拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律

位于斜截面内的切应力，由几何关系得到
＝pcos＝ ＝psin＝
cos2 cossin＝
2
sin
2
（6-3）
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＝ cos2
＝ sin 2
2
（6-3）
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从式(6-3)可以看出，斜截面上的正应力和切应力都是 的函数。这表明，过杆内同一点的不同斜截面上的应力是不
A 力平观在面察横假到截设：面。横上向的线分在布变是形均前匀后的均，为且直都线垂，直且于都横垂截直面于。杆的轴线，
只是其正间应距力增大，(缩其小计)算，式纵为向间距减小(增大)，所有正方形的
网格均变成大小相同的长方形。
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一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
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＝E
（6-4）
式（6-4）称胡克定律。其中，比例常数E称为材料的弹性模量。
对同一种材料，E为常数。弹性模量具有应力的单位，常用
GPa表示。
若将 FN 式和 l 代入式（6-4），则得胡克定律的
另一表达式
A
l l FNl
（6-5）
EA
式（6-5）表明：若杆的应力未超过某一极限值，则其绝
对变形l与力FN成正比，而与横截面积A成反比。其中分母EA 称为杆的抗拉（压）刚度 。
时不沿着横截面，例如铸铁压
缩时沿着大约与轴线成45的斜 F 截面发生破坏，因此有必要研
究轴向拉（压）杆斜截面上的
k
n
A k'
k
k'
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F
F
应力。设图示拉杆的横截面面 积为A，任意斜截面k-k'的方位角
为。用截面法可求得斜截面上的内力为
F =F 斜截面上的应力显然也是均布的，故斜截面上任一点的
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弹性模量E和泊松比都是表征材料的弹性常数，可由实验测 定。几种常用材料的E和值见表6-1
表6-1 几种材料的E、μ值
材料名称
碳钢 合金钢 合金钢 灰铸钢 铜及铜合金 铝合金
E/GPa
196~216 186~206
全应力为
p
F A
F A
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p
F A
F A
F
式中，A为斜截面的面积，
A
A
cos
，代入上式后有
F
p
A
F
cos
F A
cos
cos
（6-2）
F
式中， F 是横截面上的正应力。
A
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k
n
F
A k'
k F
k'
k p
k'
将斜截面上的全应力p分解为垂直于斜截面的正应力和
A11—1
A22—2
h h0 h
中段正应力大。
A2=(h-h0)b=(25-10)20mm2
=300mm2
F
b
b
FN
3）计算最大正应力
max
FN A2
20103 300
N/mm 2
66.7MPa
负号表示其应力为负（压力）。
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三、斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破坏有 F
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一般情况下，内力在截面上的分布并非均匀，为了
更真实的描述内力的实际分布情况，应使A面积缩小并
趋近于零，则平均应力pm的极限值称为m-m截面上O点处 的全应力，并用p表示，即
pm
F A
p lim F dF A0 A dA
F1 F2
m
F微内力 F1
220 78.5~162 72.6~128
70
0.24~0.28 0.25~0.30 0.22~0.25 0.23~0.27 0.31~0.42
0.33
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图 示 阶 梯 杆 ， 已 知 横 截 面 面 积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。
200103 500
=-0.01mm
100 100 100 FN 20kN
+
O
－
x
10kN
lCD
F l NBC CD EACD
10 103 200 103
100 300
mm
0.0167mm
3）计算杆的总伸长 l = lAB+ lBC+ lCD =(0.02-0.01-0.0167) mm＝-0.0067mm 计算结果为负，说明杆的总变形为缩短。
退出
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在应用式(6-3)时，须注意角度 和、的正负号。现规
定如下：仍以拉应力为正，压应力为负；的方向与截面外
法线按顺时针方向转90所示方向一致时为正，反之为负。
由式(6-3)中的切应力计算公式
2
sin
2
可以看到，必有 ＝-+90。，说明杆件内部相互垂直的
截面上，切应力必然成对出现，两者等值且都垂直于两平面的
第二节
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拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理
一、杆件在一般情况下应力的概念
用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同 拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必 然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有 关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于 内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处 的集度，即为该点处的应力。
