江苏省南京物理竞赛讲义-11.2电势

11.2电势

一、电势叠加原理

某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。 二、几种常见电场的电势

1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）

r

kQ =

ϕ 2、半径为R 的均匀带电薄球壳

壳外：r kQ =

ϕ 壳内：R

kQ

=ϕ

例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。 （2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。

2

44kQ k R k R R R

σπϕπσ===

例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势

kQ R

ϕ=

例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。如果让球壳接地。那么金属球的电势变为多少？

例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。

例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求内外球壳的电

势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律.

（1）内球带q +，外球壳带Q +.

（2）内球带q +，外球壳不带电.

（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.

（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.

【解析】如错误!未找到引用源。所示，根据叠加原理:

(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此：

内球1123

q q Q q

U k k k R R R +=-+

外球233

()()q q k Q q k Q q U k

k r r R R ++=-+= 上式中23R r R << 电势差121212

q q

U U U k k R R =-=- 腔内23

()

q q k Q q U k

k r R R +=-+内 (R 1

O

壳外33

()()q q k Q q k Q q U k k r r R R ++=-+=外 (r>R 3) (2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此：

内球1123

q q q U k k k R R R =-+ 外球233

q q q q U k

k k k r r R R =-+= 上式中23R r R << 电势差121212

q q

U U U k k R R =-=- 腔内23

q q kq

U k k r R R =-+内 (R 1

U k

k r r r r

=-+=外 (r>R3) （3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷. 内球112q q

U k k R R =-

电势差121212

q q

U U U k k R R =-=- 腔内2

q q

U k k r R =-内 (R 1

U k

k r r

=-=外 （r ＞R 3） （4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:

123

''(')0q q k Q q k k R R R --++= 解得:12

122313

QR R q R R R R R R '=+-

内球:10U = 外球:2223

'''q q Q q U k

k k R R R -=-++ 21122313()

kQ R R R R R R R R -=

+-

21U =

腔内:23'inside q q Q q U k k k r R R ''

-=-++

21122313(1)kQR R

R R R R R R r =

-+- (R 1

壳外:

3

'outside q q Q q U k k k r r R ''

-=-++

321122313()()kQR R R R R R R R R r -=+- （r ＞R 3）

例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知2

321R

OO OO OO ===．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为

2

r

的P 1、P 2点处分别放置带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离

R OP 2=．

1．求q 3的电势能．

2．将带有电量q 1、q 2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q 3的电势能为多少？

1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为1q -、2q -和3q -的面电荷，由电荷守恒定

律可知，在导体球的外表面呈现出电量321q q q ++．由静电屏蔽可知，点电荷q 1及感应电荷（1q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 2及感应电荷（2q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 3及感应电荷（3q -）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321q q q ++作球对称分布．

当球外P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为()321q q q ++，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．

O 3处的电势由位于P 点处的Q 、导体球表面的电荷()321q q q ++及空腔3表面的感应电

荷（3q -）共同产生．无论()321q q q ++在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是R ，因而在O 点产生的电势为R q q q k

321++， Q 在O 点产生的电势为R

Q

k 2，这两部分电荷在O 3点产生的电势U '与它们在O 点产生的电势相等，即有

⎪⎭

⎫

⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='R q q q Q k R Q R q q q k U 22222321321 （1）

因q 3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q -在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O 3点产生的电