态中如何分布？
半导体中电子的 费米统计分布
一、 载流子的统计分布
电子系统：服从费米-狄拉 克统计
但对金属和半导体，具体 情况不同——
Ec Ev
EF
EF
半导体
导体
在金属中，电子填充空带的部分形成导带，相应的费米能 级位于导带中，EF以下能级几乎全满 对于半导体 (掺杂不太多 )，热平衡下，施主电子激发到导 带中，同时价带中还有少量的空穴 费米能级位于带隙之中 EF-Ev>>kBT， Ec-EF>>kBT
（本征激发、杂质电离） 热平衡
允带
禁带 允带
原子能级
能带
Conduction Band
载流子复合
Conduction Band
Conduction Band
Eg
Valence Band
Ec Ev
Valence Band
ED
Valence Band
EA
T 本征激发 =0 T >0
T>0 杂质激发
T>0
(2) P 型半导体中空穴浓度
P 型半导体: 受主的能级位置: EA 受主浓度: NA
—— 足够低的温度下，载流子主要是从受主能级激发到满 带的空穴
满带中空穴的浓度
—— 受主的电离能
在足够低的温度下 —— 只有很少的受主被电离
四、 本征激发
—— 足够高的温度下，本征激发占主导地位 价带到导带的电子激发 特点为每产生一个电子同时将产生一个空穴n ≈ p
O. 引言
一. 载流子的统计分布函数
二. 载流子浓度
三. 杂质激发 四. 本征激发
o. 引言
半导体——许多独特的物理性质
整流效应
光电导 效应
负电阻温度 光生伏特 效应 效应
霍尔效应
半导体中电子的状态及其运动特点
o. 引言
回顾：半导体能带
允带 禁带
在一定温度下，若没有其他外界作 用，半导体中的导电电子和空穴是 依靠电子的热激发作用而产生的 载流子产生
二、 载流子浓度
(3)价带中空穴的浓度
空穴浓度
p [1 f ( E )v ( E )dE]
Ev
得
p Nve
E F Ev k BT
价带顶附近有效 能级密度
—— 单位体积中价带空穴数就是如同价带顶 Ev 处的 Nv个能级所应含有的空穴数
二、 载流子浓度
(4)费米能级
n N ce
一、 载流子的统计分布
(1) 电子在导带各能级分布的几率
一般地：
对导带中的电子，有： E -EF >Ec -EF >> kBT
则
f (E) e
( E E F ) / k BT
——导带中的电子接近经典玻耳兹曼分布 ——导带中每个能级上电子的平均占据数很小
一、 载流子的统计分布
(2)价带中空穴占据的几率——能级不被电子占据的几率
0
1/2
1
电子在允许的量子态中如何分布？
二、 载流子浓度
N
(1) 能态密度
( E )( E )dE f ？
பைடு நூலகம்
把周期场的影响概括成有效质量的变化——有效质量近似
导带底附近的电子和价带顶附近的空穴可以用简单的有效 质量mn*和mp*描述，则可直接 引用自由电子能态密度公式
导带底附近：
EF ED
EF EF EA EF
Ec
Ei
EV
EF
（a）
（b ）
（c）
（d）
（e）
强p型
p型
本征
n型
强n型