l1
a1
F
F
l
a
F
F
l1
a1
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为了度量杆的变形程度，用单位长度内杆的变形即线应 变来衡量。与上述两种绝对变形相对应的线变形为
横向线应变
l l1 l
ll
纵向线应变 a a1 a
aa
线应变所表示的是杆件的相对变形。它是一个量纲为1的
FP1 FP2
m
F微内力 FP1
m
K点 A微面积
切应力
K
FP2
m
m
全应力 p
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正应力
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二、拉压杆横截面上的正应力
轴向拉伸 F
1 1
2 2
轴向压缩 F
1 1 1 1
2 2 2 2
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F
F
1．实验观察 取一等截面直1 杆1，在杆上2画2 出与杆轴线垂
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已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大正应力。
解 1）计算轴力。用截
1
2
面法求得杆中各处的轴力为 F
F
例6-2 FN=-F=-20kN
2）求横截面面积。该杆
1
2
有两种大小不等的横截面面 积 A1 和 A2 ， 显 然 A2 较 小 ， 故
F 向后直沿线仍的杆3段未2．横的．的垂应向轴平变直力线线面形于分作1截相F-轴1布用面同和线拉假。2的(-设压由2它平，)材意力面再可料味F，画，作的着仅上使如均拉略与杆下匀杆作杆件假连的平轴产设续任移向生：性意F而平拉变N假两已行伸形设个，的变前，截这纵形的可面个向。截以之假线此面推间N设，时，断所成（然可变出有为6后以形内纵-1）
交线，其方向则同时指向或背离交线，此即切应力互等定理。
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四、 拉、压杆的变形及胡克定理
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1．纵向线应变和横向线应变
设方横形向截变面形拉为杆原长为a=l，a1-边a长为a，受轴向拉力F后，纵
向长度由纵l变向为变ll形，为横向尺寸l由=l1a-变l 为a1，则
量。
实验表明，当应力不超过某一限度时，横向线应变'和纵
向线应变之间存在比例关系且符号相反，即
' =-
式中，比例常数 称为材料的横向变形系数，或称泊松比。
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2．胡克定律
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实验表明，当拉、压杆的正应力不超过某一限度时，其
应力与应变成正比。即
O点 A微面积
F2 m
m p 全应力 Om
m
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全应力pm的方向即F的方向。通常将应力分解成
垂直于截面的法向分量 和相切于截面的切向分量。 称正应力， 称为切应力。
FP1 FP2
m
F微内力 FP1
m
K点 A微面积
切应力
K
FP2
m
m
全应力 p
正应力
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在 我 国 的 法 定 计 量 单 位 中 ， 应 力 的 单 位 为 Pa （帕），1Pa=1N/m2。在工程实际中，这一单位太小， 常 用 兆 帕 （ MPa ） 和 吉 帕 （ GPa ） ， 其 关 系 为 1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。
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解 1）作轴力图。用截 面法求得CD段和BC段的轴力
AB C 30kN
D 10kN
例6-3 FNCD=FNBC=-10kN，AB段的
轴力为FNAB=20kN，画出杆
100 100 100
的轴力图 。
FN 20kN
2）计算各段杆的变形量
+ O
－
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研究图示杆件。在截面m-m上任一点O的周围取一微小 面积A，设在A上分布内力的合力为F， F与A的比 值称为A上的平均应力，用pm表示，即
F pm A
F1 F2
m F微内力 O点 A微面积
m
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同的。当=0时，横截面上的正应力达到最大值
max =
当 =45时，切应力达到最大值
max
=
2
当 =90时， 和均为零，表明轴向拉（压）杆在平
行于杆轴的纵向截面上无任何应力。
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＝ cos2
＝ sin 2
2
（6-3）
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x
l AB
FNABl AB EAAB
10kN
20103 100 200103 500
mm
0.02mm
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2）计算各段杆的变形量
lAB 0.02mm
AB C 30kN
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D 10kN
lBC
FNBClBC EABC
10103 100 mm