量子光学基础第二章

E ( z, t ) 2
E
n
no
(t ) exp[i(nt n (t ))] U n ( z ) c.c
对每一个模式中Eno (t ) 和 n (t ) 均为慢变化量，U n ( z) 确定模式在轴向 变化，对两面反射的激光器取驻波形式
U n ( z) sin(k n z),k n n / L
P npE ( ab ba )
即求密度矩阵的非对角分量，要解密度矩阵满足的Bloch方程。这理论可以解 释激光器的增益饱和、频率牵引、模式竟争、相位锁定和Lamb凹陷等问题。
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第一节 激光理论概况
3，激光的速率方程理论
速率方程理论是建立在量子概念和经典统计基础上的一种唯象的经典激光理论 ，它将激光介质看成处在不同能态上的粒子，辐射场看成光子群。在这基础上唯 象给出一组表征辐射场和介质相互作用随时间变化的微分方程，即速率方程。 这些方程可以利用Haken的半经典激光方程取近似得到，其中最主要的近似有 两点，一是模频等于腔频，因此它不能解释激光器中出现频率牵引问题；第二近 似是对不同模场振荡相位取平均，因此速率方程也不能解释激光器相位锁定的问 题。它只能用来研究与激光强度有关的输入输出功率、阈值条件和增益饱和等。 在二能级原子模型中，在a，b能态 dn 上粒子数分别为 WDn kn dt Na，Nb,辐射场 dNa 光子数为n， a a N a WDn dt 随时间变化有
2 n E n 0 (t ) n ( n ) E n 0 (t ) 2 n Im[Pn 0 (t )] Qn t t 0
n
其中 Qn 为腔内第n个模的品质因数，它与电导率σ有关，Qn 0n ， n 为腔内第n个模 其意义是第n个模存能与单位时间能量损失之比。 的共振频率，在有损耗时，激光频率 n 和 n 不完全相同，进一步 忽略 n En0 (t ) ， n n (t ) 项，取n n 2n ，上两式可以简化为
速率方程理论
激光谱宽 强度涨落 光子统计
频率牵引 相位锁定 功率特性
激光阈值条件 输出输入功率 模式调制
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第一节 激光理论概况
2，激光的半经典理论
电磁场用Maxwell方程组处理，工作物质的原子分子用量子力学来处理，激光 与介质的作用用量子力学微扰论处理。流行两个学派： 一学派Haken理论，出发 点是哈肯的三个激光方程： λ模 光场振幅 a 满足的方程： da (i k )a i g 12 dt 其中 谐振腔的模频率， k 为腔的衰减系数，g 是μ原子与λ模光场的耦合系 12 是μ原子的二能级密度矩阵 元， 它 满足的方程 数， d12 (i 21 21 ) 12 i g a ( 22 11 ) dt 21 是 原子跃迁频率， 21 是原子偶极矩衰减系数，反转粒子数 D ( 22 11 ) 满足方程 dD ( D D0 ) 2i( g a 21 g a 21 ) dt
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第二节
激光的自洽场方程
将E和P代入波动方程，利用慢变化振幅与相位近似，忽略 Eno (t ) ， n (t ) 的二阶导数和 Pn0 (t ) 的一阶导数项，对 Pn0 (t ) 的实部和虚部可以 得到以下两个方程; 2
[ 2 n ( n n 2 E n 0 (t ) n ) ]E n 0 (t ) n Re[ Pn 0 (t )] t Qn t 0
2
第一节 激光理论概况
1，激光理论体系
激光的物理基础是光辐射与物质的相互作用，描写这一相互作用 的基本理论有全量子理论、半经典理论和速率方程理论。 光辐射是原子中电子能级跃迁，这是一个量子过程，经典物理 是不可能正确解释的，因此光的受激辐射和自发辐射都是典型的量 子力学过程，严格地讲激光理论应是一个全量子理论，一个全量子 激光理论的框架如图1所示。 激光的所有性质原则上可以由全量子理论得到解释，但是这一理 论计算复杂，在一些问题处理上不如其它理论计算简洁，例如，研 究激光的阈值条件和输出功率，这时用速率方程理论就可以了；如 研究的只与光场波动性质有关，而不涉及光场量子性质，用半经典 理论就能很好地处理，只有涉及到光场量子性质有关的一些现象， 如激光的线宽、激光的噪声等才必须用全量子理论处理。 图2给出理论简化过程和每一理论适应解决的问题。 本章主要介绍激光的半经典理论。
激光的自洽场方程
本章主要 介绍激光的Lamb理论 第二节引出Lamb自洽场方 程，后面三节分别用Lamb自洽场方程去处理固体、气体和半导体激 光器。
，
1,Maxwell方程与场方程
在介质中Maxwell方程组为 物质方程为
D 0 E P,B H , j E
对环Biblioteka Baidu激光器取行波形式，
U n ( z) exp(ik n z),k n 2n / L
， L为腔长。 ， L为环的周长。
n 是激光的模频，这时介质的电极化强度也是各平面波激发的叠加
P( z , t ) 1 Pn0 (t ) exp[i(n t n )]U n ( z) c.c 2 n
量子光学基础
第二章 激光的半经典理论
杨伯君
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第二章 激光的半经典理论
激光的发现和应用，在量子光学的建立和发展中起十分重要作用。 激光Laser是Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 的缩 写，其意思是辐射受激发射的光放大。激光原理是量子光学的一个重要 内容。作为量子光学Bloch方程应用实例，介绍激光的半经典理论。 原子分子受激辐射的概念最早是1917年由Einstain提出来的；1928年 Ladenburg和Kopferman首次在气体放电实验中观测到受激辐射。至于受 激辐射的应用是在20世记50年代后，1954年人们研制出微波量子放大器 （Maser）；1960年Maiman研制成世界第一台红宝石激光器，我国1961年 研制出第一台红宝石激光器， 激光半经典理论是量子光学半经典理论的重要应用，本章将利用 Bloch方程去研究不同激光器的特性，分以下几节： 1，激光理论概况， 2，激光的自洽场方程， 3，固体激光器的Lamb理论, 4，气体激光器, 5，半导体激光器理论.
