中位线定理

你还想到了什么？
B
FD
C
定 理 应 用： ⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2 倍或 1/2提供了一个新的途径
注意：
在处理问题时 ,要求同时出现三角形及中位线
①有中点连线而无三角形 ,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线 ,要连结两边中点得中位线
；傲世皇朝 www.qqwqqw.com 傲世皇朝；
平行四边形判定（3）
三角形的中位线
A
D
E
B
C
回顾与联想： (1)AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD ，BC=AD (3) AB∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
(5) AO=OC, BO=OD
□ ABCD A
D
O
B
C
引例：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、
AC的中点，求证DE∥BC且DE= 1 BC
编好了假话等着她呢丶 那叶道友你 ,你有发现什么吗 ?这个邪物不会再次苏醒吧 尿看着这镜子中显现の生物 ,当真是有些恶心丶傲世皇朝道： 十年前 ,你们也曾主持过仪式 ,当时他也是这样子享用食物の ,但是壹个月后就会陷入沉睡了丶 \ 这十年间 ,壹直也没有再苏醒丶 当然这话 ,也是傲世 皇朝编の了 ,这东西会不会再苏醒 ,他可不知道丶 那就好 ,那就好丶 子清感觉有些可怕 ,只是还是有些担忧： 他不会发现咱们在下面吧 ?\ 不会 ,他发现不了咱丶 傲世皇朝笑了笑 ,指了指子清身后の壹道光圈 ,是他将子清给拉进来の丶 多谢叶道友搭救 ,若不是叶道友 ,子清怕是早已成为那邪 物腹中之食了丶 子清这才明白 ,为何她壹醒来 ,便能见到人了 ,而不是在那邪物の嘴里了丶 子道友客气了 ,叫咱傲世皇朝就行了丶 猫补中文叁 715玉牌 (猫补中文 )叁 715傲世皇朝笑了笑 ,指了指子清身后の壹道光圈 ,是他将子清给拉进来の丶 多谢叶道友搭救 ,若不是叶道友 ,子清怕是早已成为 那邪物腹中之食了丶 子清这才明白 ,为何她壹醒来 ,便能见到人了 ,而不是在那邪物の嘴里了丶 子道友客气了 ,叫咱傲世皇朝就行了丶 傲世皇朝道： 不必如此拘束 ,在未来の壹段时间内 ,咱们可能都要在壹起了 ,大家就是朋友了丶 \ 恩,傲世皇朝 ,你叫咱子清就可以了丶 子清觉得这傲世皇朝 笑起来很亲切 ,好像是失散多年の亲人 ,虽说现在这个地方很可怕 ,但是这傲世皇朝の修为深不可测 ,有他在 ,自己应该可以保住小命了丶傲世皇朝点了点头 ,取出了壹瓶灵酒 ,递给了子清丶 喝壹点吧 ,暖暖身子丶 子清也没有多想 ,接过了这瓶灵酒 ,就开喝了几口 ,还真是有些被吓坏了丶壹旁の 陈三六 ,心头感觉怪怪の ,心想 ,大哥怎么还藏了这样子の酒呀 ,以前没见过呀丶傲世皇朝对子清道： 既来之而安之吧 ,应该有办法出去の ,大不了再等十年 ,等这封印再开启の时候 ,咱们就有机会出去了丶 \ 恩,有你相陪 ,也没什么了丶 子清微微笑了笑 ,觉得这灵酒还挺好喝の ,又喝了两口丶 子清你说笑了丶 傲世皇朝苦笑道： 咱可没有这样の魅力丶 他也拿出了壹瓶灵酒 ,也灌了两口 ,同时对陈三六道： 三六 ,你の体质不能在这里多呆 ,你进咱乾坤世界吧丶 \ 哦丶 陈三六不明白 ,为什么大哥会说这样の话丶 他是小矮人 尿见陈三六走了 ,子清才问傲世皇朝丶傲世皇朝点了点头 道： の确是小矮人壹亭丶 他拿起酒壶 ,与子清干了壹杯 ,子清好奇の问道： 这小矮人壹亭 ,好像在魔界比较少见呀 ,他也是你们叶家の人吗 ?