带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。

类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定）

这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。

【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是

A ．使粒子的速度v

B ．使粒子的速度v >5BqL 4m

C ．使粒子的速度v >BqL m

D ．使粒子的速度BqL 4m

【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在

垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到

大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。轨道半径小

于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。

【解答】AB

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有r 12＝L 2＋(r 1－L 2

)2，得r 1＝5L 4

由r 1＝mv 1Bq ，得v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL 4m

时粒子能从右边穿出． 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有r 2＝L 4

由r 2＝mv 2Bq ，得v 2＝BqL 4m ，所以v

时粒子能从左边穿出． 类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定

这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心，以mv r qB

为半径的圆。 【例2】如图所示，在0≤x≤a 、0≤y≤2

a 范围内有垂直手xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带

正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向

的夹角分布在0～090范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a /2

类型

已知参量 类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向 图乙 图甲 ① ② 入射点 入射方向 入射速度大出射点 出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤ ⑥ ⑦

⑩

到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

(1)速度的大小；

(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。

【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r 大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O ，入射点O 到任一圆心的距离均为r ，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”——以入射点O 为圆心、r 为半径的圆周上（如图甲）。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起——取“圆心圆”上不同点为圆心、r 为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时（均小于180°），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长——故轨迹①对应圆心角为90°。

【解答】设粒子的发射速度为v ，粒子做圆周运动的轨道半径为R ，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：

2v qvB m R =，解得：mv R qB = 当a /2

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系得： sin sin cos 2

a R R R a R ααα=-=-，， 且22sin cos 1αα+=

解得：66(2)(2)22aqB R a v m =-=-6-6，，=10

这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移动圆心作图。

【练习2】如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场。在t =0时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 边的夹角分布在0～180°范围内。已知沿Od 方向发射的粒子在t =t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的p （1）粒子的比荷q /m ；

（2）假设粒子源发射的粒子在子数之比；

（3 图甲 图乙 【分析】以L 为半径、O 点为圆心作“圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起（轨迹①），在“圆心圆”取不同点为圆心、以L 为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹①与轨迹④对称，在磁场中运动时间相同；轨迹②并不经过c 点，轨迹②对应弦长短于轨迹③对应弦长——即沿轨迹③运动的粒子最后离开磁场。 【解答】（1）初速度沿Od 方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，

其圆心为n ，由几何关系有：

6Onp π

∠= , 120T t = 粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得 p × × × ×

a b

c d O × × × × × × × × × × × × 图乙

图甲 ① ② O p × × × × a b c d O × × × × × × × × × × × × p × × × × a b c d O × × × × × × × × × × × ×

① ② ③ ④ O O O

O y x C R D

A a P α

α α v