2015-2016学年山西省朔州市应县一中高二(下)3月月考数学试卷(文科)

2015-2016学年山西省朔州市应县一中高二（下）3月月考数学
试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）下列结论正确的是（）
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
3．（5分）下面使用类比推理恰当的是（）
A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”
B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”
C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”
D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”
4．（5分）若a为实数，i为虚数单位，且，则a=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
5．（5分）下面几种推理是合情推理的是（）
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）
6．（5分）在回归分析中，残差图中纵坐标为（）
A．残差B．样本编号C．D．
7．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中的白色地面砖有（）
A．4n﹣2块B．4n+2块C．3n+3块D．3n﹣3块
8．（5分）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
9．（5分）类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，则比较恰当的是（）
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；
②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任意两条棱的夹角相等；
④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．
A．①④B．①②C．①②③D．③
10．（5分）设P=+++，则（）
A．0＜P＜1 B．1＜P＜2 C．2＜P＜3 D．3＜P＜4
11．（5分）设复数z满足|z﹣3﹣4i|=1，其中i为虚数单位，则|z|的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6
12．（5分）f（x）=x3+x，a，b，c∈R，且a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值一定（）
A．大于零B．等于零C．小于零D．正负都有可能
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上）
13．（5分）定义运算=ad﹣bc，则对复数z=x+yi（x，y∈R）符合条件=3+2i 的复数z等于．
14．（5分）观察下列不等式
一般地，当n≥2时（用含n的式子表示）．
15．（5分）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，对此，四名同学作出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“能起到预防感冒的作用”；
q：如果某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒：
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%．
则下列结论中，正确结论的序号是．
（1）p∧￢q；（2）￢p∧q；（3）r∨s；（4）p∧￢r．
16．（5分）根据下面一组等式：
S1=1
S2=2+3=5
S3=4+5+6=15
S4=7+8+9+10=34
S5=11+12+13+14+15=65
S6=16+17+18+19+20+21=111
S7=22+23+24+25+26+27+28=175
…
可得S1+S3+S5+…+S2n
=．
﹣1
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）（1﹣i）（﹣+i）（1+i）．
（2）+（）2010．
18．（12分）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．
19．（12分）某高校调查询问了56名男女大学生在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据．从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系．
20．（12分）设f（x）=．
（1）求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）；
（2）由（1）归纳出一般结论，并给出证明．
21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n﹣3n（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）问数列{a n}中是否存在某三项，它们可以构成一个等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知f（x）=（x≠﹣，a＞0），且f（1）=log162，f（﹣2）=1．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）已知数列{x n}的项满足x n=[1﹣f（1）][1﹣f（2）]…[1﹣f（n）]，试求x1，
x2，x3，x4；
（3）猜想{x n}的通项公式．（不需要证明）
2015-2016学年山西省朔州市应县一中高二（下）3月月
考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2014•重庆）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0
∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限
故选A
2．（5分）（2010•永州校级模拟）下列结论正确的是（）
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【解答】解：①函数关系是一种确定性关系，这是一个正确的结论．
②相关关系是一种非确定性关系，是一个正确的结论．
③回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，所以③不对．