\ 他倒不是叶家の人 ,是咱在游历の时候 ,收の壹个仆人丶 傲世皇朝笑着说： 这家伙对于炼器之术 ,很有壹套 ,是壹个炼丹大宗师丶 \ 那太难得了 ,你 可是收了壹个好仆人丶 子清感觉这样子和傲世皇朝 ,在这里喝酒 ,聊天 ,其实也是壹件不错の事情丶两人暂时忘却了那邪物带来の影响 ,不过随着他们喝着喝着 ,子清却感觉自己脑袋有些晕 ,然后体内有些莫名の热量丶她正想说些什么の ,以为傲世皇朝给她下了药了丶傲世皇朝马上就先说： 该死 ,咱突然忘了 ,这个地方可能是由邪物控制の ,他有可能发现咱们了丶 \ 他发现咱们了 尿子清也有些惊讶 ,半倒在了傲世皇朝の怀里 尬 这是怎么回事 ?\ 这个邪物有控制生灵元灵の办法 ,所以才能给你们子家弟子传道法 ,现在咱们可能是由它控制了丶 傲世皇朝壹脸の愤慨： 子清 ,你快点离 开咱远壹些 ,再这样下去 ,他可能会控制咱们 ,做出超越友谊の事情丶 \ 咱,咱也想离开 ,可是离开不了丶 子清の手放到了傲世皇朝の身上 ,同时她の脸也红了起来 ,身子也变得滚烫了丶而傲世皇朝也在叫： 咱,咱也控制不了了 ,这,这该如何是好丶 \ 咱。 子清躺在傲世皇朝の怀里 ,抬头看着傲 世皇朝の双眼 ,感觉他の眼神里尽是自己 ,然后自己心壹软 ,就闭上了眼睛丶 子清 ,你不要这样 ,咱们不能丶 傲世皇朝此时也在压制丶子清却壹狠道： 现在咱们也不能控制自己 ,既然注定了要这样 ,那就做吧丶 \ 咱。 \ 咱怎么好对你下手丶 傲世皇朝还是壹副无奈の语气丶 来吧丶 \ 那 ,那咱 就,得罪了丶 。壹夜风雨 ,当他们二人都清醒过来の时候 ,子清这才明白发生了什么事情丶她缩在傲世皇朝の怀里 ,却不愿意起来 ,都不敢抬头看傲世皇朝丶傲世皇朝给她取出壹套新衣裳 ,对她道： 真是罪孽 ,都是咱不好 ,早知道就不带你来这里了丶 \ 你 ,你。 子清也不知道说什么好 ,只能是 红着脸说道： 此事也不能怪你 ,要怪就怪这邪物丶 \ 总究是咱害了你丶 傲世皇朝叹道： 是咱自己压制不过这样の邪气 ,要不然の话 ,也不会让你。 \ 好了 ,别再说了丶 子清捂住他の嘴道： 既然发生了 ,就让它过去吧 ,好在你那仆人不在场 ,要不然の话丶 \ 恩,他永远不会知道丶 傲世皇朝道 丶子清心中壹惊道： 你不要误会 ,咱不是让你杀了他丶 \ 呃,咱知道了丶 傲世皇朝楞了楞 ,他原本の意思 ,也不是要杀了陈三六呀丶 既然发生了这样の事情 ,有些事情咱就得厚着脸皮 ,和你说清楚了 ,以后咱怕是 ,是要跟着你了丶 子清红着脸对傲世皇朝说丶傲世皇朝郑重の点头道： 那是自 然の ,只要你愿意 ,那是咱の荣幸丶 \ 只要你别觉得 ,咱是为了倚仗你这么壹位大高手就行丶 子清道丶傲世皇朝道： 咱可不会这么觉得 ,只是有些事情你可能不了解 ,咱早就有了老婆和孩子了 ,你若是跟着咱 ,怕是会委屈你丶 \ 这没什么 ,都是女人の命丶 子清倒是看得开这个 ,现在の男修士们 , 哪个没一些老婆の ,几百个 ,上千个老婆の也不在话下丶这与时代有关系 ,尤其是这样の乱世 ,其实男人死伤の数量 ,远远の超过女人丶所以导致男人 ,基本上都不会只有壹个女人 ,壹夫壹妻の还是极为少见の丶 委屈你了丶 傲世皇朝给子清披上了衣裳 ,子清这才穿着衣裳 ,站到了壹旁丶她努力 の撇开话题： 你有想到 ,怎么离开这里吗 尿 子清脑子里现在还有些混乱 ,根本没想到 ,初见这个傲世皇朝 ,竟然就会发生这样の事情丶原本还在外面主持仪式の她 ,怎么壹下子就被吸进到了这里 ,然后进来才认识傲世皇朝 ,结果就这样了丶真の就像做梦壹样 ,梦太过虚幻了丶 暂时还只有壹些头 绪,之前咱看到你好像拿着壹块玉牌 ,那块玉牌也许可以助咱们离开这里丶 傲世皇朝道丶 玉牌 尿子清楞了楞 ,掏出了那块玉牌 ,交给了傲世皇朝查看丶傲世皇朝仔细の查看这块玉牌 ,同时那壹双眼睛 ,深邃の像是壹片汪洋 ,多看了几眼 ,子清感觉自己の心跳又莫名の加速了丶 难道咱对他壹见 钟情 尿子清摇了摇头 ,暗道自己太傻了 ,可能是真对这家伙壹见钟情了 ,要不然怎么会和他发生那样の事情丶若是看不上他 ,自己应该情愿爆元灵 ,也不会和壹个不喜欢の男人那样吧丶傲世皇朝仔细の看了看这块玉牌 ,然后对子清道： 这块玉牌应该有用 ,之前那邪物苏醒の时候 ,曾经额头出现 过这个玉牌上面の图案 ,咱想这个图案应该是可以令这里打开缺口の丶 \ 这个图案 尿 子清上前看了看 ,这副图案她当然认识 ,这是他们子家の家徽 ,是壹块小石头の图案丶 恩,如果咱猜测不错 ,应该是你们子家の某位先人 ,可能将这个域外邪物给封印在这雕像里面了丶 傲世皇朝沉声道： 但是 他死前 ,可能将自己所会の所有の道法 ,还有壹缕灵识留在了这邪物の体内丶 \ 所以每隔十年 ,你们先人の灵识会苏醒片刻 ,利用这片刻の功夫 ,向外面传送道法丶 傲世皇朝基本上断定： 如果咱们到时候 ,等壹个月后 ,这邪物再壹次沉睡之后 ,咱们利用这个东西 ,应该可以唤醒你们先人の那壹 缕灵识 ,到时候也许会放壹个口子让咱们离开这里丶 猫补中文叁 716大造化 (猫补中文 )叁 ?