数学建模初等模型

21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
7
“公平”分配方 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1 则
2
| BP |2 a 2 | AP |2 即：
2 2 2 2
x ( y b) a [ x ( y - b) ]
可化为：
X
2 2 a 1 4 a b 2 x y 2 b 2 2 a 1 ( a 1 ) 2 2
10
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
rA, rB的定义
2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1)
定义 Qi
2 pi
Fra Baidu bibliotek
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
25
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个 方程组： g 1 kt1 g h k ( t1 k e ) k 2 这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， h 340 t 2 为了估算崖高 t t 3.9 竟要去解一个 1 2 非线性主程组 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 似乎不合情理 用方法二先求一次 h，令t =h/340，校正 t，求石
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假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 Fm
2
d d1 d 2
d1 t1v
且F与车的质量m成正比
d 2 kv
2.2 公平的席位分配
2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 崖高的估算
3
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
4
Y 航母 A(0,b) θ1 θ2 O B(0,-b) 护卫舰
1 h gt 2 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
23
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： dv
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
9
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙 室 内 T1 室 外 T2
2d
热传导定律
T Qk d
Q2
墙
13
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
k2~空气的热传导系数
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
模型
d t1v kv2 0.75v 0.06v 2
车速 (英里/小时) 20 刹车时间 （秒） 1.5
30
40 50 60
1.8
2.1 2.5 3.0
70
80
3.6
4.3
车速（英里/小时）
“2秒准则”应修正为 “t 秒准 则”
0~10 10~40
40~60
60~80
t（秒）
1
2
3
4
21
§2.5 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。
22
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
40
50 60 70 80
58.7
73.3 88.0 102.7 117.3
116（124）
173（186） 248（268） 343（372） 464（506）
126.2
187.8 261.4 347.1 444.8
2.1
2.5 3.0 3.6 4.3
20
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
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常识：刹车距离与车速有关
问 题 分 析
10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶 29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则 不同 反 司机 制动系统 反应时间 应 状况 灵活性 距 车速 离 常数
刹 车 距 离
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 动 最大制动力与车质量成正比， 常数 距 离 使汽车作匀减速运动。
2
§2.2 公平的席位分配
P2 个，现在要 设有A、B两个单位，各有人数 P1 、 求按人数选出 Q 个代表召开一次代表会议。那么 怎样分配这 Q 个席位呢？一般的方法是令：
* q1
p1 q p1 p2
* q2
p2 q p1 p2
若 q1, q2 恰好是两个整数，就以 q1, q2 分别作为A， B两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的 q , q 分配方案。当 1 2 不是两个整数时，那么怎样 分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
公平吗？
12
2.3
双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 假 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 材料均匀，热传导系数为常数 热量传播只有传导，没有对流
室 内 T1
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
11
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比，可 减少97%的热量损失。
结果分析
2
4
6
h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。
双层窗的功效不会如此之大
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初等模型
中国地质大学数学建模基地
初等模型
如果研究对象的机理比较简单，一般用静 态、线性、确定性模型描述就能达到建模 的目的时，我们基本上可以用初等数学的 方法来构造和求解模型。通过下面的几个 实例我们能够看到，用很简单的数学方法 就可以解决一些有趣的实际问题。
2
第二章
2.1 舰艇的会合
初等模型
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
8
“公平”分配方 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
2.4
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背 景 与 问 题
• 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。
• 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：
• 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一 样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
Q1 Q2
l d
15
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32 对Q1比Q2的减少量 Q1 1 , h 作最保守的估计，
取k1/k2 =16
Q2
8h 1
模型应用
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
Q1/Q2 0.06 0.03 0.02 0
2
d t1v kv
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模 型 d t1v kv
参数估计
2
• 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒
• 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
实际刹车距离 （英尺） 42（44） 73.5（78） 计算刹车距离 （英尺） 39.0 76.6 刹车时间 （秒） 1.5 1.8
车速 (英里/小时) (英尺/秒) 20 30 29.3 44.0
a2 1 2ab 令： h 2 b, r 2 a 1 a 1
则上式可简记成 ：
x ( y - h) r
2 2
y
y (tan 2 ) x b
汇合点 p必位于此圆上。 即可求出 P点的坐标和 θ2 的值。 (tan 1 ) x b（护卫舰的路线方程） 本模型虽简单，但分析 极清晰且易于实际应用 （航母的路线方程 ） 5
6
公平的席位分配
问 题
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
F m
令k=K/m，解得
v ce
dt
mg Kv
kt
g k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
g g kt v e k k g g kt 再积分一次，得： h t 2 e c k k
24
代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
g g kt g g 1 kt g h t 2 e 2 (t e ) 2 k k k k k k
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
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建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Q1 2 k1 l , sh , h Q2 s 2 k2 d
1032 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4 1032 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 1112
Q值方法 分配结果
Q1最大，第20席给甲系 Q3最大，第 21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4席
进一步深入考虑
①
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 多测几次，取平均 值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 反应时间 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 再一步深入考虑