数学建模初等模型

1032 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 1011 67 3 4 1032 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 1112
Q值方法 分配结果
Q1最大，第20席给甲系 Q3最大，第 21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4席
进一步深入考虑
①
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 多测几次，取平均 值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 反应时间 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 再一步深入考虑
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
11
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
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常识：刹车距离与车速有关
问 题 分 析
10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶 29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则 不同 反 司机 制动系统 反应时间 应 状况 灵活性 距 车速 离 常数
刹 车 距 离
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 动 最大制动力与车质量成正比， 常数 距 离 使汽车作匀减速运动。
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1 则
2
| BP |2 a 2 | AP |2 即：
2 2 2 2
x ( y b) a [ x ( y - b) ]
可化为：
X
2 2 a 1 4 a b 2 x y 2 b 2 2 a 1 ( a 1 ) 2 2
a2 1 2ab 令： h 2 b, r 2 a 1 a 1
则上式可简记成 ：
x ( y - h) r
2 2
y
y (tan 2 ) x b
汇合点 p必位于此圆上。 即可求出 P点的坐标和 θ2 的值。 (tan 1 ) x b（护卫舰的路线方程） 本模型虽简单，但分析 极清晰且易于实际应用 （航母的路线方程 ） 5
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
8
“公平”分配方 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
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当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
rA, rB的定义
2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1)
定义 Qi
2 pi
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
2.2 公平的席位分配
2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 崖高的估算
3
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
4
Y 航母 A(0,b) θ1 θ2 O B(0,-b) 护卫舰
6
公平的席位分配
问 题
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙 室 内 T1 室 外 T2
2d
热传导定律
T Qk d
Q2
墙
13
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度
Tb~外层玻璃的内侧温度
k1~玻璃的热传导系数
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
k2~空气的热传导系数
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
7
“公平”分配方 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
2
d t1v kv
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模 型 d t1v kv
参数估计
2
• 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒
• 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
实际刹车距离 （英尺） 42（44） 73.5（78） 计算刹车距离 （英尺） 39.0 76.6 刹车时间 （秒） 1.5 1.8
车速 (英里/小时) (英尺/秒) 20 30 29.3 44.0
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
F m
令k=K/m，解得
v ce
dt
mg Kv
kt
g k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
g g kt v e k k g g kt 再积分一次，得： h t 2 e c k k
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代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
g g kt g g 1 kt g h t 2 e 2 (t e ) 2 k k k k k k
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
9
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 Fm
2
d d1 d 2
d1 t1v
且F与车的质量m成正比
d 2 kv
公平吗？
12
2.3
双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 假 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 材料均匀，热传导系数为常数 热量传播只有传导，没有对流
室 内 T1
2.4
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背 景 与 问 题
• 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。
• 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：
• 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一 样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
模型
d t1v kv2 0.75v 0.06v 2
车速 (英里/小时) 20 刹车时间 （秒） 1.5
30
40 50 60
1.8
2.1 2.5 3.0
70
80
3.6
4.3
车速（英里/小时）
“2秒准则”应修正为 “t 秒准 则”
0~10 10~40
40~60
60~80
t（秒）
1
2
3
4
Q1 Q2
l d
15
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32 对Q1比Q2的减少量 Q1 1 , h 作最保守的估计，
取k1/k2 =16
Q2
8h 1
模型应用
Q1 1 l , h Q2 8h 1 d
Q1/Q2 0.06 0.03 0.02 0
21
§2.5 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。
22
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
1 h gt 2 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
23
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： dv
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比，可 减少97%的热量损失。
结果分析
2
4
6
h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。
双层窗的功效不会如此之大
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T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
14
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Q1 2 k1 l , sh , h Q2 s 2 k2 d
初等模型
中国地质大学数学建模基地
初等模型
如果研究对象的机理比较简单，一般用静 态、线性、确定性模型描述就能达到建模 的目的时，我们基本上可以用初等数学的 方法来构造和求解模型。通过下面的几个 实例我们能够看到，用很简单的数学方法 就可以解决一些有趣的实际问题。
2
第二章
2.1 舰艇的会合
初等模型
2
§2.2 公平的席位分配
P2 个，现在要 设有A、B两个单位，各有人数 P1 、 求按人数选出 Q 个代表召开一次代表会议。那么 怎样分配这 Q 个席位呢？一般的方法是令：
* q1
p1 q p1 p2
* q2
p2 q p1 p2
若 q1, q2 恰好是两个整数，就以 q1, q2 分别作为A， B两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的 q , q 分配方案。当 1 2 不是两个整数时，那么怎样 分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
25
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个 方程组： g 1 kt1 g h k ( t1 k e ) k 2 这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， h 340 t 2 为了估算崖高 t t 3.9 竟要去解一个 1 2 非线性主程组 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 似乎不合情理 用方法二先求一次 h，令t =h/340，校正 t，求石
40
50 60 70 80
58.7
73.3 88.0 102.7 117.3
116（124）
173（186） 248（268） 343（372） 464（506）
126.2
187.8 261.4 347.1 444.8
2.1
2.5 3.0 3.6 4.3
20
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间