误差及误差分析-数据的误差处理

注：每次周期值是通过测量100个周期获得，每测 100个周期要按两次表，由于按表时超前或滞后造成 的最大误差是0.5s；Ⅱ级钢卷尺测量长度L的示值误 差为 (0.3 0.2 L)mm（L是以米为单位得到的数 值），由于卷尺很难与摆的两端正好对齐，在单次 测量时引入的误差极限为±2 mm。
1.计算直接测量量的最佳估计值
uc ( x) uA2 ( x) uB2 ( x)
说明
(1) 当进行的测量只有一次时，取 uA( x) 0 (2)如果一个测量量的B类不确定度由多个部分构成，
则B类不确定度的合成不确定度为
uB ( x) uB21( x) uB2 2( x) ...
【例题】用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6 次测量值 y分i 别为：0.245, 0.255, 0.249, 0.247, 0.253, 0.251; 单位mm，已知螺旋 测微计的仪器误差为Δ仪=0.004mm，请给 出测量的合成标准不确定度。
4、间接测量量的不确定度计算
间接测量量 Y f ( X1, X，2 ,L其X中N )
为
X1, X2 ,L X N 直接测量量。
Yห้องสมุดไป่ตู้估计值y 的标准不确定度，要由 X1, X2 ,L X N 的标准不确定度适当合成求得，称为估计值y 的
合成标准不确定度, 记为 uc (。y)
(1) 对于形如 Y f ( X1, X 2,L X N ) aX1 bX 2 cX3 L 的函数形式（和差关系）, 合成标准不确定度 的计算方法为:
定度 U (及x) 包含因子 时k，则 a， UB(类x) 标准不
确定度为
uB ( x)
a k
U(x) k
【例题】校准证书上给出标称值为1kg的砝码质
量 m 1000.0，00包32含g 因子 ，（k扩 展3 ）不确定度
为U = 0.24 mg，由此可确定砝码的B类标准不确
定度
uB (m)
U(m) k
3、平均值的最后一位与不确定度的最后 一位必须对齐，多余数字按4舍5入规 则进行取舍。
例如： =V242.63cm3，uc(v)=0.54cm3， 不确定度保留一位，V=(242.6±0.6)cm3。 不确定度保留了两位，V=(242.63±0.54)cm3。
数据处理的步骤
实验测量式 Y f (X1, X 2 )
实验数据
X1 x11 x12 x13 x14 x15 x16 X2 x21 x22 x23 x24 x25 x26
1.由测量数据计算直接测量量的最佳估计值 x1, x2 2.由测量式计算间接测量量的最佳估计值 y f (x2 , x2 )
3.计算直接测量量的不确定度
n
(x1i x1)2
(1)计算X1的A类标准不确定度 uA(x1) s(x1)
【例题】用单摆测重力加速度的公式 g 4 2 L T 2
现用最小读数为1/100s的电子秒表测量周期 T 五 次，其周期的测量值为2.001，2.004，1.997， 1.998，2.000（单位：s）；用Ⅱ级钢卷尺测摆长 L一次，L = 100.00 cm 。试求重力加速度g及合 成不确定度 uc (g)，并写出结果表达式。
摆长只测了一次，只考虑B类不确定度, 有两个分量。
仪器的示值误差
仪 (L) 0.3 0.2 1 0.5mm
相应的不确定度为
uB1 ( L)
仪 (L) 3
0.5 3
标准不确定度表达式。
解：此体积公式形如
Y
f (X1, X 2,L
X N ) cX1p1 X 2 p2 L
X pN N
其中 X1， d ，X 2 h， p1 。2 p2 1
根据 urel
(
y)
uc ( y) y
p1 x1
2
uc ( x1)
p2 x2
2
uc ( x2 )
p3 x3
2
uc ( x3 )
i 1
n(n 1)
(2)计算X1的B类标准不确定度
a uB (x1) k
(3)计算X1的合成标准不确定度 u(x1) uA2 (x1) uB2 (x1)
(4)重复(1)--(3)步骤计算X2的合成标准不确定度 u(x2 )
数据处理的步骤
4.计算间接测量量的不确定度
和差形式 积商形式
uc ( y)
如果已知被测量的测量值 x分i 散区间的半宽为a， 且落在 (至x a) 区间(x的概a)率为100%，通过
对其分布规律的估计可得出B类标准不确定度u 为：
uB ( x)
a k
k是包含因子，取决于测量值的分布规律。
说明 包含因子k和半宽a 的确定方式为：
(1)如果检定证书、说明书等资料明确给出了不确
来源：环境、观测者等。
处理方法：取多次测量的平均值有利于消减随机 误差。
测量的精密度、准确度和精确度
精密度：表示测量结果中的随机误差大小的程度。 精密度高即数据的重复性好，随机误差小。
精密度
准确度
精确度
准确度：表示测量结果中的系统误差大小的程度。 准确度高即测量结果接近真值的程度高，系统误差小。
...
