(完整版)§10.2二重积分的计算法(二)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
o
A
（2）的特例
2π
( )
d f ( cos , sin ) d. 定限口诀
0
0
3. 极坐标系下区域的面积 d d.
D
8
9/17
观察练习 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原
点,试问 的变化范围是什么?
(1) y ( ) D
ox
(2) y ( )
D
o
x
答: (1) 0 π;
D
O
2a x
14
15/17
经验
一般来说，当积分区域为圆形、扇形、环 形区域，而被积函数中含有 x2 y2、 y、 x
xy
时，采用极坐标计算二重积分往往比较简单.
15
16/17
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
f ( cos , sin ) d d
D
d
2( ) f ( cos , sin ) d.
1 ( )
定限口诀仍适用
5
6/17
特别地
若区域特征如图
1( )
,
D
2( )
1( ) 2( ).
o
A
f ( cos , sin ) d d
D
d
2 ( ) f ( cos , sin ) d.
1 ( )
定限口诀
6
7/17
（2）极点O 恰在区域 D 的边界曲线之上时
区域特征如图
1 ( )
d
( ) 0
f ( cos , sin ) d.
2π
d
( )
f ( cos , sin ) d.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
16
[二重积分 计算步骤及注意事项]
• 画出积分域
• 选择坐标系 域边界应尽量多为坐标线 [直角坐标or极坐标] 被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少 • 确定积分序
12
13/17
例3 计算 (x2 y2 )dxdy ，其中 D 为由圆 x2 y2 2 y，
D
x2 y2 4 y 及直线 x 3y 0， y 3x 0所围成
的平面闭区域.
y
4
解 x2 y2 2 y 2sin
x2 y2 4 y 4sin
y 3x 0
2
π 3
d d
iDΒιβλιοθήκη i ioA
将典型小区域近似看作矩形（面积=长×宽）
则 面积元素 d d d
再作代换
x y
cos sin
扇形 径向 弧长 宽度
3
4/17
可得下式
则 f (x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d.
D
D
二重积分极坐标表达式
注意 极坐标系下的面积元素为
d
a e2 d
0
0
D
π(1 ea2 ).
注 1. 由于 ex2的原函数不是初等函数 ,故本题无法
用直角坐标计算.
11
12/17
注 2. 利用例2可得到一个在概率论与数理统计中、
以及工程上非常有用的反常积分公式
ex2 d x π
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例2的结果, 得
π
故①式成立 . 说明 该法比教材上的方法简捷.
累次积分好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 投影穿线法 )
不等式
充分利用奇偶对称性 • 计算要简便
应用几何意义
17/17 17
1/17
§10.2 二重积分的计算法（二） 一、利用极坐标计算二重积分 二、小结 思考题
1
2/17
一、利用极坐标系计算二重积分
1.极坐标系下二重积分表达式
首先分割区域 D 用
常数（一系列同心圆） 常数（一系列过极点的射线）
两组曲线将D分割成许多小区域
2
3/17
i i
i i
d d
,
( )
（1）的特例
D
0 ( ).
o
A
f ( cos , sin ) d d
D
( )
d 0 f ( cos , sin ) d.
定限口诀
7
8/17
（3）极点O 在区域D 的边界曲线之内时
区域特征如图
D
0 2π, 0 ( ).
( )
f ( cos , sin ) d d
2
x 3y 0
1
π 6
o
x
(x2 y2)d xd y
π
π3d
4sin 2 d 15 (2π
2 sin
8
3)
D
6
13
14/17
例4 （课本P148例6）
求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax (a 0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积 .
(2) π π
2
2
9
10/17
例1 写出积分 f (x, y)dxdy的极坐标二次积分形式，
D
其中D {(x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x cos
y
sin
x2 y2 1
所以圆方程为 1,
直线方程为
1
,
sin cos
x y1
解 由对称性 V 4V1 其中
V1 4a2 x2 y2dxdy
D
用极坐标表示
D
:
0
π 2
0 2a cos
D
V 4 4a2 2 d d
D
π
2a cos
4 2 d
4a2 2 d
0
0
32 a3
π
2 (1 sin3 )d
32 a3(π 2)
30
3 23
y
2a cos
f (x, y)dxdy
π
2 d
1
0
1
f ( cos , sin ) d.
D
sin cos
10
11/17
例2
计算 ex2y2dxdy ，其中 D 是由中心在原点，
D
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
y
D：0 a，0 2π.
o
x
ex2y2dxdy
2π
d d d
直角坐标系下的面积元素为
区别
d dxdy
4
5/17
2.二重积分化为二次积分的公式
（1）极点O在区域 D 的边界曲线之外时
区域特征如图
, 1( ) 2( ).