与③对比，依据定义知④是正确的，
故答案为C．
3．（5分）（2017•阳山县校级一模）下面使用类比推理恰当的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”
B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”
C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”
D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”
【解答】解：对于A：“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，
对于B：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，
对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，对于D：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12
故选C
4．（5分）（2016春•应县校级月考）若a为实数，i为虚数单位，且，则a=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【解答】解：∵，∴2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，
则a=4．
故选：D．
5．（5分）（2016春•遵义期末）下面几种推理是合情推理的是（）
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）
【解答】解：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是
180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．
（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．
（4）为归纳推理
故选C．
6．（5分）（2012•东莞一模）在回归分析中，残差图中纵坐标为（）A．残差B．样本编号C．D．
【解答】解：有残差图的定义知道，作图时纵坐标为残差，
横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值，
这样做出的图形称为残差图．
故选A．
7．（5分）（2016春•兰考县校级期末）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中的白色地面砖有（）
A．4n﹣2块B．4n+2块C．3n+3块D．3n﹣3块
【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…
设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…
∴数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，
∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2．
故选：B．
8．（5分）（2016春•应县校级月考）若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解答】解：，∴=i（1+i）=﹣1+i，则z=﹣1﹣i．
故选：C．
9．（5分）（2016春•应县校级月考）类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，则比较恰当的是（）
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；
②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任意两条棱的夹角相等；
④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．
A．①④B．①②C．①②③D．③
【解答】解：类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合这一规则．
故选B．
10．（5分）（2016春•兰考县校级期末）设P=+++，
则（）
A．0＜P＜1 B．1＜P＜2 C．2＜P＜3 D．3＜P＜4
【解答】解：
=log112+log113+log114+log115
=log11（2×3×4×5）
=log11120．
∴log1111=1＜log11120＜log11121=2．
故选B．
11．（5分）（2016春•应县校级月考）设复数z满足|z﹣3﹣4i|=1，其中i为虚数单位，则|z|的最大值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：设z=x+yi，复数z满足|z﹣（3+4i）|=1，
所以（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，表示（x，y）到点（3，4）的距离为1，所以（x，y）到原点的距离的最大值为+1=6；
故选：D．
12．（5分）（2010春•洛阳期中）f（x）=x3+x，a，b，c∈R，且a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值一定（）
A．大于零B．等于零C．小于零D．正负都有可能
【解答】解：f（a）+f（b）+f（c）=a3+b3+c3+a+b+c
∵a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0
∴a+b+c＞0
又a3+b3+c3=（a3+b3+c3+a3+b3+c3）
a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）=（a+b）[（（a﹣b）2+b2]
a，b不同时为0，a+b＞0，故a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）=（a+b）[（（a﹣b）2+b2]＞0
同理可证得c3+a3＞0，b3+c3＞0
故a3+b3+c3＞0
所以f（a）+f（b）+f（c）＞0
故应选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上）
13．（5分）（2014春•陵县期中）定义运算=ad﹣bc，则对复数z=x+yi（x，y
∈R）符合条件=3+2i的复数z等于﹣i．
【解答】解：根据条件=3+2i 可得2iz﹣z=3+2i，
∴z===﹣i，
故答案为：﹣i．
14．（5分）（2012•蓝山县校级模拟）观察下列不等式
一般地，当n≥2时（用含n的式子表示）．
【解答】解：观察前几个不等式：
发现第n个不等式的左边加数的分母依次是12、22、32、42、 (2)