体积的相对合成标准不确定度表达式为
urel
(V
)
uc (V V
)
2
2
2 d
uc
(d
)
1 h
uc
(h)
5、扩展不确定度的计算
将合成不确定度 uc (乘y)以一个包含因子m，即
得扩展不确定度, 用U表示，即
U m uc ( y)
说明
在物理实验课程中，包含因子m一般取2，即
U 2uc ( y)
uc ( y) (40.03)2 (30.05)2 g 0.19g
(2)对于形如 Y f (X1, X 2 , X N ) cX的1 p1 X函2数p2 形X式N pN （积商关系），则先求其相对合成标准不确
定度：
urel
(
y)
uc
( y) y
p1 x1
2
uc ( x1 )
p2 x2
间接测量：待测物理量需根据直接测量的值，通过一定 的函数关系，才能计算出来的测量过程。相应的待测 量称为间接测量量。
按测量条件分：等精度测量和不等精度测量
等精度测量：在相同的测量方法和条件下，多次测量同 一个物理量。
不等精度测量：在不同的测量方法和条件下，多次测量 同一个物理量。
二、误差
1、真值、测量值、平均值（最佳估计值）
f x1
u(x1)
2
f x2
u( x2
)
2
2
2
urel
( y)
uc ( y) y
p1 x1
u(x1)
p2 x2
u(x2 )
5.计算扩展不确定度 U ( y) 2uc ( y)
6.写出测量结果表达式 y y U(y)单位
或 y y U ( y)单位
uc ( y) y urel ( y)
T 的估计值：
T
1 5
5 i 1
Ti
2.001
2.004 1.997 5
1.998
2.000
2.000s
L 的估计值： L 1.0000m
2.计算间接测量量g 的最佳估计值
g
4 2L
2
T
43.14162 1.0000 2.0002
9.8697m s2
3.计算直接测量量的不确定度
（1）计算摆长L的测量不确定度
解:测量最佳估计值
y 1 (0.245 0.255 0.249 0.247 0.253 0.251) 0.250mm 6
n
( yi y)2
A类标准不确定度 uA s(y)
i 1
n(n 1)
0.0015mm
B类标准不确定度
uB
仪 3
0.004 3
0.0023mm
合成不确定度 uc ( y) uA2 uB2 0.0028mm
精确度：表示测量结果的重复性及接近真值的程度。。
三、误差的估算
1、偏差（残差）
定义：测量值 x与i 相同条件下多次测量所得平
均值 x的差值称为偏差或残差，记为 i i xi x
说明：一般情况下，我们所说的误差就是指偏 差。
2、(实验)标准偏差
s( x)
n
( xi x)2
i 1
n1
1、直接测量量的A类标准不确定度的计算
A类标准不确定度用一个测量列的算术平均值 x
的实验标准偏差S(表x) 示，记为 u，A (即x)
uA( x) s( x)
n
( xi x)2
i 1
n(n 1)
说明使用此式时，测量次数n应充分多，一般认为 n应大于6。
2、直接测量量的B类标准不确定度的计算
真值：被测量物理量所具有的、客观的、真实的 数值，记为 x。0
测量值：通过测量所获得的被测物理量的值，记
为 x。
平均值（最佳估计值）：在相同条件下，对某物
理量进行n次测量，x1, x2,L,这xnn 个测量结果称为一
个测量列，取这n次独立测量值的算术平均值，记
为 。即 x
1 n
x n i1 xi
uc ( y)
f x1
2 uc ( x1 )
f x2
2 uc ( x2 )
f x3
2 uc ( x3 )
...
