等比数列概念优秀教案

教学目标

1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式．

2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力．

3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．

教学重点和难点

重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用．

难点：对要领的深刻理解．

教学过程设计

(一)引入新课

师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列．

(板书)三等比数列

(二)讲解新课

师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解．

(要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解)

生：数列1，3，9，27，…

师：你为什么认为它是等比数列呢

生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列．

(先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维)

师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢

生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．

师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子．

(若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了)

师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．

生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．

师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．

说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢

生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．

师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．

生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列．

师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．

(板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．

(教师在叙述的同时，再强调为突出所做出的比都相等，应写为同一个常数更准确)

师：记住这句话并不难，关键是如何理解它，并利用它解决问题，先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列，如果是，公比是多少

师：好，公比会找了，再来看这样一件事，等比数列从定义上与等差数列有很多密切关系使我们想到，有没有这样的数列，它既是等差数列也是等比数列呢

生：有，如数列1，1，1，1，…是一个以0为公差的等差数列，也是以1为公比的等比数列．

师：除了这个数列以外，还能再举一个吗

师：他们举的例子都是对的，而且从例子中数列的特征，使我们联想到，形如a，a，a，…(a∈R)的数列好像都满足既是等差又是等比数列，是这样吗

(可让学生作短暂的讨论，再找学生回答)

生：形如a，a，a，…这样的数列一定是等差数列(这一点可以由等差数列的定义加以证明)．但它未必是等比数列．

师：能具体解释一下吗

生：当a=0时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数列，a≠0时，此数列是等比数列．

师：这个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们进一步认识等比数列有什么帮助吗从中得到什么启示吗

生：等比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每一项都要做分母，所以均不能为零．

师：这一点实际上是隐含在定义的叙述之中的，从另一个角度上讲，数列各项均不为零是这个数列成等比数列的什么条件呢

生：是必要非充分条件．

师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识．

(板书)2．对定义的理解

(1)“a n≠0”是数列｛a n｝成等比数列的必要非充分条件．

师：这一点是对等比数列的项的特殊要求，这与等差数列也是不同的．

下面从另外一个角度研究一下定义，数学定义一般都是用文字语言叙述表达的，但是在使用时往往需要符号化，因此下面试用数学符号语言来描述它

师：这种描述过于具体，能否用简单的一个式子来概括这么多个比的等．

师：由于n可取任意自然数，故a n+1可表示数列中每一项，a n可表示相应的前一项，因此这一个比可以代表无数多个比的相等，所以这个式子与定义是等价的．

师：这个比式也可作为我们判断一个数列{a n}是否是等比数列的依据．这样我们就完成了对等比数列的定义的研究、回顾一下研究过程．主要做了这样两件事：一是利用类比方法得到了等比数列的定义；二是用抽象概括将定义翻译为符号语言，并能利用它证明一个数列是否是等比数列．

下面要进一步研究等比数列，必须先搞清怎么表示一个等比数列，要表示数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢

生：两个条件．

师：哪两个条件

生：可以是首项和公比

师：如果等比数列｛a n｝，首项为a1，公比为q，你会用什么方法来表示这个等比数列呢

生：可以表示为a1，a2，a3，a4…这是常用的列举法

师：刚才举例时用的就是这种表示方法，除此之外，还有其它表示法吗