而右边、、、…的通项公式为
故当当n≥2时，不等式为
故答案为：
15．（5分）（2016春•应县校级月考）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，对此，四名同学作出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“能起到预防感冒的作用”；
q：如果某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒：
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%．
则下列结论中，正确结论的序号是（1）（4）．
（1）p∧￢q；（2）￢p∧q；（3）r∨s；（4）p∧￢r．
【解答】解：由题意，K2≈3.918，P（K2≥3.841）≈0.05，
所以只有第一位同学判断正确．即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．
由真值表知（1），（4）为真命题．
故答案为：（1）（4）．
16．（5分）（2014•渭南二模）根据下面一组等式：
S1=1
S2=2+3=5
S3=4+5+6=15
S4=7+8+9+10=34
S5=11+12+13+14+15=65
S6=16+17+18+19+20+21=111
S7=22+23+24+25+26+27+28=175
…
=n4．
可得S1+S3+S5+…+S2n
﹣1
【解答】解：由题中数阵的排列特征，设第i行的第1个数记为a i（i=1，2，3…n）则a2﹣a1=1
a3﹣a2=2
a4﹣a3=3
…
a n﹣a n﹣1=n﹣1
以上n﹣1个式子相加可得，a n﹣a1=1+2+…+（n﹣1）=×（n﹣1）=
∴a n=+1
S n共有n连续正整数相加，并且最小加数为+1，最大加数
∴S n=n•×+×（﹣1）=（n3+n）
=[（2n﹣1）3+（2n﹣1）]=4n3﹣6n2+4n﹣1
∴S2n
﹣1
∴S1=1
S1+S3=16=24
S1+S3+S5=81=34
∴S1+S3+…+S2n
=1+15+65+…+4n3﹣6n2+4n﹣1
﹣1
=n4．
故答案：n4
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2016春•应县校级月考）计算：
（1）（1﹣i）（﹣+i）（1+i）．
（2）+（）2010．
【解答】解：（1）原式=（1﹣i）（1+i）（﹣+i）=2×（﹣+i）
=﹣1+i．
（2）====﹣i．
原式=+（﹣i）1005
=i（1+i）+（﹣i）1005
=﹣1+i﹣i
=﹣1．
18．（12分）（2014秋•张掖校级期末）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：
＞3．
【解答】解：∵a，b，c全不相等，
∴全不相等
∴＞2，＞2，＞2
三式相加得，＞6
∴＞3
即＞3
19．（12分）（2016春•应县校级月考）某高校调查询问了56名男女大学生在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据．从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系．
【解答】解：由表中数据得a=20，b=8，c=12，d=16，
a+b=28，a+c=32，b+d=24，c+d=28，
n=a+b+c+d=56；
计算观测值K2=≈4.667，
因为4.667＞3.841，
所以有95%的把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系．
20．（12分）（2013春•临沂期末）设f（x）=．
（1）求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）；
（2）由（1）归纳出一般结论，并给出证明．
【解答】解：（1）f（0）+f（1）=+=，
同理可得：f（﹣1）+f（2）=f（﹣2）+f（3）=；
（2）x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
证明：设x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=+==．
21．（12分）（2011•孝南区校级模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n ﹣3n（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）问数列{a n}中是否存在某三项，它们可以构成一个等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣3，所以a1=3
当n≥2时，由，两式相减可得a n=2a n﹣2a n﹣1﹣3
即a n=2a n﹣1+3，所以a n+3=2（a n﹣1+3），又a1+3=6
所以数列{a n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知a n+3=6×2n﹣1
∴a n=3•2n﹣3
假设存在某三项，不妨设a x，a y，a z成等差数列，其中x＜y＜z，x，y，z为正正数
则a x+a z=2a y
即3×（2x﹣1）+3×（2z﹣1）=2×3×（2y﹣1）
2x+2z=2×2y
等式两边同除以2y，得2x﹣y+2z﹣y=2…（11分）
因为x﹣y＜0，z﹣y≥1，所以0＜2x﹣y＜1，2z﹣y≥2…（13分）
所以2x﹣y+2z﹣y＞2，这与2x﹣y+2z﹣y=2矛盾、
假设不存在，故数列{a n}中不存在某三项，使它们可以构成一个等差数列、…（14分）
22．（12分）（2016春•应县校级月考）已知f（x）=（x≠﹣，a＞0），且f（1）=log162，f（﹣2）=1．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）已知数列{x n}的项满足x n=[1﹣f（1）][1﹣f（2）]…[1﹣f（n）]，试求x1，x2，x3，x4；
（3）猜想{x n}的通项公式．（不需要证明）
【解答】解：（1）把f（1）=log162=，f（﹣2）=1，代入函数表达式得：=，
=1，
解得：a=1，b=0，（舍去a=﹣＜0），
∴f（x）=（x≠﹣1）．
（2）x1=1﹣f（1）=1﹣=，
x2=[1﹣f（1）][1﹣f（2）]=×（1﹣）=，
x3=[1﹣f（3）]=×（1﹣）=，
x4=×（1﹣）=．
（3）由（2）知，x1=，x2==，x3=，x4==，…，由此可以猜想x n=．
参与本试卷答题和审题的老师有：geyanli；xintrl；沂蒙松；733008；minqi5；刘长柏；lcb001；zlzhan；whgcn；caoqz；ywg2058；zhwsd；742048；吕静（排名不分先后）。

2017年4月27日。