1.14 相似三角形的性质和判定 课件(湘教版九年级上)
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α α α
A E G
H
D
B
F
C
正方形中的K形图
如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有6个 大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形 边上的小正方形的顶点，则这6个小正方形的面积 和为____________.（实验班四校联考题）
H
函数图像中的K形图
2 如图，已知点A（1,2）是函数 y x ( x＞0) 的图象 -6 的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y x ( x＞0)
移动，保持OA⊥OB 不
x 变，OA︰OB的值变吗？
B
o
D
函数图像中的K形图
2 如图，已知点A（1,2）是函数 y x ( x＞0) 的图象 -6 的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y x ( x＞0)
交于点B.
y
（2）若点A在双曲线上
移动，保持OA⊥OB 不
A C
变，OA︰OB的值变吗？
点E为BC上任意一点， 若 ∠B= ∠C= ∠AEF= α, 结论还成立吗？
组卷网
F
B
E
C
A F α α α
B
E
C
“K形图”的相似规 律
如果顶点共线的三个角相等，那么所形成 的两个三角形相似。
A F
几何语言： ∵∠1=∠2=∠3
∴△ BDF∽△CED
C
α B
α E
α
梯形中的K形图
例1.如图在梯形ABCD中AD∥BC,AB=DC=AD=3, ∠C=60。,点E、F分别在边AD、DC上（点E与点A、 D不重合）的动点，且∠BEF=120°。
交于点B. （1）求点B的坐标；
y
C A（1,2）
（2）求OA︰OB的值；
o
D B
x
函数图像中的K形图
2 如图，已知点A（1,2）是函数 y x ( x＞0) 的图象 -6 的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y x ( x＞0)
交于点B. （1）求点B的坐标；
y
A C
（2）求OA︰OB的值； （3）若点A在双曲线上
设AE=x,DF=y，求y关于x的函数解析式，并写 出自变量x的取值范围。
学科网
A
x E
120°
120°
120° y
D
FΒιβλιοθήκη Baidu
B
600 C
矩形中的K形图
例2.如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案， 它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边 AB、BC、CD、DA上。 若AB=4，BC=6，求DG的长．
x
B
o
D
A A F
变 中 不 变
①
B E
F
②
C
B
α
①
α ②
E
α
C
D A F
D A F
B
α
①
α
E
②
α
B C
α
①
α
E
②
α
C
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一 个含有30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上， E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE 始终与AB垂直。
（1）设AD=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式，并写 出函数x的取值范围；
（2）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长。
C
A
B
如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于C， ∠DME=∠A=∠B,且DM交AC于F，ME交BC于G。 （1）找出图中所有的相似三角形；
α =45° （2）连接FG，若AB=4 2，AF=3， 求BG， FG的长 ． 想一想 连接FG,图中还有相似吗？
王金红
旋转
翻 折
E
D
旋转
A
B
C
A形图
zxxk
X形图
K形图
形状：K
特点： 顶点共线的三个直角！
观察思考
1.给你一张矩形纸片，你能折出K形图吗？ 2. △ABE与△ECF有什么关系？
A D
2
F C
△ABE∽ △ECF
1
B E
3
如果顶点共线的三个角相等，那么所形成 的两个三角形相似。
推理论证
A
△ABE∽ △ECF
A E G
H
D
B
F
C
正方形中的K形图
如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有6个 大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形 边上的小正方形的顶点，则这6个小正方形的面积 和为____________.（实验班四校联考题）
H
函数图像中的K形图
2 如图，已知点A（1,2）是函数 y x ( x＞0) 的图象 -6 的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y x ( x＞0)
移动，保持OA⊥OB 不
x 变，OA︰OB的值变吗？
B
o
D
函数图像中的K形图
2 如图，已知点A（1,2）是函数 y x ( x＞0) 的图象 -6 的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y x ( x＞0)
交于点B.
y
（2）若点A在双曲线上
移动，保持OA⊥OB 不
A C
变，OA︰OB的值变吗？
点E为BC上任意一点， 若 ∠B= ∠C= ∠AEF= α, 结论还成立吗？
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F
B
E
C
A F α α α
B
E
C
“K形图”的相似规 律
如果顶点共线的三个角相等，那么所形成 的两个三角形相似。
A F
几何语言： ∵∠1=∠2=∠3
∴△ BDF∽△CED
C
α B
α E
α
梯形中的K形图
例1.如图在梯形ABCD中AD∥BC,AB=DC=AD=3, ∠C=60。,点E、F分别在边AD、DC上（点E与点A、 D不重合）的动点，且∠BEF=120°。
交于点B. （1）求点B的坐标；
y
C A（1,2）
（2）求OA︰OB的值；
o
D B
x
函数图像中的K形图
2 如图，已知点A（1,2）是函数 y x ( x＞0) 的图象 -6 的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y x ( x＞0)
交于点B. （1）求点B的坐标；
y
A C
（2）求OA︰OB的值； （3）若点A在双曲线上
设AE=x,DF=y，求y关于x的函数解析式，并写 出自变量x的取值范围。
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A
x E
120°
120°
120° y
D
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B
600 C
矩形中的K形图
例2.如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案， 它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边 AB、BC、CD、DA上。 若AB=4，BC=6，求DG的长．
x
B
o
D
A A F
变 中 不 变
①
B E
F
②
C
B
α
①
α ②
E
α
C
D A F
D A F
B
α
①
α
E
②
α
B C
α
①
α
E
②
α
C
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一 个含有30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上， E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE 始终与AB垂直。
（1）设AD=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式，并写 出函数x的取值范围；
（2）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长。
C
A
B
如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于C， ∠DME=∠A=∠B,且DM交AC于F，ME交BC于G。 （1）找出图中所有的相似三角形；
α =45° （2）连接FG，若AB=4 2，AF=3， 求BG， FG的长 ． 想一想 连接FG,图中还有相似吗？
王金红
旋转
翻 折
E
D
旋转
A
B
C
A形图
zxxk
X形图
K形图
形状：K
特点： 顶点共线的三个直角！
观察思考
1.给你一张矩形纸片，你能折出K形图吗？ 2. △ABE与△ECF有什么关系？
A D
2
F C
△ABE∽ △ECF
1
B E
3
如果顶点共线的三个角相等，那么所形成 的两个三角形相似。
推理论证
A
△ABE∽ △ECF