E ( z, t ) E ( z, t ) E ( z, t )

为简单考虑单色光，取
1 ˆE 0 ( z, t )e i ( kzt ( z ,t )) E ( z, t ) x 2 E0 为慢变化的实振幅，若E（z，t）完 看出它是一个z正方向传的波， 全单色时，位相Φ在时空中为常数，如果准单色Φ（z，t）为时间慢变 化函数，即满足 k ﹤﹤ ω ， ， t z
b b N b WDn 0
WDn kn 0
得到临介反转粒子数
由前两式解出
Dc k W
D
D0 1 R
, Rs
D0
a b ,...Rs a b a b a b
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R=nW，看出D随n增加而减少，即增益随n增加而减少，出现增益饱和现象。
第二节
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第二节
同时，
激光的自洽场方程
E 0 E E 0 , 0 kE0 t z
以上即所谓慢变化振幅与相位近似（SVAP），近似的物理意义是 光波在一个周期与波长内，振幅与初相位变化很小。 电极化强度也分为‘正频’和‘负频’两部分，
P( z, t ) P ( z, t ) P ( z, t )
E0 1 E0 k k Im(P0 ) N ( z ) p EV z c t 2 0 2 0 E0 ( 1 k k ) Re( P0 ) N ( z ) p EU z c t 2 0 2 0
2 E0 2 E0 20 20 X , 2 , 2 , ， ， 2 2 z t z t t
D 0 是没有相干光作用时的反转粒子数，γ是反转粒子数的衰减系数，右边第一项代
表弛豫过程，λ求和表示多模光场共同作用。
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第一节 激光理论概况
在哈肯方程中采用慢变化振幅近似，并取激光频率和腔的模频相等， = ，并对不同模相位求平均，可以从哈肯方程推出激光的速率方程。 本章主要介绍另一学派, 激光的兰姆（Lamb）半经典激光理论 Lamb半经典激光理论的处理方法是从经典的介质中的电磁场波动 方程出发，通过适当近似给出激光电场的振幅和频率满足的方程。 该方程中的辐射源是激光电场感生的激光物质的宏观电极化强度。它是一组 自洽场方程，由电场产生电极化强度，电极化强度又产 生场。理论计算中心是激光物质的宏观电极化强度，理论给出
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第二节
激光的自洽场方程
若谐振腔是轴对称的，不考虑垂直轴方向变化，取轴方向为z，取 ˆE( z, t ) 有 Ex （A ） P为电极化强度，最后一项起源头作用，（A）为有源头和阻尼的在z 方向的波传输方程。在量子光学中，常将电场分为‘正频’和‘负频’ 两部分
2E E 1 2 E 2P 0 0 2 t c 2 t 2 z 2 t
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第二节
激光的自洽场方程
取慢变化振幅与相位近似要求
U V U , V t t
慢变化振幅与相位近似相当在方程中导数项 均可以忽略不计。将 E ( z, t ) 和 P ( z, t ) 代入方程（A），利用慢变化振 幅与相位近似，并利用实部与虚部分别相等，可以得到两个方程：
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第一节 激光理论概况
图1，激光全量子理论的框架图
相互作用 场量子电动力学 原子量子 动力学方程
藕合场方程
耗散机制 实际激光方程
边界与 初始条 件
激光的各种性质
泵浦过程
近似方 法 4
第一节 激光理论概况
图2理论简化过程和各理论适应解决的问题
全量子理论
对泵浦与驰 豫过程平均
半经典理论
忽略相位关系 腔频=模频
（B）
这两个方程在激光物理半经典理论中起中心作用。从方程中看出作 为源头的介质电极化强度的作用，它的虚部支配场振幅的变化，而实 部支配波传播的相速度，它将引入散射和自聚焦效应。
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第二节
激光的自洽场方程
2, Lamb的自洽场方程
一般激光谐振腔内的电磁波并非单色平面波，Lamb将它取为平面波 的叠加， 1
dNb b b N b WDn dt
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第一节 激光理论概况
上面三个方程为激光器的速率方程，其中 W是受激幅射的几率，D为反转粒 a , b为各自衰减概率。 a , b 分别为a，b能态激发速率， 子数，k光子衰减率， 在稳态情况下
dn dNa dNb 0 dt dt dt a a N a WDn 0
对于准单色场，介质的电激化强度为，
P ( z, t ) 1 1 ˆ 0 ( z , t )ei[ kz t ( z ,t )] x ˆ N ( z ) pE X ( z , t )ei[ kz t ( z ,t )] xP 2 2
其中N（z）为单位体积中电偶极子数， p E 为每个电偶极子的电偶极 矩。X（z，t）为复振幅， X（z，t） =U（z，t） -iV（z，t）
D 0, B 0, e 0 B D E , H j t t
2 利用两个旋度方程有 E E ( E ) 2 2 E E P ( 0 0 0 ) 0 2 2 t t t 对均匀介质， E 0 ，上方程变为 2 2 E 1 E P 2 E 0 2 2 0 2 t c t t