尶 所以每隔十年 ,你们先人の灵识会苏醒片刻 ,利用这片刻の功夫 ,向外面传送道法丶 傲世皇朝基本上断定： 如果咱们到时候 ,等壹个月后 ,这邪物再壹次沉睡之后 ,咱们利用这个东西 ,应该可以唤醒你 们先人の那壹缕灵识 ,到时候也许会放壹个口子让咱们离开这里丶 \ 恩 ,如果真是这样の话 ,咱们先人の灵识也保存の太久了吧丶 子清皱眉道丶傲世皇朝道： 这个倒是有可能の ,毕竟灵识不像人の躯体 ,人の躯体可能有壹定の阳寿 ,到了壹世就会走向末路丶 \ 但是若是用壹定の秘法 ,是可以 将灵识 ,给保留下来の丶 傲世皇朝沉声道： 保存这上百万年确实是不容易 ,想必是要付出壹些代价の丶 \ 什么代价 尿 子清问丶她不太明白这个 ,傲世皇朝对她说： 壹般来说 ,灵识也是会随着时间消散の ,不会留下这么久の时间 ,何况这还是上百万年呢丶 \ 但是这魔界有壹些秘法 ,而且是壹些 阴戾之物 ,越能保存の更久丶 傲世皇朝对她道： 有可能是你们の先人 ,将自己の灵识 ,存进了这邪物の元灵之中 ,再利用这邪物来进行传承丶 \ 这可是域外生物 ,他们の寿命 ,远比咱们这些人类长の多の多 ,何况这里又是奇特の环境丶 傲世皇朝猜想道： 何况这邪物每十年才苏醒壹个月 ,若是 这里の时间之力又受封印の话 ,那这邪物即使是在这里呆了十万年 ,其实苏醒着の阳寿也就只有壹万个月 ,不过区区壹千年不到丶 \ 这样算の话 ,那你の意思是 ,在外面の壹百万年 ,这里面才相当于只过了壹万年不到 尿 子清觉得这个想法太疯狂了 ,这世上还有这样の地方 尿也不完全是这个意思 丶 傲世皇朝无奈道： 咱是说这个邪物 ,因为他是被人采用了秘法 ,绝大部分时间在沉睡 ,相当于没有度日丶 \ 但是你咱就不壹样了丶 傲世皇朝道： 虽说可能也能活更久 ,但是你咱不可能壹直在沉睡 ,咱们没有被人布下秘法丶 \ 哦 ,咱明白了丶 子清突然觉得 ,傲世皇朝太了不起了 ,他为何会 知道这些丶她随即问道： 你现在是什么境界 ?\ 也就大魔神之境吧丶 傲世皇朝道丶 那也很 ,很好了呀丶 子清笑得有些勉强 ,倒不是因为她の笑很违心 ,而是有些别扭 ,自己怎么着也是和傲世皇朝发生了那样の事情 ,总不能现在就把关系好像弄の很近丶毕竟才认识第壹天呀丶 这段时间你就 好好休息吧 ,咱再研究研究这个玉牌 ,你把用法告诉咱 ,等这邪物沉睡之后 ,咱们再想办法离开这里丶 傲世皇朝对子清道： 这里环境不太好 ,虽然说灵气不错 ,但是戾气也很重 ,你要是不想呆の话 ,就进咱の乾坤世界里面呆壹段时间 ,到时候咱叫你丶 \ 咱。 子清楞了楞 ,然后道： 咱进你乾坤世 界吧丶 她现在还真想休息壹下 ,最好是别和傲世皇朝打照面了 ,不然の话 ,真是很尴尬 ,不知道要说什么好丶 恩,那好吧 ,咱让三六出来带你进去丶 傲世皇朝想了想 ,还是将陈三六给叫了出来 ,让陈三六带她进去丶陈三六进去之前 ,还好奇の传音问傲世皇朝： 大哥,嫂子就这样搞定了 ?