(完整版)1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
高中数学必修2-3第一章1.3 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．问题导航(1)什么是杨辉三角？它具有哪些特点？(2)二项式系数的性质有哪些？什么是赋值法？ 2．例题导读例3证明二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，请试做教材P 35练习1、2题．1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是________1，与这两个1等距离的项的系数________相等． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的________和，即________C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn ．2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐________增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐________减小的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数________C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取到最大值．(3)二项式系数的和：①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝________2n．②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝________2n －1．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )(3)二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2 D ．n ＋2，n ＋3 答案：C3．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于( ) A ．5 B ．6C．7 D．8答案：A4．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．答案：2n－11．与杨辉三角有关的问题的注意事项(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．(2)注意二项式系数性质C m n＝C n－mn ，C m n＋1＝C m n＋C m－1n的应用．2．释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．与杨辉三角有关的问题如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S n，求S19.[解]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)＝（2＋10）×92＋C 312＝274.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间、行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论．1．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C 01、C 11；第2行中的数是C 02、C 12、C 22；第3行中的数是C 03、C 13、C 23、C 33；…；第n 行中的数是C 0n 、C 1n 、C 2n 、…、C nn .设第n 行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C 13n ∶C 14n ＝2∶3，解之得n ＝34.答案：34二项式系数的单调性及最值(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.故(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6，又k ∈{0，1，2，…，8}， 故k ＝5或k ＝6.故系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得．2．(1)(x －1x )11的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5，6项D ．第6，7项解析：选D.由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)在(x －2x 2)8的展开式中：①系数的绝对值最大的项是第几项？ ②求二项式系数最大的项； ③求系数最大的项．解：T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·(－2x 2)r ＝(－1)r ·C r 8·2r·x 4－52r (r ＝0，1，2，…，8)． ①设第(r ＋1)项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1， ∴⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r，解得5≤r ≤6.又∵0≤r ≤8，r ∈N ，∴r ＝5或r ＝6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项． ②二项式系数最大的项为中间项，即第5项， T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6. ③由①知展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，∴系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x －11.二项式系数的和[学生用书P 24]已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求下列各式的值． (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.[解] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝37.② (1)令x ＝0，得a 0＝1，代入①中得： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)由①－②得2a 1＋2a 3＋2a 5＋2a 7＝－1－37， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)由①＋②得2a 0＋2a 2＋2a 4＋2a 6＝－1＋37. ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.[互动探究] 本例条件下，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：法一：∵(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和， 令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.(1)本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．(2)“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．(1)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243 D ．1或－243解析：选B.展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ， 令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80， 即a ＝2，故(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1. (2)已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14，试求： ①a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； ②a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解：①在已知等式中令x ＝1，则得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝27＝128.(ⅰ) ②在已知等式中令x ＝－1，则得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝67.(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13)＝27－67＝－279 808. 因此，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139 904.(本题满分12分)(2015·衡水高二检测)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解] 由题意知，22n －2n ＝992 ， 即(2n －32)(2n ＋31)＝0.所以2n ＝32，解得n ＝5.4分(1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064 .6分(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 因为T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r10·210－r ·x 10－2r ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C r 10·210－r ≥C r －110·211－r ， C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，8分 得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ，解得83≤r ≤113.因为r ∈N ，所以r ＝3，10分故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.12分[规范与警示] (1)解答本题易失分的三个关键步骤．(2)解答该问题①注重对性质的理解二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，如本例中利用性质可确定出展开式中第6项的二项式系数最大．②注意对概念的区分要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项．如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝对值最大1．