【例题】某实验的测量式为 Y 4X1， 3X 2 为X直1, 接X2
测量量，其中
u，c (x1) 0.，03g uc (x2 ) 0.05g
则间接测量量的合成标准不确定度为
0.24 3
0.08mg
(2) 在缺乏任何信息的情况下，一般使用均匀分布， k 3 , 而a 则取仪器的最大允许误差（误差限） (x) , 所以B 类标准不确定度为 a ( x) uB ( x) k 3
直接测量量的B类标准不确定度的估算流程图
3、直接测量量的合成标准不确定度
A类和B类不确定度的合成标准不确度 uc ( x：)
注：在处理测量数据时常用物理量的平均值代替其真值。
2、误差
(1)概念：测量值与真值之差定义为误差，
记为 ，即 i
i xi x0
(2)表示方法：绝对误差= 测量值 —真值
相对误差=
×绝10对0误％差
真值
(3)分类：系统误差和随机误差
系统误差
概念：在相同的条件下，多次测量同一物理量 时，若误差的大小及符号都保持不变或按一定 规律变化，这种误差称为系统误差。
特征：系统误差表现出恒偏大、恒偏小或周期 性的特点。增加测量次数系统误差不能减少。
来源：仪器、理论、观测等 处理方法：修正已定系统误差；
随机误差
概念 ：在相同条件下，多次测量同一物理量时， 若误差的大小和符号都不确定，这种误差称为随 机误差。
特征：随机误差的绝对值和符号以不可预知的方 式变化，随机误差使测量值围绕某一平均值上下 涨落。
数据的误差处理
王晓冬 讲 师
一、测量及测量的分类
1、概念 测量就是以确定被测量对象的量值为目的
的所有操作。 记录下来的测量结果应该包含测量值的大
小和单位，二者缺一不可。
2、测量的分类
按测量方式分：直接测量和间接测量
直接测量：待测物理量的大小可以从选定好的测量仪 器或仪表上直接读出来的测量。相应的待测物理量称 为直接测量量。
3、算术平均值 x的实验标准偏差
s( x) s( x) n
n
( xi x)2
i 1
n(n 1)
算术平均值的实验标准偏差反映了测量结果的不确定度 大小。
四、测量结果的评定
1、不确定度的评定方法 (1) 不确定度的概念：
用于表示测量结果可能出现的具有一定置信水平 的误差范围的量，用u表示。
(2) 对概念的说明： • 不确定度表示一个区间，被测量的真值以一定 的概率存在于此区间中，此概率称为置信率， 此区间称为置信区间。(而误差表示测量值偏离 真值的大小，是个确定的值。)
• 不确定度可以根据实验、资料、经验等进行评 定，从而可以定量确定。（而误差无法计算）
2、不确定度的计算
引言：不确定度的分量
不确定度的数值一般包含几个分量，按不 确定度的数值评定方式，可分为 A类不确定度——用统计方法确定的分量 B类不确定度——用其他方法确定的分量
要计算不确定度，首先要求出所有的 A 类和B类分量，然后再合成不确定度。
2
uc ( x2 )
p3 x3
2 uc ( x3 )
...
合成标准不确定度 uc ( y) y urel ( y)
说明：对于被测量Y的平均值 y，按如下方式计算： y f (x1, x2,)
【例题】圆柱体的体积公式为 V 1 。d 2设h 已经
4
测得 d ，d uc (d)，写h 出 h体积uc的(h相) 对合成
此时置信率约为95%
五、测量结果的表达
物理实验中，用扩展不确定度报告测量结果
y y 单U位( y)
y y单位U(y)
说明
1、表达式中平均值、不确定度、单位三者缺一不 可。
2、在结果表达式里，按国家技术规范，U( y最) 多取 两位有效数字，两位一位皆可。在学生实验中， 可以只取一位有效数字，多余的位数按数字修 约 (三舍四入）的原则进行修约。