卫星轨道和位置

摘要

本文主要在已知水星的远日点和绕日运行的线速度的条件下，通过建立微分方程模型，使用解析法和数值方法求解水星的轨道方程与位置。解析法的求解的过程中，结合了开普勒三大定律，准确的给出了微分方程的精确解，求得水星到太阳的最近距离)(104.601610m r m ⨯≈，水星绕太阳运行的周期约为88天。数值计算求解水星自远日点运行50天后的位置时，本文分别采用了Simpson 求积法，基于压缩映射的求根方法以及经典的四阶龙格—库塔法，使用matlab 数学软件编程，得到了较为合理的行星运行模型的近似解，三种方法所得结果对应分1 3.791θ=，101 4.76710r ≈⨯，

2 3.791θ=，102 4.76710r ≈⨯及

3 3.802θ=，103 4.77910r ≈⨯。

关键词 行星轨道 微分方程 Simpson 法 四阶龙格—库塔法 matlab

一． 问题重述

水星到太阳的最远距离为110.698210⨯m ，此时水星绕太阳运行的线速度为43.88610⨯ m ／s 。试求

问题一 水星到太阳的最近距离 问题二 水星绕太阳运行的周期

问题三 从远日点开始的第50天（地球天）结束时水星的位置并画出轨道曲线

二． 问题分析

求水星到太阳的最近距离以及水星绕太阳运行的周期等，需要先将水星轨道方程

求出，因此可以根据Newton 第二定律及万有引力定律222i mMG d Z

e m r dt

θ-=，建立微

分方程模型，将原问题转化为求解带有初值条件的微分方程问题，进而采用解析法或数值方法求解远日点和周期。

三． 模型假设

1．水星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆 2．从太阳指向水星的线段在单位时间内扫过的面积相等 3．水星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比为常量

四． 符号系统

1．0v 水星在远日点的线速度 2. M 太阳的质量 3. m 水星的质量 4. o r 水星在远日点的距离 5. T 周期

五． 建立模型与求解

模型一 水星的轨迹方程

设太阳中心所在的位置为复平面的原点O ，在时刻t ，水星位于 ()i Z t re θ=

所表示的点P 。这里(),()r r t t θθ==均为t 的函数，分别表示()Z t 的模和辐角。于是水星的速度为

()i i i dZ dr d dr d e ire e ir dt dt dt dt dt

θθθθθ=+=+，加速度为2222222(())(2)i d Z

d r d d dr d

e r i r dt

dt dt dt dt dt θθθθ⎡⎤

=-++⎢⎥⎣⎦

（）

，而太阳对行星的引力依万有引力定律，大小为

2mMG r ，方向由行星位置P 指向太阳的中心O,故为

2

i mMG e r θ

-，其中301.98910()M kg =⨯为太阳的质量，m 为水星的质量，11226.67210(/)G N m kg -=⨯⋅为

万有引力常数。

依Newton 定律，我们得到 222i mMG d Z

e m r dt

θ-= ，将（）代入，然后比较实部

与虚部，就有

222

22

220()d dr d r dt dt dt

d r d MG r dt dt r θθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 这是两个未知函数的二阶微分方程组。在确定某一行星轨道时，需要加上定解条件。假设当t=0时，行星正处于远日点，而远日点位于正实轴上，距原点O 为0r ，行星的速度为0v 。那么就有初值条件：

00

000

000

t t t t r r dr

dt v d dt r θθ====⎧=⎪

=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩

因此问题转化为求解带初值问题的微分方程组

22

2

22

2

00

000

020()00t t t t d dr d r dt dt dt d r d MG r dt dt r r r dr

dt v d dt r θθθθθ====⎧+=⎪⎪⎪-=-⎪⎪=⎪⎪⎨

=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪⎩

又将2220d dr d r dt dt dt θθ+=两边同乘以r ，即得2()0d d r dt dt θ=，从而21d r c dt

θ

=（）

,其中100c r v =，这样有向线段OP 在时间t ∆内扫过的面积等于

21122

t t

t

c t

d r dt dt θ

+∆∆=⎰

，

这个正是Kepler 的第二定律，从太阳指向水星的线段在单位时间内扫过的面积相等。

将（）代入2222()d r d MG r dt dt r θ-=-得221232c d r MG

dt r r

-=-，于是我们可以得到水星运

行的较为简单形式的数学模型：

2212321200

0000t t t c d r MG

dt r r c d dt r r r dr

dt

θθ===⎧-=-⎪⎪

⎪=⎪⎪

=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩

为了求得行星的轨迹方程，要消去变量t ，令1r u =

，那么12c d dt r

θ=可以改写为21d c u dt

θ

=从而

22

2211122

()dr d du d u d d u c c c u dt dt d d dt d θθθθ=-=-=-将上式代入

221232c d r MG dt r r -=-，化简后为221d u u d p θ+= ，其中21c p MG

=，引进1

u u p =-，立即可以求出01

cos()u u A p

θθ-==-，这里A 和0θ是待定的常数。记e Ap =，上式可以写为

01cos()

p

r e θθ=

--

这个就是水星的轨道方程，是一条平面二次曲线。由于水星绕太阳运行，故必有01e <<。由于r 在t=0时取道最大值0r （远日点），这个就意味着此时函数

0cos()θθ-取道最大值 1.于是就有 00

0,1p

e r θ==-

，从而轨迹方程为 1cos p

r e θ

=

-。对于水星而言，114000.69810(), 3.88610(/)r m v m s =⨯=⨯，又水星的

近日点到太阳的距离1cos 1m p p

r e e

π=

=-+。依据已知数据，可知

15

2

100 2.71310(/)c r v m s =≈⨯，2

101 5.54710()c p m MG =≈⨯，0

10.2055p e r =-≈，从而计算水星到太阳的最近距离为)(104.601610m r m ⨯≈ 模型二 水星的运行周期