若(x 3＋1x 2)n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.2．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A ．81B ．27C ．243D ．729解析：选A.由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.3．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________．解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴ a ＝3. 答案：34．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．解析：令x ＝1，得a 0＝－2.令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2. 答案：2[A.基础达标]1．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8解析：选D.∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.2．已知(x ＋33x)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，∴n ＝6.3．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．80解析：选C.∵(1＋2)5＝C 05(2)0＋C 15(2)1＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， 由已知可得41＋292＝a ＋b 2， ∴a ＋b ＝41＋29＝70.4．若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15B.16＜x ＜15C.112＜x ＜23D.16＜x ＜25解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧C 162x ＞C 06，C 162x ＞C 26（2x ）2， 解得112＜x ＜15.5．若(2x 3＋1x 2)n (n ∈N *)的展开式中存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B.T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ·x －2r ＝C r n 2n －r x 3n －5r. ∵展开式中存在常数项，∴3n －5r ＝0，即n ＝53r ，又3，5互质，r 必是3的倍数，∴当r ＝3时，n 的最小值是5.6若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.答案：57．设(23x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M ，8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为________．解析：当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由题意得M ·N ＝64，∴2n ＝64，n ＝6.∴第四项T 4＝C 36·(23x )3·(－1)3＝－160x . 答案：－160x8．已知(x 2－1x )n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x ＋2x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________．解析：因为(x 2－1x )n 的展开式的通项是C r n (－1)r x 2n －3r(r ＝0，1，2，…，n )，因为含x 的项为第6项，所以当r ＝5时，2n －3r ＝1，即n ＝8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝28＝256.又a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝255.答案：2559．下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和． (2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出每一斜行数字的差组成一个等差数列．10．对于二项式(1－x )10.(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和； (3)写出展开式中系数最大的项．解：(1)由题意可知，r ＝0，1，2，…，10，展开式共11项，所以中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5. (2)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0， 令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1. (3)∵中间项T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 5和T 7，T 5＝C 410x 4＝210x 4，T 7＝C 610x 6＝210x 6.[B.能力提升]1．若(1＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，令f (n )＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )等于( )A.13(2n －1)B.16(2n －1) C.43(4n －1) D.23(4n －1) 解析：选D.当x ＝1时，22n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，当x ＝－1时，0＝a 0－a 1＋…＋a 2n ， ∴f (n )＝22n －1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝23(4n －1)．2．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C.(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015， 令x ＝12，则(1－2×12)2 015＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1.3．(1＋x )n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8＜C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn ＜32， 即8＜2n ＜32，且n ∈N *， 所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x . 答案：6x4.把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)的数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10，6)对应于数阵中的数是________．解析：设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)， ∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10，6)＝b 10＋2×(6－1)＝101. 答案：1015．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解：令x ＝0，得a 0＝1＋1＋…＋1＝n ；a n ＝1，令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(2n －1)－n －1＝2n ＋1－n －3，∴2n ＋1－n －3＝29－n ，∴n ＝4.6．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和．解：(1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11， 所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n＝m （m －1）2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )·(11－m2－1)＝(m －214)2＋35116. 因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， 所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3， 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次项的系数之和为30.。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn2．二项式系数的性质题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别例1、已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ，∴22n2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23 )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3＝270x 223 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(x 23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x10+4k3， 得⎩⎨⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23 )(3x 2)4＝405x 263 .例2、(1)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．(2)在(1＋2x )n 的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________． [答案] (1)7·x 35 和7·x 74(2)15360x 7 题型二、求展开式中各项系数之和例3、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7－1－372＝－1 094.(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6－1＋372＝1 093.(4)方法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187.方法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.