北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积 课件

2
解: 两曲线的交点
2
y 2x ( 2,2), (8,4). y x4
S 2S1 S2 2
2 0
2
y 2x
S1 S1
S2
y x4
8
2
0
8
2 xdx ( 2 x x 4)dx
2
8
y2 2 x
2 2 xdx ( 2 x x 4)dx
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前面，我们运用分割→近似代替→求和→取极限 的过程，求出了一些曲边梯形(由函数 y f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0 )的图象和直线 x a , x b , x 轴围成的 平面图形)的面积. 并把它们浓缩成了一个结果:定积分( f ( x )dx )
b a
1.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
例4 已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围 成的平面图形的面积为4/3,求a的值. 思路:根据a的取值的不同分类讨论.
当a≤0时,
4 ,解得a=-1 ( x 2 x)dx 3 a
2
4 当0<a≤2时, 0 (2 x x )dx 3 ,解得a=2 2 a 4 2 2 当a>2时, (2 x x )dx , ( x 2 x)dx ,无解 0 2 3 b 故a=-1或a=2
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图象及两条直线 x a , x b 之间的各部分面积的代数和.(在 x 轴 上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号)
思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值: 图2.如图 图1.曲边梯形 y y y f2 ( x) y f ( x)
2.一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的高 为常数h,宽为常数b,求抛物线拱的面积. y 4h
y b2 x2 h
2 S bh 3
0 x 3.已知直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围 图形为面积相等的两部分,求k的值.
4 1 2
3
4.求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;
2
4 2 2 2 1 2 16 64 26 8 x | ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
3 2 2 0
3 2
练习 2： 计算由曲线 y x 6 x 和 y x 所围成的图形的面积.
3 2
解: 两曲线的交点 3 y x 6x (0,0), ( 2,4), ( 3,9). 2 y x 0
2

0
a
注意 S a | f ( x) |dx(a b)
[-1,2]
若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢?
巩固练习:
1.由定积分的性质和几何意义,说明下列
各式的值.
(1) a a x dx
2 2
a
a
2
2
2
(2) 0 ( 1 ( x 1) x)dx
1

1 4 2
说明： 注意各积分区间上被积函数的形式．
例3 求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及 y=0所围成的图形的面积.
y
S
2
0
40 8 xdx (6 x)dx 2 3
6
6
O
2
6
x
求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:
(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下 线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是 非负的;(4)写出定积分并计算.
(2)y=ex,y=e,x=0.
32 (1) S ((2 x 3) x )dx 1 3
3 2
(2) S (e e )dx 1
x 0
1
课堂小结: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特 别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分. 课外练习
课 外 练 习
作业布置：课本P90页习题4-3中1、2、 3、4
五、教学反思：
y f1 ( x )
A1 f ( x )dx
b a
o
a
b
x
o
a
b a
b
x
图3.如图 y
a
0
b
图4.如图 y y f2 ( x)
A2 [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
x
0
a
b x
y f ( x)
A3 f ( x )dx
a
b
y f1 ( x )
0
2 xdx
3 2 8 0
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 1 2 40 8 x | ( x 4 x) |4 3 2 3
练习 1（课本变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积. 4
y 2x
围成的图形的面积.
解:
两曲线的交点
S2
y 2x (0, 0), (8, 4). y x 4
S1
y x4
直线与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
8
(
4
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北师大版高中数学选修2-2第四 章《定积分》
定积分的简单应用(一)
利用定积分求平面图形的面积
一、教学目标：1、进一步让学生深刻体会 “分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边 梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几 种常见题型及方法。 二、教学重难点： 曲边梯形面积的求法及 应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
图形的面积.
y x
C
y2
B
y x2 D
A
o
x
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 2 3 x 2 S ( x - x )dx x . 0 3 0 3 3

1
0
xdx x dx
1 2 0
2

1
3
1
例2
计算由曲线 y 2 x ，直线 y x 4以及 x 轴所
y x2
A1
A2
0
2 3
(x 6 x x )dx
3 2
A1
A2
y x3 6x
0
( x x 6 x)dx
2 3
于是所求面积
3
A A1 A2
2 3 2 3
253 . A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx 12
A4 f 2 ( x )dx f1 ( x )dx [ f 2 ( x ) f1( x )]dx
a a a
b
b
b
例 1 计算由两条抛物线 y x 和 y x 所围成的
2 2
y x 解 x 0及x 1 2 y x 两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)

b
a
f ( x)dx F ' ( x)dx F ( x) |b F (b) F (a) a
a
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．
2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
确定f ( x)的原函数F ( x)
我们知道定积分 f ( x )dx 的几何意义：
b a