2017年绵阳一诊答案文科数学答案

绵阳市高2015级第一次诊断性考试
数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
DCADC BCBAB AB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3
14．)21()23(∞+--∞，，Y 15．320 16．(21，2
3) 三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解 ：（Ⅰ）由图得，2=A ． (1)
分
4
3125343πππ=+=T ，解得π=T ， 于是由T =πω
π=2，得2=ω．…………………………………………………3分 ∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππ
f ，即1)3
2sin(=+ϕπ， ∴ 2232ππϕπ+=+k ，k ∈Z ，即6
2ππϕ-=k ，k ∈Z ， 又)22(ππϕ，-
∈，所以6πϕ-=，即)62sin(2)(π
-=x x f ． …………………6分 (Ⅱ) 由已知56)62sin(2=-πα，即5
3)62sin(=-πα， 因为)30(πα，∈，所以)2
6(62πππα，-∈-， ∴ 5
4)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． …………………………………8分 ∴]6)62sin[(2sin ππαα+-=6
sin )62cos(6cos )62sin(π
παππα-+-= =2
1542353⨯+⨯ 10334+=． ………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，
由S 3=15有3a 1+d 2
23⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分 又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，
∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简3d =2a 1，② ………………4分 联立①②解得a 1=3，d =2，
∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分
∴ )3
21121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ， ∴ )
32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n n n n n T n Λ． ……………………………………………………7分
(Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即122)
32(3+<+n n tn ， ∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<n
n n n n n n n t ，………………9分 又n
n 9+≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++n
n ≥162， ……………………………………………………11分
∴ 162<t ．……………………………………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理
BAD BD B AD ∠=∠sin sin ， 得21sin sin =∠⨯=
∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分
∴ 66326
πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，， ∴ 6
56πππ=-
=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =6
π，故AB =BD =2． 在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即)23(32212522-
⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分
整理得CD 2
+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分
∴ BC =BD +CD =4+2=6．
∴ S △A B C =332
36221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ． ……………………12分 20．解：（Ⅰ）)1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f ， ……………………………1分
由0)(>'x f 解得3
1>
x 或1-<x ；由0)(<'x f 解得311<<-x ， 又]21[，-∈x ，于是)(x f 在]311[，-上单调递减，在]23
1[，上单调递增． …………………………………………………………………3分
∵ a f a f a f +-=+=+=-27
5)31(10)2(1)1(，，， ∴ )(x f 最大值是10+a ，最小值是a +-27
5．………………………………5分 (Ⅱ) 设切点)41()(23，，，P a x x x x Q +-+， 则1
4123)(232
--+-+=-+='=x a x x x x x x f k PQ ， 整理得0522223=-+--a x x x ， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解． 令a x x x x -+--=5222)(23μ，
∴ )1)(13(2246)(2-+=--='x x x x x μ，
由0)(>'x μ解得1>x 或3
1-
<x ，由0)(<'x μ解得131<<-x ， 即函数)(x μ在)31(--∞，，)1(∞+，上单调递增，在)13
1(，-上单调递减． ……………………………………………………………………10分
要使得0)(=x μ有3个根，则0)3
1(>-μ，且0)1(<μ， 解得27
1453<<a ， 即a 的取值范围为)27
1453(，． ………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）x
x ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． …1分
① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减； (3)
分
② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>
，由0)(<'x f 解得a
x 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a
上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a
． ……………………5分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a
上单调递增， 则121ln )1()(min --==a
a a f x f ． …………………………………………6分
要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11-a
≥0， 即证a ln ≥a
11-．………………………………………………………………8分 构造函数11ln )(-+=a a a μ，则22111)(a
a a a a -=-='μ， 由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ， 即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增；
∴ 011
11ln )1()(min =-+==μμa ， 即11ln -+a
a ≥0成立． 从而)(x f ≥a
23-成立．………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，
即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分
∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 （Ⅱ）把6π
θ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，
∴ )6
334(π
，+A ． ……………………………………………………………6分 把3π
θ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，
∴ )3
343(π
，+B ． ……………………………………………………………8分
∴ S △A O B AOB ∠=sin 2
121ρρ )6
3sin()343)(334(21ππ-++= 4
32512+=． ……………………………………………………10分
23．解：（Ⅰ）当x ≤2
3-时，f (x )=-2-4x ， 由f (x )≥6解得x ≤-2，综合得x ≤-2，………………………………………2分当2
123<<-x 时，f (x )=4，显然f (x )≥6不成立，……………………………3分当x ≥2
1时，f (x )=4x +2，由f (x )≥6解得x ≥1，综合得x ≥1，……………4分
所以f (x )≥6的解集是)1[]2(∞+--∞，，Y ．…………………………………5分 （Ⅱ）)(x f =|2x -1|+|2x +3|≥4)32()12(=+--x x ，
即)(x f 的最小值m =4． ………………………………………………………7分
∵ b a 2⋅≤2)22(
b a +， …………………………………………………………8分
由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)2
2(
b a +， 解得b a 2+≥252-，
∴ b a 2+的最小值为252-．………………………………………………10分。