例4(1)(x ＋a x )·(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．[解析] (1)令x ＝1得，(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1，(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r C r 5x5－2r. r ＝0、1、2、3、4、5.令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得，r ＝2.∴展开式的常数项为：(－1)3·22C 35＋(－1)2·23C 25＝40. (2)对于(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x ＝－1得(3－2)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 两式相乘得1＝(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2， 故答案为1.题型三、与杨辉三角有关的问题例5、如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.[解析] 由图知，数列的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第18项是C 110，第19项是C 211，∴S 19＝C 22＋C 12＋C 23＋C 13＋…＋C 210＋C 110＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C 33＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312 ＝54＋12×11×101×2×3＝274.例6、如图所示，满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n (n ≥2)行的第m 个数记作a (n ，m )，则a (100,2)＝________.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6…[解析] 由a (n ，m )的定义知，a (100,2)表示表中第100行第2个数，注意观察可以发现，从第三行开始，每一行的第二个数都等于它的上一行肩上两个数字的和，故a (100,2)＝a (99,1)＋a (99,2)＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (98,2) ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋a (97,2)＝…… ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋…＋a (2,1)＋a (2,2) ＝(99＋98＋97＋…＋2)＋2 ＝98×(99＋2)2＋2＝4951. 题型四、求系数最大的项例7、已知(3x ＋x )2n 的展开式的二项式系数的和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数的和大992.求(2x －1x )2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解析] 由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)(2x －1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝T 5＋1＝C 510·(2x )5·(－1x )5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·(－1x )r＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r，∴⎩⎨⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1. ∴⎩⎨⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110.即⎩⎨⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . 解得83≤r ≤113.∵0≤r ≤10，且r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，即T 4＝－15360x 4. 例8、已知(1＋2x )n 的展开式所有的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的系数最大项．[解析] (1)由题意知2n ＝128，所以n ＝7.在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎨⎧ C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r ≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎨⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5. 例9、已知(2x －1)n 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值.[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16.从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215. ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1.课后作业一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( ) A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．若a 为正实数，且(ax －1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为( )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x 2014D ．－4032x2014[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.6．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 7．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝320178．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.9．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.10．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.11．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。
“杨辉三角”与二项式系数的性质
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
杨辉三角及二项式系数的性质
1 2 二项展开式中各二项式系数的和等于 2n，即 C0 n＋Cn＋Cn＋„
二项式
n ＋Cn n＝ 2 .
系数的和 奇数项的二项式系数之和等于 偶数 项的二项式系数之和，都
3 5 2 4 6 n－1 . 等于2n－1，即 C1 n＋Cn＋Cn＋„＝Cn＋Cn＋Cn＋„ ＝ 2
课堂小结
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
D
系数相等，而且最大， 则n等于
A、11 C、9 B、10 D、8
例：已知a b 展开式中第 5项和第6项的二项式
C
合作探究
第0 行 第1 行 第2 行 第3行 第4行 第5 行 第6行 第7行 第n-1行 第n 行
1 1 1 1 2 1 + 1 3 3 1 1 4 6+ 4 1 1 5 10+ 10 5 1 + 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
1 C 2
6 8
8 6
x0 7
课堂练习
1 10 1.求 (1 x ) (1 ) 展开式中的常数项_________. x
10
2.求( x 2)( x 2 1) 展开式中含 x 10 项的系数为＿＿＿＿. 3.求 (1 x x 2 )(1 x )10展开式中含x项的系数_________.
10 20 10 10 10 20 10 10 10
2系数绝对值最大的项；
r 20r 20 r r 1 21r 20
例2：在(3x 2 y) 的展开式中，求：
20
设系数绝对值最大的项 是第r 1项， 221 r 3r C 3 2 C 3 2 即 则 r 20r r r 1 19r r 1 3 r 1 2 20 r C 3 2 C 3 2 20 20
课件2：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
§1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
高中数学选修2-3·同步课件
一、新课引入
二项定理:
一般地，对于n N*有
( a b )n C n0 a n C n1 a n 1b C n2 a n 2 b 2
C nr a n r b r
C nn b n
思考：
1 − 2 7 展开式中求|1 | + |2 | + |3 |+. . . +|7 |
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和,可以先赋值，然后
解方程组整体求解
练习: 1. （1 + + 2 + 3 ）4 的展开式中奇次项系数和是____.
设() = 1 + + 2 + 3
a1 a2 ... a7 ( a0 a1
f (1) f (0) 1 1 2
a7 ) a0
a7
൫3)1 + 3 + 5 + 7 ; ൫4)0 + 2 + 4 + 6
解 : 设f ( x ) (1 2 x ) 7
(3)
( a b) 4
6
4 1
1 4
5
( a b)
1 5 10 10 5 1
( a b) 6 1 6 15 20 15 6 1
0
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
二项式系数的性质
(1)对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质1： = −
(2)递推性:
是{0,1,2,…,n},对于确定的n,可以画出它的图像。
1.3.2杨辉三角(上课用)
这(a就+b是)3…组…合…数…的1性质3
23:
C
1m
n1
C
m n
C m1 n
(3)各(a二+b项)4式…系…数…的1和.4 6 4 1
(aC+n0b)5…C…n1 1
C5n2
L10
1C0
r n
5 L
1
C
n n
2n
T (a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
(4)增减性与最大值.
