赣马高级中学2011届高三考点突破专题十七常见的数学思想方法-----参数法、定义法、轨迹方程

赣马高级中学2011届高三考点突破专题十七 常见的数学思想方法（1）

038参数法、定义法 【自我提醒】

1．参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。

2．所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 3．求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 【自我测试】

1．若角α的终边经过点(1

2)P -，，则tan 2α的值为 ．

2．平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足||||6PA PB +=，则||PA 的取值范围是 ．

3．1F 、2F 是双曲线2211620

x y -=的焦点，点P 在双曲线上．若1||9PF =则2||PF = ．

4．（浙江理12文13)）已知21F F 、为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB = ．

5．（08北京理4）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(2

0)，的距离小1，则点P 的轨迹为 ．

6．（08海南宁夏理11）已知点P 在抛物线2

4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，

的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P ．

7. 若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22

=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则求||||PF PA +取得最小值时点P 的坐标 ．

8.已知点A(1,2)在椭圆112

162

2=+y x 内，F 的坐标为（2，0）

，在椭圆上求一点P 使||2||PF PA +最小，P （ ， ）

9.已知21,F F 分别为椭圆22

110064x y +=的左右焦点，椭圆内的一点M 的坐标为（2，-6），P 为椭圆上的一个动点，求25

3

PM PF +的最小值 ．

10在∆ABC ACB AC BC AB 中，，，求的∠=+=6010 ||||中点M 的轨迹方程 ．

11. 双曲线19

162

2=-y x 的右焦点为F ，点A （5，4），点P 在双曲线的右支上，则4PF-5PA 的最大值为 ．

12. 如图，O 为坐标原点，A 、B 是单位圆O 上的动点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=．

（Ⅰ）当点A 的坐标为34,55⎛⎫

⎪⎝⎭

时，求sin α的值；（Ⅱ）若π02α≤≤，且当点A 、B 在圆O 上沿逆时针

方向移动时，总有π

3

AOB ∠=，试求BC 的取值范围．

x

考点突破专题十七 常见的数学思想方法（2）

039轨迹方程 【自我提醒】

1.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程

(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求

(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念

4．求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验， 简称“五步法”，检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性 【自我测试】

1．已知复数z 满足|z －(4－5i)|=1,求|z ＋i|的最大值和最小值 ．

2．已知ΔABC 中，∠A,∠B,∠C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程 ．

4．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是 ．

6．已知双曲线122

22=-b

y a x ,(a>0,b>0), A 1、A 2是双曲线实轴的两个端点, MN 是垂直于实轴所在直线

的弦的两个端点, 则A 1M 与A 2N 交点的轨迹方程是 ．

7．设A 、B 两点的坐标是(1，0)、(-1,0),若1-=⋅MB MA k k ，求动点M 的轨迹方程

8. 圆22:2270C x y x y +---=，设P 是该圆的过点(3,3)的弦的中点,则动点P 的轨迹方程是

9. 竖在地面上的两根旗杆的高分别为10米和15米，相距20米，则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的点的轨迹是

10.曲线C 上的动点P 到定点Q （1，0）与它到直线x+1=0的距离相等。求： （1）曲线C 的方程；

（2）过点Q 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求证：OA OB ⋅

为定值。

考点突破专题十七 常见的数学思想方法（1）

【自我测试】 1．解：222tan 4

tan 2,tan 2.11tan 3

αααα-==-∴==- 2． 17

4． 8依题直线AB 过椭圆的左焦点1F ,在2F AB ∆ 中，

22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =

5．（08北京理4）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

解：把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。