第四章图形的相似(知识点)

一般三角形
直角三角形
基本定理 : 平行于三角形的一边且和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交的直线 , 所
截得的三角形与原三角形相似 .
①两角对应相等；
①一个锐角对应相等；
②两边对应成比例 , 且夹角相等；
②两条边对应成比例；
③三边对应成比例 .
a. 两直角边对应成比例；
b. 斜边和一直角边对应成比例 .
那么这样的两个图形叫做位似图形 , 这个点叫做位似中心 . 这时两个相似图形的相似比又叫做
它们的位似比 .
→位似图形的性质：
（1） 位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
（2） 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3） 位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）
.
→位似图形的画法：
③比与所选线段的长度单位无关 , 求出时两条线段的长度单位要一致 .
（2） 比例的基本性质 : 若 a
c
a
, 则 ad=bc ； 若 ad=bc, 则
c或 a
bd
bd c
※合比 性质 :如果 a
c
ab
，那么
c d；
bd
b
d
※等比性质：如果 a c
m（b d
n 0 ），那么 a c
bd
n
bd
注意： 若没有“ b+d+ +n ≠ 0 ”这个条件，需分类讨论 .
※2. 成比例线段及比例的性质：
（1） 成比例线段： 四条线段 a、 b、c、d 中 , 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 , 即 a b
么这四条线段 a、 b、 c、 d 叫做成比例线段 , 简称比例线段 .
c ,那 d
※注意点 :
①a:b=k, 说明 a 是 b 的 k 倍； ②由于线段 a、 b 的长度都是正数 , 所以 k 是正数；
点. AC： AB
5 1 0.618:1 ； BC 2
3 5 AB 2
1
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四．相似多边形
一般地 , 形状相同的图形称为相似图形 .
1. 概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形
. 相似多边形对应边的比
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第四章 图形的相似
一．成比例线段
1. 线段的比
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别是 m、 n, 那么就说这两条线
段的比 AB:CD=m:n , 或写成 A m . Bn
b d
m＝a nb
二. 平行线分线段成比例
※平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比例 .
AB 如图 1， l1 // l 2 // l 3 ，则 DE
BC
.
EF
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例
.
定理推论：
①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例
（3） 利用反射
，标杆与地面要垂
2
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运用方法 3：光线的入射角等于反射角 .
4. 相似三角形的性质
（1） 对应角相等、 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 . 相似三角形对应边的比叫做相似
比.
（2） 全等三角形是相似三角的特例 , 这时相似比等于 1. 注意 : 证两个相似三角形 , 与证两个
（1）画出基本图形；
（2）选取位似中心；
（3） 根据条件确定对应点，并描出对应点；
（4） 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形
.
例题： 如图，已知△ ABC和点 O.以 O为位似中心，求作△ ABC的位似图形，并把△ ABC的边
长扩大到原来的两倍 .
注意： 给出基本图形和位似中心， 可以做两个图形与原图形位似， 分别在位似中心同侧和异
全等三角形一样 , 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 .
（3） 性质：
①相似三角形对应角相等，对应边成比例；
②相似三角形对应高的比 , 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；
④相似三角形面积的比等于相似比的平方 .
※5. 图形的位似：
→位似图形的概念：
如果两个图形不仅相似， 而且每组对应点的连线交于一点 , 对应边互相平行或在一条直线上 ,
侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图
.
→位似变换与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为
k，那么位似图形对应
点的坐标的比等于 k 或 -k.
例如： 点 A(x,y) 的对应点为 A′，则A′点的坐标可以这样确定
xA′=xA× k，yA′=yA× k 即 A′（ kx,ky ）或 xA′=xA× (-k) ，yA′=yA×(-k) 即 A′（ -kx,-ky ）
（2） 轴对称 :
关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数
关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标
互为相反数
（3） 旋转 :
绕原点旋转 180 度（中心对称） ：横坐标、纵坐标都互为相反数
（4） 位似 :
以原点为位似中心，相似比为 k 的位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 -k.
4
例 题 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 四 边 形 ABCD 的 四 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为
A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),
画出它的一个以原点 O为位似中心 , 相似比为 1 的位似 2
3
图形 .
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.
②平行于三角形一边， 并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形的三
边对应成比例 .
三. 黄金分割
如图 , 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 AC AB
BC , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分
AC
割, 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 ,AC 与 AB 的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割
叫做相似比 .
2. 性质：相似多边形的对应角相等、 对应边成比例；周长等于相似比； 面积比等于相似比的
平方 .
（3） 判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似
. （ 两个条件缺一不可 ）
五．三角形的相似（ “∽”不需分类讨论， “相似”需分类讨论 ）
1. 探索三角形相似的条件
※相似三角形的判定方法 :
题：△ ABC三个顶点坐标分别为 A(2,3) ，B(2,1) ，C(6,2) ，以点 O为位似中心， 相似比为 2，
将△ ABC放大，点 A的对应点 A′的坐标为
总结： 至此，我们学过的图形变换有： 平移，轴对称，旋转，位似 .
（1） 平移：
上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移
左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移
2. 相似三角形的判定定理的证明
3. 利用相似三角形测高（ 3 种方法）
（1） 利用太阳光线平行
运用方法 1: 可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高
.
（2） 利用标杆
运用方法 2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”
直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度
.