即 n1 2
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.
变式训练:如下图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第 ________行中从左到右第14与第15个数的比为2：3.
解析 :由“杨辉三角”与二项式系数之间的关系可得 :
Cn13 Cn14
2, 3
即 n! 14!(n 14)! 2 ,
13!(n 13)!
n!
3
即 14 2 n 13 3
解得 : n 34.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
解 : 3由2知, a0 a1 a2 a9 1
令x 1, y 1得 :
a0 a1 a2 a8 a9 59二式相减得
s
5s
16r2 s 2
由题意知 16r2 s
2
6
r 2s 4 (r 0L 6, s 0L 5)
r 0 r 2 r 4 解得 s 2 s 1 s 0
所以 x6 的系数为:
C52C60 (1)2 23 C51C62 (1)24 C50C64 (1)0 25
课件3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
杨辉三角
《
九
章
算
杨
术
辉
》
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律
(a b)n展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
本节内容结束
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思考1求证:
(C
0 n
)2
(Cn1
)2
(C
2 n
)2
(Cnn )2
C
n 2n
.
略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的 系数得：
Cn0C
n n
Cn1C
n1 n
C
n2C
n2 n
Cnn1Cn1
CnnC
0 n
C2nn
再由 Cnm
C nm n
得
(Cn0 )2
(C
1 n
)2
(Cn2
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C280 312 28 x12 y8
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项
系数最大。（以下同2）
r=5.
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合 数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意 “系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只 有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不 一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法， 它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
由： n k 1 1 k n 1
1[1].3.2“杨辉三角”与二次项系数的性质
![1[1].3.2“杨辉三角”与二次项系数的性质](https://img.taocdn.com/s3/m/357f7358eff9aef8941e06a3.png)
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k k
1
决定．
由
n
k k
1
1
k
n
2
1
可得：当k
n
2
1
时
二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的
后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值 先增后减 1 1
n是偶数时，中间的一项（第
7、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是_________.
巩固练习
8.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是( ) A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相反数.
9.如果 (x3
Байду номын сангаас
1 x3
)n
的展开式中,只有第6项的系数最大,
那么常数项是( )
A.462 B.252
C.210 D.10
典型例题
（2 x 1)100 a0 a1x a2 x 2 a100 x100
(1)求a0;
(2)求 a1 a2 a3 a100 ;
)
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
当n=6时，其图象是7个孤立点
二项式系数的性质
（1）对称性
1[1].3.2杨辉三角与二项式系数的性质
![1[1].3.2杨辉三角与二项式系数的性质](https://img.taocdn.com/s3/m/6948b41ac281e53a5802ff24.png)
性质1：对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质 1: C n
性质2：递推性:
m
Cn
nm
除1以外的每一个数都等于它肩上两来自数的和.这就是组合数的性质 2: C n 1 C n C n
m m
m 1
性质3：增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 C n 与 C n 的大小.
. .. .. . .
3 6
9
r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性” 、 “增减性与最大值” 一目了然. ，
三．典例分析 题型一：求二项式系数的最大值
例1. (1 2 x ) 的展开式中第6项与第7项 的系数相等，求
n
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项；
题型二：求展开式的各项系数之和
练习：求二项式 (2 x ) 的展开式的各项系数之
7
和
题型三：二项式系数的性质用于恒等式证明
例3：试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：C n C n C n C n 2
0 2 1 3 n1
题型四：与杨辉三角有关的问题
n
n
r C n 可看成是以r为自变量的函数 10f(r),其定义域是{0,1,2,…,n}, 8 6例如当n=6时，其图象是右图中的7 42个孤立点.