1( )
D o
2( )
A
f ( cos , sin ) d d
注
D
d
2 ( ) f ( cos , sin ) d.
o
A
（2）的特例
2π
( )
d f ( cos , sin ) d. 定限口诀
0
0
3. 极坐标系下区域的面积 d d.
D
8
9/17
观察练习 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原
点,试问 的变化范围是什么?
(1) y ( ) D
ox
(2) y ( )
D
o
x
答: (1) 0 π;
D
O
2a x
14
15/17
经验
一般来说，当积分区域为圆形、扇形、环 形区域，而被积函数中含有 x2 y2、 y、 x
xy
时，采用极坐标计算二重积分往往比较简单.
15
16/17
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
f ( cos , sin ) d d
D
d
2( ) f ( cos , sin ) d.
1 ( )
定限口诀仍适用
5
6/17
特别地
若区域特征如图
1( )
,
D
2( )
1( ) 2( ).
o
A
f ( cos , sin ) d d
D
d
2 ( ) f ( cos , sin ) d.
1 ( )
定限口诀
6
7/17
（2）极点O 恰在区域 D 的边界曲线之上时
区域特征如图
1 ( )
d
( ) 0
f ( cos , sin ) d.
2π
d
( )
f ( cos , sin ) d.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
16
[二重积分 计算步骤及注意事项]
• 画出积分域
• 选择坐标系 域边界应尽量多为坐标线 [直角坐标or极坐标] 被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少 • 确定积分序
12
13/17
例3 计算 (x2 y2 )dxdy ，其中 D 为由圆 x2 y2 2 y，
D
x2 y2 4 y 及直线 x 3y 0， y 3x 0所围成
的平面闭区域.
y
4
解 x2 y2 2 y 2sin
x2 y2 4 y 4sin
y 3x 0
2
π 3
d d
iDΒιβλιοθήκη i ioA
将典型小区域近似看作矩形（面积=长×宽）
则 面积元素 d d d
再作代换
x y
cos sin
扇形 径向 弧长 宽度
3
4/17
可得下式
则 f (x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d.
D
D
二重积分极坐标表达式
注意 极坐标系下的面积元素为
d
a e2 d
0
0
D
π(1 ea2 ).
注 1. 由于 ex2的原函数不是初等函数 ,故本题无法
用直角坐标计算.
11
12/17
注 2. 利用例2可得到一个在概率论与数理统计中、
以及工程上非常有用的反常积分公式
ex2 d x π
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例2的结果, 得
π
故①式成立 . 说明 该法比教材上的方法简捷.
累次积分好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 投影穿线法 )
不等式
充分利用奇偶对称性 • 计算要简便
应用几何意义
17/17 17
1/17
§10.2 二重积分的计算法（二） 一、利用极坐标计算二重积分 二、小结 思考题
1
2/17
一、利用极坐标系计算二重积分
1.极坐标系下二重积分表达式
首先分割区域 D 用
常数（一系列同心圆） 常数（一系列过极点的射线）
两组曲线将D分割成许多小区域
2
3/17
i i
i i
d d
,
( )
（1）的特例
D
0 ( ).
o
A
f ( cos , sin ) d d
D
( )
d 0 f ( cos , sin ) d.
定限口诀
7
8/17
（3）极点O 在区域D 的边界曲线之内时
区域特征如图
D
0 2π, 0 ( ).
( )
f ( cos , sin ) d d
2
x 3y 0
1
π 6
o
x
(x2 y2)d xd y
π
π3d
4sin 2 d 15 (2π
2 sin
8
3)
D
6
13
14/17
例4 （课本P148例6）
求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax (a 0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积 .
(2) π π
2
2
9
10/17
例1 写出积分 f (x, y)dxdy的极坐标二次积分形式，
D
其中D {(x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x cos
y
sin
x2 y2 1
所以圆方程为 1,
直线方程为
1
,
sin cos
x y1
解 由对称性 V 4V1 其中
V1 4a2 x2 y2dxdy
D
用极坐标表示
D
:
0
π 2
0 2a cos
D
V 4 4a2 2 d d
D
π
2a cos
4 2 d
4a2 2 d
0
0
32 a3
π
2 (1 sin3 )d
32 a3(π 2)
30
3 23
y
2a cos
f (x, y)dxdy
π
2 d
1
0
1
f ( cos , sin ) d.
D
sin cos
10
11/17
例2
计算 ex2y2dxdy ，其中 D 是由中心在原点，
D
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
y
D：0 a，0 2π.
o
x
ex2y2dxdy
2π
d d d
直角坐标系下的面积元素为
区别
d dxdy
4
5/17
2.二重积分化为二次积分的公式
（1）极点O在区域 D 的边界曲线之外时
区域特征如图
, 1( ) 2( ).
1( )
D o
2( )
A
f ( cos , sin ) d d
注
D
d
2 ( ) f ( cos , sin ) d.