高中数学第4章定积分3定积分的简单应用课件

第四章 定积分
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4．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积
． 解析： 由yy＝＝xx2＋－32，x＋3，
解得 x＝0 及 x＝3.
从而所求图形的面积
3
3
S＝0(x＋3)dx－0(x2－2x＋3)dx
3
＝0[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝30(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x230 ＝92.
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1.如图，求直线y＝2x＋3与抛物线y＝ x2所围成的图形面积．
解析： 由方程组yy＝＝x22x，＋3，
可得 x1＝－1，x2＝3.故所求图形面积为
3
3
S＝－1(2x＋3)dx－－1x2dx
＝(x2＋3x) |3－1－ 13x33－1＝332.
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(1)在区间[a，b]内插入 n－1 个分点． (2)找出分割后小圆柱的底面半径 xi. (3)计算每一个小圆柱的体积：Vi≈πx2i Δxi. (4)求旋转体的体积：V≈πx21Δx1＋…＋πx2nΔxn
b
＝____π_a_[_f(_x_)]_2_d_x ___.
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分割图形求面积
求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围 成的平面图形的面积．
[思路导引] 用定积分求两条或几条曲线所围成的平面图 形的面积，首先要把图形分割成几个曲边梯形或规则的图形， 再分别用定积分求出几个曲边梯形的面积，最后求和．
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2．由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的 封闭图形的面积为( )
A.12
B．1
C.
3 2
D. 3
解析： 由定积分几何意义可知此封闭图形的面积为
π 3
cos xdx＝2 -π
3
π
03cos xdx＝2sin x
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1．由曲线 y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b(a<b)
和 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S 等于( )
b
A.af(x)dx
b
C.a[f(x)－a]dx
b
B．－af(x)dx
b
D.a[f(x)－b]dx
解析： 注意题目条件f(x)≤0. 答案： B
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不分割图形求面积
求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－ x＋2所围成图形的面积．
[思路导引] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化 为定积分的计算问题．
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§3 定积分的简单应用
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课堂互动讲曲线y＝f(x)和x轴围成的曲边梯
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π 3 0
＝2sin
π3－sin
0＝
3.
答案： D
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3．曲线y＝x，x∈[0,1]与x轴围成的三角形绕着x轴旋转一 周形成的几何体的体积是_______．
解析： 答案：
V＝π10x2dx＝π3x3| 10＝π3.
π 3
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(3)用定积分求旋转体的体积的步骤 ①确定被积函数 y＝f(x)； ②画出图形、求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③将旋转体的体积表示成定积分的形式
b
V＝aπf2(x)dx； ④计算定积分写出答案．
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[边听边记]
由
y＝x2－4， y＝－x＋2
得
x＝－3， y＝5
或yx＝＝02，，
所以直线 y＝－x
＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3,5)
和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形
可得
S
＝
2
(
－
x
＋
2)dx
－
2
(x2 － 4)dx ＝
形面积为S1.由直线x＝a，x＝b，曲线y＝g(x)和x轴围成的曲边 梯形的面积为S2.
(1)如何求S1? (2)如何求S2? (3)如何求阴影的面积S?
b
[提示] (1)S1＝af(x)dx.
b
(2)S2＝ag(x)dx. (3)S＝S1－S2.
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(1)利用定积分求平面图形面积的 步骤：
①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像 ；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上、下限；
③将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分写出答案．
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(2)求由两条曲线 f(x)和 g(x)，直线 x＝a，x＝b(a＜b)所围成 平面图形的面积 S.
b
①如图①，当 f(x)＞g(x)＞0 时，S＝a[f(x)－g(x)]dx. ②如图②，当 f(x)＞0，g(x)＜0 时， S＝baf(x)dx＋bagxdx＝ab[f(x)－g(x)]dx.
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1．平面图形的面积
设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)及直线x＝a，x＝b所围成的平面 图形(如图所示)面积为S，
b
b
则S＝__af_(_x_)d_x_－___ag_(_x_)_d_x__.
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2．旋转体的体积(曲边绕x轴旋转)
2x－12x2
2 －3
－
－3
－3
13x3－4x2－3＝225－－235＝1265.
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此类问题的求解必须先画出图形 ，根据图形判断所求面积是否可以直接用边界函数的积分表示 出来，而积分的上、下限则要通过解方程组求交点得到．
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