我们也可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图 象，研究二项式系数的性质． f( r) n展开式的二项式系数是 (a+b) 200 1 2 r n C n , C n , C n , , C n， ,C n . 16
1.3.2杨辉三角和二项式系数的性质
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
精品课件
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n2 n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C0n 1，上式还可以写成： C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
这是组合总数公式．精品课件
例1 证明在 (a b)n的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
精品课件
例2
已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
精品课件
内容小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.3.2杨辉三角和二项式系数性 质
精品课件
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
精品课件
杨辉三角
《
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
精品课件
杨辉三角
课件8：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
题型二 求展开式的系数和 典例 设(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016·x2 016(x∈R)． (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a2 016 的值． (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a2 015 的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 016|的值．
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
新知初探
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系 数相等 ． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 的和 ，即 Crn＋1＝ Crn－1＋Crn ． 2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离 ”的两个二项式系数相等(即 Cmn ＝ Cnn－m)．
8
4 3
k
，
令 8－43k＝0，得 k＝6，故常数项为第 7 项，且 T7
＝(－1)6·122·C68＝7．
类题通法 二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质 对(a＋b)n 中的 n 进行讨论．
(1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
类题通法 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n, (ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈ N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式 子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1．
【课件】人教版高中数学选修2-3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-课件(共91张PPT)
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
人教版数学高二《“杨辉三角与二项式系数的性质》 精品课件
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项．列出不等关系 解不等式组，可求系数最大的项．
高中数学
• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
高中数学
• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
高中数学
高中数学
• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方， 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的 值．
高中数学
• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
高中数学
[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数 值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
高中数学
• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析： 在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.
“杨辉三角”与二项式系数的性质
合作学习
思维聚焦
1.二项式系数的性质既可以通过观察杨辉三角得到，也可 以通过逻辑推理直接得到：
由组合数性质“Cnm＝Cnn－m”可得到对称性，即 Crn＝Cnn－r. 由 Ckn＝nn－1n－2k…－1n－！k·＋k 2n－k＋1＝n－kk＋1Ckn－1 可知，Cnk相对于 Ckn－1的增减情况将由n－kk＋1与 1 的大小关系 决定．
二项式系数表与杨辉三角中每行的数值对应相同吗？
提示：不相同．二项式系数表第一行是两个数，而杨 辉三角的第一行只有一个数，事实上，二项式系数表中的 第 n 行与杨辉三角中的第 n＋1(n∈N*)行对应数值相等．
如图所示，在杨辉三角中，第 n 条和 第 n＋1 条细斜线上各数之和与第 n＋2 条细斜线各数之和的关系如何？并证 明你的结论．
(3)由(2)得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1① 令 x＝1，y＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59② ①＋②得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－2 1， 即所有奇数项系数之和为59－2 1.
(4)Tr＋1＝Cr9(2x)9－r(－3y)r ＝(－1)rCr9·29－r3rx9－ryr， 因此当 r＝1,3,5,7,9 时，Tr＋1 的系数小于 0. 即 a1，a3，a5，a7，a9 均小于 0， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2＋…＋a8－a9＝59.
时取得最大值．
(3)各二项式系数的和： (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于__2_n ____， 即⑪___C_0n_＋__C_1n_＋__C_2n_＋__…__＋__C_rn_＋__…__＋__C_nn_＝__2_n____.
(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(共28张)
第9页，共28页。
(2)增减(zēnɡ jiǎn)性与最大值：
①若n为偶数
中间一项（第
n 2
1
项）的二项式系数取得
最大值；即C
n 2
最大
。
n
n 当r≤ 2 时， Cnr单调递增；
当r≥
n 2
时，
C
r n
单调递减；
第10页，共28页。
(2)增减(zēnɡ jiǎn)性与最大值：
类 型 ( l èi x ín g ) 一 ： 二 项 式 系 数 性 质 的 应 用
例2 、(
x
1 )n x
的展开式中第8项是常数，
则展开式中系数最大的项是（ ）
A、第8项
B、第9项
C、第8项或第9项 D、第11项或第12项
第16页，共28页。
练习 ： (liànxí)
已知 (3 x2 3x2)n 展开式中各项系数和比它的二项式 系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
第6页，共28页。
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
+ ++ + ++ ++++
+++++
①每行两端都是1
②从第二行起，每行除1以外的每一个(yī ɡè)数都等于它 肩上的两个数的和
C30C31C32C33
课件杨辉三角与二项式系数的性质课件
数 阵
开方作法本源图
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的.