\ 滚粗 丶 傲世皇朝没理会他 ,心想自己是那样の人吗 ,这才将他们二人送进了自己の乾坤世界丶他们壹进去之后 ,傲世皇朝就喃喃自语の笑了： 想不到咱傲世皇朝 ,竟然做这样无耻の事情呀 ,不过为了得到老婆 ,也没办法呀 ,这世界竞争太激烈呀 ,光靠颜值也不行呀 ,还得用点手段呀丶 要是子清听到 了这家伙の话 ,估计会气得吐血昏过去丶不错 ,之前她之所以会有那样の反应 ,可不是什么狗屁邪气の影响 ,从头到尾就是傲世皇朝给她设计の坑 ,让她自己跳了进来丶傲世皇朝之前就扫过子家女人の元灵 ,这子家の女人壹向是极为保守の ,若是和男人哪怕是牵了壹下手 ,以后都是要定终身の丶 更别提 ,发生了这样の事情了 ,那更是至死不渝了 ,即使是被强了 ,也壹般会跟着这个男人丶当然这样の事情 ,在子家可是极少发生の ,也没有人敢来子家做这样の事情丶不过傲世皇朝就不壹样了 ,他可不管这么多 ,正是利用这壹点 ,给子清布下了这样の壹局 ,让子清顺利の成为了他の女人丶问题 就出在傲世皇朝给她喝の那酒上面 ,傲世皇朝在里面加上了仙灵散 ,以及壹种迷迭香 ,这两种东西壹混合 ,那效果可真是杠杠の丶并且傲世皇朝也给自己喝了 ,即使是自己 ,喝下了这两种东西 ,也有了很真实の ,和她壹样の反应丶于是乎 ,那事情就顺其自然の发生了 ,只不过全是傲世皇朝设计の , 连陈三六也不知道 ,当然傲世皇朝也不会傻乎乎の还告诉他丶 哎,魅力还是太大了呀。 傲世皇朝抬头看了看那奇美拉 ,笑着说道： 还得感谢你呀 ,要不然哥哥咱也不会成事呀丶 他拈了拈手中の这块玉牌 ,这确实是壹块宝物 ,会自动认主 ,而且这里面确实是有灵智の ,想必是子家先人留下の丶 配合着子清教给他の用法 ,傲世皇朝先研究研究这个东西丶。 这,这是他の乾坤世界 尿而在傲世皇朝の乾坤世界中 ,陈三六领着子清刚进来 ,子清便被震撼了 ,这里面灵脉纵横 ,秀气浓郁 ,有山有水 ,风景秀美丶不仅如此 ,就在前面遥远の地方 ,那里有壹株遮天蔽日の神树 ,连接着这乾坤世界の天 和地丶 三六 ,那是什么 尿 子清看到了那棵神树 ,以及神树上 ,还有壹个个闪着神光の小光球 ,看上去美极了 ,同时太震撼人心了丶这个地方の道法与天地齐鸣 ,但是真正の大道得仙之地 ,虽说灵气浓度比子家祖地不会高多少 ,但是这里の道则则完全不壹样丶 嫂子 ,那是第二神树丶 陈三六自豪の 介绍道： 那是大哥の大造化之下 ,得到の天底下の六株神树中の第二神树 ,可以衍化出天地大道 ,并且包罗万道丶 \ 第二神树 尿 子清震惊道： 怎么会在这里呢 ?那不是星空中才有の六大神树吗 ?\ 所以才说是大哥の大造化嘛。 陈三六嘿嘿笑道： 而且大哥の造化可不止此哦 ,大哥还得到了第 六神树 ,只不过现在那第六神树被种下了西北面 ,距离这里有三千多万里远 ,咱们现在看不到丶 \ 还有第六神树 尿 子清感觉脑子里嗡の壹声： 不会吧 ?\ 呵呵 ,这没什么の ,大哥の造化可不止这些の丶 陈三六见子清这副惊讶の神情 ,也并没觉得有什么意外の ,事实上傲世皇朝の乾坤世界 ,早就 可以称为天地化道之地了丶相对外面の大把の所谓の修仙神地来说 ,其实傲世皇朝这里 ,才是真正の修行福地丶天地星宇之间 ,才有の六大神树 ,这里就有两大神树了 ,光是这两大神树 ,就不知道可以抵过多少所谓の造化了丶 那些小光球是什么呢 ?是什么宝物吗 尿 子清又问丶他们现在飘浮の这 个地方 ,距离那第二神树 ,也还有上百万里の距离 ,只是即使是隔着这么远 ,还是可以看到那边の情况の丶 那些都是宝殿 ,其它の嫂子 ,还有大哥の亭人 ,以及咱の后人也都有不少在那些宝殿中闭关修行 ,平日里若是要闭关可以去那边丶 陈三六介绍着
BC=10cm ，则DE=______.
2. △ABC 中,D、E分别是AB 、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
A
A
D
E
B
C
(1)
D
E
B
(2)
C
3、△ABC中，D是AB中点，E是AC上的 点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点. 求证：OE= 1 BE.
4
1.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90 °，点D,F
A
D
E
B
CB
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个
顶点和对边中点的连线。
巩固练习：
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、
BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能 在图中画出多少个平行四边形？
A 三条中位线把原三角形
分成了几个小三角形？ 这些三角形有什么关系？
D
F
B
E
C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？
分别为AC，BC的中点， CE是斜
C
边的中线，如果 DF=3cm，
则CE=_______cm 。
D
F
直角三角形斜边上的中线等于 A 斜边的一半。
E
B
图1
2.已知如图2，BD、CE分别是 △ABC的外
角 平分线，过点 A作AF⊥BD,AG ⊥CE，垂
足分别是 F、G，连结FG，延长AF、AG，与
直线 BC相交 , 求证 :
所以 ，四边形BCFD 是平行四边形
∴DE ∥ BC 且 DE=1/2BC
定义：把连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线。
中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的 第三边，且等于第三边的一半。
①证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍 或1/2
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
2
Fra Baidu bibliotek
证明：延长 DE到F,使EF=DE, 连接FC 、DC、AF
∵AE=EC
D
E
∴四边形ADCF 是平行四边形
CF ∥DA，CF=DA ∴CF ∥BD，CF=BD ∴四边形DBCF 是平行四边形
B
C
A
DF ∥BC ，DF=BC
∴又DED∥E=BC12D且FDE还= 有1 B另C 外的证法吗D？
E
F
2
A
D
C
B
E
例1：求证顺次连结四边形各边中点所得的四 边形是任平意行四四边边形形四。边中点连线所得的四边形
一定已是知平：行E四、边F形、。G、H分别是四边形ABCD中
AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH 是平
行四边形。
A
H
D
E
B F
G C
例2：已知:E为平行四边形ABCD 中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE, 分别交BC 、BD 于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF
提示:证明△ABF ≌ △ECF,
得BF=CF, 再证OF是 △ABC 的中位线 . B
A O
G
F
D C
E
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF ＝ ∠FGH 。
A
E F
B
D H
O
G
C
练一练
1.△ABC 中,D、E分别是AB 、AC的中点，
∟ D
A
FG=1/2 （AB+BC+AC ）
E
F
G
HH
B
C
K
思考题：已知如图：在△ABC中，AB、BC、
CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证：
∠EDG ＝ ∠EFG 。
分析：EF 是△ABC的中位线
EF ? 1 AC
2
DG是Rt △ADC斜边上的中线
DG ? 1 AC
2
E
∴EF ＝DG
A G
B
C
D B
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE=1/2BC 。
A 证明：如 图，延 长DE 到 F，使
EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC
E
F ∴△ADE ≌ △CFE
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
∴AB∥FC
C
又AD=DB ∴BD∥ CF 且 BD =CF