Stewart平台雅可比矩阵分析

Stewart平台雅可比矩阵分析

赵慧[1]张尚盈[2]

[1]武汉科技大学机械自动化学院 430081

Email:

[2]华中科技大学数字制造及设备技术国家重点实验室 430074

Email:

摘要：雅可比矩阵是对Stewart平台进行分析时的重要变量，通过对其的分析和计算，可以得到平台速度和液压缸速度之间的关系，得到平台承载与各液压缸出力之间的关系，可以判断液压缸的可控性，可以得到各自由度之间的运动耦合情况。因此，导出雅可比矩阵，并对其物理意义进行诠释和深刻理解非常重要。本文通过Stewart平台的运动学分析，推导出雅可比矩阵的公式，并通过仿真结果对其物理意义进行验证。

关键词：Stewart平台，运动学分析，雅可比矩阵

1 引言

随着科技的发展以及人们对未知世界探索的需求，Stewart平台在飞行模拟器、空中交会对接(RVD)仿真技术[1]、虚拟轴机床、力－扭矩传感器、装配机械手等领域有广泛的应用。其中液压驱动Stewart平台由于具有快速、高精度、大负载和结构紧凑等特点而受到青睐 [2]。

Stewart平台是一个典型的多变量和本质非线性的复杂系统。对Stewart平台运动学和动力学进行研究，是设计、分析和控制Stewart平台的基础。雅可比矩阵是在对Stewart平台进行运动学动力学分析过程中产生和定义的矩阵，具有重要的物理意义，本文将对其实质展开论述，并用仿真结果来验证。

2 Stewart平台描述

2.1 坐标系建立

如图1所示，Stewart平台的主体部分由上平台（Platform）、下平台（Base）以及六个液压缸组成。静止不动的下平台与可动作的上平台分别通过上、下胡克铰与液压缸的两端相连。选取体坐标系{}P—

O X Y Z在上平台上，坐

p p p p

标原点p O 为上铰点的外接圆圆心；惯性坐标系{}G —g g g g O X Y Z 的坐标原点g O 为下铰点的外接圆圆心；坐标轴的方向如图1所示。

图1 Stewart 平台示意图

如图2所示，平台的六个上铰点位于半径为a r 的圆周上，()111,3,5i A i =、

()222,4,6i A i =在圆周上均匀分布；运动平台的六个下铰点位于半径为b r 的圆

周上，()111,3,5j B j =、()222,4,6j B j =在圆周上均匀分布。

图2 Stewart 平台俯视示意图

2.2 平台位姿描述

Stewart 平台的姿态一般用欧拉角[3]描述。定义其平移[]T x y z =c ，则其位姿可用广义坐标表示为：

由体坐标系下的矢量m Γ变换为惯性坐标系下的矢量g Γ时： 其中变换矩阵为：

m g

R 为从体坐标系到惯性坐标性的映射旋转阵。

3 Stewart 平台运动学分析

如图1所示，在单液压缸两端铰点间的矢量i l 为[4]：

1,2,

,6g m i i i

i =+-=l c R a b （1）

其中，11,2,,6T

m i ix iy iz a a a i ⎡⎤==⎣⎦a 为上铰点(1,2,,6)i A i =在体坐标系的坐

标，11,2,

,6T j jx jy jz b b b j ⎡⎤==⎣⎦

b 为下铰点(1,2,

,6)j B j =在惯性坐标系坐

标。

在液压缸两端铰点间的距离为：

1,2,

,6i l i == （2）

液压缸的伸缩速度可由上铰点速度沿缸轴线方向的投影来计算获得。

,i i

T i a T i n i a i

d dt ==l v l l v l （3） 其中，()i

g m m a i =+⨯v c ωR a 为上铰点速度

式（3）是单缸速度，6个液压缸的速度的计算可写成矩阵如下形式：

(),T

T g m m T

n n l x n a

=+⨯==l L c R A L ωJ x L V （4） 其中，,1

,2

,6n n n n ⎡

⎤=⎣⎦

L l l l ，(

),T

T g

m m l x n n ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣

⎦

J L R A L ， T

T T ⎡⎤=⎣⎦

x c ω。

式（4）中的x 物理上并不实际存在，只是一整体表示符号。式（4）中的

,l x J 称为雅可比矩阵（Jacobian Matrix ），是并联机器人中的一个重要变量

[5]

，它将平台坐标与可控、可测的液压缸长联系起来。雅可比矩阵,l x J 不仅

出现在运动学，而且在动力学中也用其映射液压缸出力到平台上，因此,l x J 是机器人学中的一个非常重要的矩阵。

4 雅可比矩阵分析

4.1 物理意义

式（4）描述了平台速度与液压缸速度之间的映射关系；根据虚功原理，,l x J 的转置,T l x J 将缸出力与平台的受力联系起来。假设单缸给定单位力，,l x J 的行可以解释为在平台坐标空间中所产生的（广义）力。,l x J 的列可以解释为，为获得平台的单位速度所需缸的速度。

由于并联机器人的控制通常由控制缸的伸缩来实现，根据式（4）有：

1,l x -=x J l

（5） 1

,l x -J 常出现在并联机器人控制系统反馈线性化控制结构中。1,l x

-J 的列指示了使单缸伸缩而其它缸仅旋转时所对应的平台速度；1,l x -J 的行给出了为获得平台坐标空间中的单位力所需要的缸出力。因此，,l x J 的条件数（或称制约数）可作为对平台可控性的一种量度，在,l x J 奇异时，缸是不可控的。 另外，平台的许多限制是由缸的特性（诸如缸的行程、最大速度和最大出力）导致的。雅可比矩阵在传递这些限制到平台坐标空间中起着非常重要的作用。例如，若给定缸的最大伸缩速度，则平台坐标空间中的第j （16j ≤≤）维上的最大速度由1,l x

-J 的相应维的1范数与最大缸速度给出。