总结1:
11
a).表中每行两端都是1。
121 1 33 1
1 4641
b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
当n不大时，可用该表来求二项式系数。
学习目标2:二项式系数的性质
第1行———C
10C
1 1
第2行——C
0 2
C
1 2
C
Cnk
与C
k n
1的大小.
Cnk
k
!
n! (n
k)!
n
k k
1
(k
1)!
n! (n
k
1)!
n
k k
1
C k1 n
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk k
1 决定．
k
可知，当
k
n
1
2
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后
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新知探究
研究二项式系数的性质．
(a+b)n展开式的二项式系数是
C
0 n
,
Cn1
,
C
2 n
,L
, Cnr，L
,C
n n
.
Cnr 可看成是以r为自变量的函数f(r),其
定义域是{0,1,2,…,n},
对于确定的n,可以画出它的图像。例如： 当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.
f(r)
.20-
. . 1106---.. .. 8462----
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n
C
2 n
L
C
1 n
C
3 n
L
2n1
证明：在展开式
C
0 n
a
n
C
1 n
a
杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、 朱世杰并称“宋元数学四大家”。
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的 系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三 角”。
杨辉
一、新课引入
课前引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
C50C51C52C53C54C55
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
典例解析
例3：求（1 x）1（0 1 1 ）10 展开式中的常数项. x
C2100
例4:求(x+2)10 （x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为 179 .
变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数. -9 方法提炼
求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法： （1）先化简，化成一个二项式的展开式; （2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数, 利用找伙伴的方式解决.
这就是组合数的性质
2:
C
m n1
C
m n
C m1 n
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1 的大小.
新知探究
(3)增减性与最大值.
新知探究
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1 的大小.
Cnk
k
n! !(n
k)!
n
k k
1
(k
n! 1)!(n
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2 L a7 x7
求:(1) a1 a2 L a7； -2
(2) a1 a3 a5 a7 ； 1094
(3) a0 a2 a4 a6
37 1 ; 2 1093
(4) | a0 | | a1 | L | a7 | 2187
课堂练习 1.若（2x 3)4 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4
1 则（a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值是____.
课堂练习 ,
n
系数
C
2 n
取得最大值；
n1 n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn2 、Cn2
相等，且同时取得最大值。
（4）各二项式系数的和
新知探究
C0n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
这就是说，(a b)n 的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
系数的问题的重要手段。
谢谢聆听 请多指教
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POWERPOINT PRESENTATION
综合法
2
探究3
探究3
25
DESIGN
1
3
1
小结
课前引入
思考
k
1)!
n
k k
1
Cnk1
所以
C
k n
相对于
C
k n
1
的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk 1 k
决定．
k
2
可知，当 k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后 半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
新知探究
（3）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
数学
选修 2-3
§ 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
Mathematics
POWERPOINT PRESENTATION
授课人：范国柱
凯里实验高级中学
杨辉 （南宋著名数学家）
杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学 家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政 清廉，足迹遍及苏杭一带。
Cn0 , Cn1, Cnn 有如下性质：
（1） Cnm Cnnm
（2） Cnm Cnm1 Cnm1
（3）当 当
r r
n 1 n 21
2
时，Cnr Cnr1 时， Cnr1 Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
新知探究
还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方 面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨 论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》 12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷 法》2卷和《续古摘奇算法》2卷后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、 日本等国均有译本出版，流传世界。
典型例题
典例解析
例4： (1 2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，
求展开式中二项式系数最大的项。 70
变式引申
1、(x y)7 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ B ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3
1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
r n1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
数先增后减。
(a b)0
1
(a b)1
11
(a b)2
1 21
(a b)3
13 31
(a b)4 1 4 6 4 1
3 6 9r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155
a, C195
b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
(a b)5 1 5 10 10 5 1
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
新知探究
二项式系数的性质
(1)对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1:
C
m n
C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
L
Cnr a nr br
L
C
n n
b
n
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通 过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
“杨辉三角”的来历及规律
新知探究
(a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
含x的项等于( A )
A.210 B.120 C.461
D.416
3:(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C173 .
小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想
a 单调性；
b 图象；
c 最值.
课堂小结
注意
课堂小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好， 同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别， 不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项， 而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和 掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式
n
1b
L